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3 1指数函数3 1 1分数指数幂 第3章指数函数 对数函数和幂函数 理解根式的概念 掌握n次方根的性质 理解分数指数幂的概念 掌握有理指数幂的运算性质 重点 3 能正确进行根式与分数指数幂的互化 熟练掌握有理指数幂和根式的运算 难点 某细胞分裂时 由1个分裂成2个 2个分裂成4个 4个分裂成8个 如果分裂一次需要10min 那么 1个细胞1h后分裂成多少个细胞 细胞分裂 实例引入 假设细胞分裂的次数为x 相应的细胞个数为y 则 即1个细胞1h后分裂成64个细胞 为了解决上述问题 我们先来探讨分数指数幂的意义 一 根式的概念 一般地 如果一个实数x满足xn a n 1 n n 那么称x为a的n次实数方根 式子叫做根式 其中n叫做根指数 a叫做被开方数 二 根式的性质 1 当n为奇数时 正数的n次实数方根是一个正数 负数的n次实数方根是一个负数 这时 a的n次实数方根只有一个 记为x 2 当n为偶数时 正数的n次实数方根有两个 它们互为相反数 这时 正数a的正的n次实数方根用符号表示 负的n次实数方根用符号 表示 它们可以合并写成 a 0 的形式 3 n a 4 当n为奇数时 a 当n为偶数时 a 5 负数偶次方根 6 零的任何次方根都是 没有 零 求下列各式的值 解 三 分数指数幂的意义 正分数指数幂的意义 我们给出正数的正分数指数幂的意义 a 0 m n均为正整数 用语言叙述 正数的次幂 m n均为正整数 等于这个正数的m次幂的n次算术方根 注意 底数a 0这个条件不可少 若无此条件会引起混乱 例如 1 1 3和 1 2 6应当具有同样的意义 但由分数指数幂的意义可得出不同的结果 这就说明分数指数幂在底数小于0时无意义 回忆负整数指数幂的意义 a n a 0 n n 负分数指数幂的意义 正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿 我们规定 a 0 m n均为正整数 规定 0的正分数指数幂为0 0的负分数指数幂没有意义 提升总结 对于根式或含有根式的式子进行化简或求值时 应注意充分考虑根指数的奇偶及正负 考虑被开方数的正负 应注意利用根式与指数幂的互化 1 as at as t a 0 t s q 2 as t ast a 0 t s q 3 ab t atbt a 0 b 0 t q 四 有理数指数幂的运算性质 说明 若a 0 p是一个无理数 则ap表示一个确定的实数 上述有理数指数幂的运算性质 对于无理数指数幂都适用 即当指数的范围扩大到实数集r后 幂的运算性质仍然是上述的3条 先化成分数指数幂的最简形式 然后计算 灵活运用幂的运算性质 1 计算下列各式 式中字母都是正数 解 2 计算下列各式的值 3 求下列各式的值 解 1 原式 2 原式 4 计算 1 2012 威海高一检测 2 2012 济宁高一检测 答
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