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成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教a版 选修2 2 导数及其应用 第一章 1 5定积分的概念 第一章 1 5 3定积分的概念 通过上一节求曲边梯形的面积 汽车行驶的路程 自由落体的下落距离等实际问题 了解定积分的背景 抽象出定积分的概念 能用定义求定积分 重点 定积分的定义与性质 难点 定积分定义的理解及用定义求定积分 思维导航1 求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程有相同的求解过程 这个过程是否具有一般意义 2 定积分定义中 区间 a b 的分法必须是等分吗 i的取法有无限制条件 定积分的概念 定积分 积分下限 积分上限 积分区间 被积函数 积分变量 被积式 定积分的几何意义和性质 f x 0 直线x a x b a b 曲线y f x 定积分的性质 称为定积分对积分区间的可加性 其几何意义是曲边梯形abcd的面积等于曲边梯形aefd与曲边梯形ebcf的面积的和 牛刀小试1 求由曲线y ex 直线x 2 y 1围成的图形的面积时 若选择x为积分变量 则积分区间为 a 0 e2 b 0 2 c 1 2 d 0 1 答案 b 答案 c 答案 c 解析 由积分的几何意义可知选c 答案 1 2 3 定积分的定义 分析 由于所给定积分为曲线y x3 3x与x 1 x 1及y 0围成的曲边梯形面积 故由定义可求 但注意被积函数及积分上 下限特点可采用几何意义解决 定积分的几何意义 方法规律总结 若函数f x 的图象是某些特殊的图形 其面积运用几何方法容易求解 求定积分时还可以利用几何意义求解 答案 16 解析 1 由直线x 1 x 3 y 0以及y 3x 1所围成的图形如图所示 分析 解答本题可先根据积分的几何意义求出相关函数的定积分 再根据定积分的性质进行加减运算 定积分的性质 解析 1 如图 方法规律总结 1 利用定积分的性质求定积分的策略 1 利用性质可把定积分分成几个简单的积分的组合 先把每一个积分求出 再求定积分的值 2 求分段函数的定积分 可先把每一段的定积分求出后再相加 3 注意函数f x 奇偶性 对称性的利用 答案 2 分析 可先作出函数图象 再根据图象及几何意义进行表示 利用定积分求平面图形的面积 方法规律总结 用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是 1 准确画出各曲线围成的平面区域 2 把平面区域分割成容易表示的几部分 同
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