高三数学二轮复习（核心自查++热点高考探究+方法专项突破+备选高效演练）集合、常用逻辑用语课件 文.ppt

集合 常用逻辑用语 一 主干知识1 集合的基本运算 1 a b 2 a b 3 x x u 且x a 2 充分条件 必要条件与充要条件 1 若p q 则p是q的 q是p的 2 若p q 则p与q互为 充分条件 必要条件 充要条件 x x a 或x b x x a 且x b 3 p q p q 命题的真假 1 p q命题中 时 该命题为真 2 p q命题中 时 该命题为真 3 命题中 时 该命题为真 4 含有一个量词的命题的否定 1 全称命题的否定 x m p x 的否定为 2 特称 存在性 命题的否定 x0 m p x0 的否定为 至少有一个命题为真 当且仅当p q都真 当命题p假 x0 m p x0 x m p x 二 必记公式1 集合的子集个数 若集合a的元素有n个 则a的子集个数是 真子集个数是 非空真子集的个数是 2 两个重要结论 1 a b a 2 a b a 2n 2n 1 2n 2 ab ba 1 2013 四川高考 设集合a 1 2 3 集合b 2 2 则a b a b 2 c 2 2 d 2 1 2 3 解析 选b 根据题意 集合a 1 2 3 集合b 2 2 所以a b 2 2 2013 山东高考 已知集合a b均为全集u 1 2 3 4 的子集 且b 1 2 则a a 3 b 4 c 3 4 d 解析 选a 由u 1 2 3 4 a b 4 知a b 1 2 3 又b 1 2 所以a中一定有元素3 没有元素4 所以a 3 3 2013 湖北高考 在一次跳伞训练中 甲 乙两位学员各跳一次 设命题p是 甲降落在指定范围 q是 乙降落在指定范围 则命题 至少有一位学员没有降落在指定范围 可表示为 解析 选a 对立事件是 都降落在指定位置 4 2013 安徽高考 2x 1 x 0 是 x 0 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选b 由 2x 1 x 0 x 0或所以应选b 热点考向1集合的概念及运算 典例1 1 2013 内江模拟 设集合a y y sinx x r 集合b x y lgx 则 b a 1 1 b 1 1 c 1 d 1 2 2013 安徽高考 已知a x x 1 0 b 2 1 0 1 则 b a 2 1 b 2 c 2 0 1 d 0 1 3 已知a 0 1 a b a2 b 且a b 1 a b 0 1 2 4 则logab a 1b 0c 1d 2 解题探究 1 集合a b的元素分别是什么 提示 a的元素是三角函数的值域y b的元素是对数函数的自变量x 2 集合a b是用什么方法表示的集合 如何求a与b的交集 提示 集合a是用描述法表示的集合 b是用列举法表示的集合 求与b的交集 可先求出集合中元素的范围 然后观察b中的元素是否在此范围内即可 3 由a b 1 针对集合b可得到什么表达式 提示 可由a b 1 得出a2 1或b 1 解析 1 选c 由集合a中的函数y sinx x r 得到y 1 1 所以a 1 1 所以 1 1 由集合b中的函数y lgx 得到x 0 所以b 0 则 b 1 2 选a 由x 1 0 x 1 所以 x x 1 故得 b 2 1 3 选b 因为a 0 1 a b a2 b 且a b 1 所以b中必有一个元素为1 当a2 1 即a 1时 若a 1 集合a中有两个元素为1 这与集合元素的互异性相矛盾 所以a 1不成立 若a 1 则a 0 1 1 b 1 b 又因为a b 0 1 2 4 并集中不含 1 故a 1不成立 当b 1时 因为a b 0 1 2 4 所以a 2 此时logab log21 0 方法总结 1 解答集合问题的思路先正确理解各个集合的含义 认清集合元素的属性 代表的意义 再根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解 1 若给定的集合是不等式的解集 用数轴求解 2 若给定的集合是点集 用数形结合法求解 3 若给定的集合是抽象集合或是用列举法表示的集合 用venn图求解 2 几个等价关系 1 2 a b b 3 4 等 变式训练 2013 北京模拟 设全集u 1 3 5 7 集合m 1 a 5 7 则实数a的值为 a 1b 3c 5d 7 解析 选b 因为 5 7 所以m 1 3 所以a 3 热点考向2命题真假的判断与否定 典例2 1 2013 四川高考 设x z 集合a是奇数集 集合b是偶数集 若命题p x a 2x b 则 a p x a 2x bb p x a 2x bc p x0 a 2x0 bd p x0 a 2x0 b 2 命题p 若x2 2 则则p的否命题是 命题 非p 是 3 p a a b c q a a b c 则 p且q 为 真 假 命题 解题探究 1 对全称命题如何否定 提示 将全称量词改为存在量词 且对命题的结论否定 2 命题p的条件和结论分别是什么 的否定是什么 提示 命题p的条件是 x2 2 结论是 的否定是 3 p且q何时为真 何时为假 提示 当p q两个命题都真时 p且q为真 p q两个命题至少有一个为假时 p且q为假 解析 1 选d 根据题意可知命题p x a 2x b的否定是 x0 a 2x0 b 故选d 2 因为命题的否命题是对其条件和结论的否定 所以该命题的否命题为 若x2 2 则因为命题的否定是对结论的否定 所以该命题的否定为 若x2 2 则答案 若x2 2 则若x2 2 则 3 由元素与集合 集合与集合之间的关系可知 命题p a a b c 为真命题 命题q a a b c 为真命题 因此 p且q为真命题 答案 真 互动探究 若题 3 条件不变 则 p或q 为 真 假 命题 p且q 为 真 假 命题 解析 由题意得 p为假 q为真 则 p或q 为真命题 p且q 为假命题 答案 真假 方法总结 1 命题真假的判定方法 1 一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别 2 四种命题真假的判断依据 一个命题和它的逆否命题同真假 而与它的其他两个命题的真假无此规律 3 形如p q p q p命题的真假根据真值表判定 4 全称命题与特称 存在性 命题真假的判定 全称命题 要判定一个全称命题是真命题 必须对限定集合m中的每一个元素x验证p x 成立 要判定其为假命题时 只需举出一个反例即可 特称 存在性 命题 要判定一个特称 存在性 命题为真命题 只要在限定集合m中至少能找到一个元素x0 使得p x0 成立即可 否则 这一特称 存在性 命题就是假命题 2 常见词语及命题的否定 变式备选 2013 聊城模拟 若定义域为r的函数f x 不是奇函数 则下列命题中一定为真命题的是 a x r f x f x b x r f x f x c x0 r f x0 f x0 d x0 r f x0 f x0 解析 选d 因为函数f x 不是奇函数 所以 x0 r f x0 f x0 热点考向3充要条件的判断 典例3 1 2013 济南模拟 设x r 则 x2 3x 0 是 x 4 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 2 n n 2an 1 an an 2 是 数列 an 为等差数列 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 3 2013 上海模拟 已知f x x2 2x 3 g x kx 1 则 k 2 是 f x g x 在r上恒成立 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解题探究 1 判断a是b的充要条件的求解思路 由 x2 3x 0 得出 由 x 4 能否得出 x2 3x 0 提示 能 x 3或x 0 2 解决本题需要关注的两个问题 由 n n 2an 1 an an 2 能否得出 数列 an 为等差数列 提示 能 由 数列 an 为等差数列 能否得出 n n 2an 1 an an 2 提示 能 3 解决本题的关键点 f x g x 恒成立可转化为哪个不等式恒成立 提示 可转化为x2 2x 3 kx 1在r上恒成立 再转化为x2 2 k x 4 0在r上恒成立 一元二次不等式的恒成立问题主要根据什么解决 提示 主要根据根的判别式解决 解析 1 选b 由x2 3x 0得x 3或x 0 因为由x 3或x 0不能推出x 4 而由x 4能推出x 3成立 即x 3或x 0成立 所以x2 3x 0是x 4的必要不充分条件 2 选c 由 n n 2an 1 an an 2得 an 1 an an 2 an 1 即任意相邻的两项之差相等 所以数列 an 为等差数列 当数列 an 是等差数列时 由等差中项定义可知2an 1 an an 2 所以 n n 2an 1 an an 2 是 数列 an 为等差数列 的充要条件 3 选a f x g x x2 2x 3 kx 1 x2 2 k x 4 0 此式对任意实数x都成立 2 k 2 16 0 4 k 2 4 6 k 2 而 k 2 是 6 k 2 的充分不必要条件 故选a 方法总结 1 充分 必要条件的判断方法先判断p q与q p是否成立 然后再确定p是q的什么条件 2 判断充分 必要条件时的关注点 1 要弄清先后顺序 a的充分不必要条件是b 是指b能推出a 且a不能推出b 而 a是b的充分不必要条件 则是指a能推出b 且b不能推出a 2 要善于举出反例 如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行 可以尝试通过举出恰当的反例来说明 3 要注意转化 若p是q的必要不充分条件 则p是q的充分不必要条件 若p是q的充要条件 那么p是q的充要条件 变式训练 1 2013 青岛模拟 在 abc中 a b 是 tana tanb 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选d 因为函数y tanx在 0 上不是单调函数 所以 a b 是 tana tanb 的既不充分也不必要条件 选d 2 已知p x 1 q x2 x 0 则p是q成立的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选b 由x2 x 0得 x 0或x 1 所以q 0 x 1 所以p是q成立的必要不充分条件 典例 1 已知命题p x 1 2 x2 a 0 命题q x0 r x02 2ax0 2 a 0 若 p且q 为真命题 则实数a的取值范围是 a 1 a 1b a 2或1 a 2c a 1d a 1或a 2 2 设命题p 函数f x 是r上的减函数 命题q 函数f x x2 4x 3在 0 a 上的值域为 1 3 若 p且q 为假命题 p或q 为真命题 则a的取值范围是 利用命题的真假求参数的取值范围 解题探究 1 p且q 为真命题说明p q的真假性如何 提示 p且q 为真命题说明命题p q都为真命题 2 p且q 为假命题 p或q 为真命题说明什么 提示 p且q 为假命题 p或q 为真命题说明了p q两个命题一真一假 解析 1 选d 因为命题p x 1 2 x2 a 0 所以1 x2 4 由a x2 所以a 1 因为命题q x0 r x02 2ax0 2 a 0 所以 4a2 4 2 a 0 所以a 1或a 2 因为 p且q 为真命题 所以p与q都为真命题 所以由 可得a 1或a 2 2 因为函数是r上的减函数 所以所以因为f x x 2 2 1在 0 a 上的值域为 1 3 则2 a 4 因为 p且q 为假 p或q 为真 所以p q为一真一假 若p真q假 得若p假q真 得综上可知 a的取值范围是答案 方法总结 利用命题的真假求参数的取值范围的三个关注点 1 对命题进行合理转化 求出命题为真时参数的范围 2 根据真值表确定命题的真假 从而确定相应参数的范围 3 参数范围的确定最终归结到集合的交 并 补集运算 应注意区别 变式备选 2013 黄山模拟 已知p f x 且 f a 2 q 集合a x x2 a 2 x 1 0 x r 且a 若p q为真命题 p q为假命题 求实数a的取值范围 解析 若 f a 2成立 则 6 1 a 6 即当 5 a 7时p是真命题 若a 则方程x2 a 2 x 1 0有实数根 由 a 2 2 4 0 解得a 4或a 0 即当a 4或a 0时q是真命题 由于p q为真命题 p q为假命题 所以p与q一真一假 故知所求a的取值范围是a 5或 4 a 0或a 7 数形结合思想 解决集合间的关系 集合的运算问题 思想诠释 1 主要类型 1 集合间关系的判断 如判断两个点集之间的关系 由不等式组成的集合之间的关系 2 求集合的交集 并集 补集 3 已知集合之间的关系 求参数值或参数的范围 如集合a是集合b的子集 a b a a b a 2 解题思路 常常利用数形结合思想 找出集合之间的所有部分 公共部分 剩余部分 元素之间的关系 从而得出结论或解决问题的方法 3 注意事项 1 准确理解集合代表元素是数形结合的关键 2 准确理解有关集合的概念 寻找图中符合题意的部分 典例 设平面点集a x y 0 b x y x 1 2 y 1 2 1 则a b所表示的平面图形的面积为 审题 分析信息 形成思路切入点 求a b所表示的平面图形的面积 根据集合的代表元素得出两个集合表示的图形 关注点 集合a表示的是一条直线与一条双曲线所构成的区域 b表示一个圆及其内部 解题 规范步骤 水到渠成选d a b所表示的平面图形为图中阴影部分 由对称性可知 s1 s2 s3 s4 因此a b所表示的平面图形的面积是圆面积的一半 即为 点题 规避误区 易错警示 变题 变式训练 能力迁移1 设p y y x2 1 x r q y y 2x x r 则 解析 选c p y y x2 1 x r y y 1 q y y 2x x r y