高三数学二轮复习（核心自查++热点高考探究+方法专项突破+备选高效演练）向量运算与复数运算、算法、合情推理课件 文.ppt

向量运算与复数运算 算法 合情推理 一 主干知识1 共线向量定理 向量a a 0 与b共线 当且仅当存在唯一一个实数 使 2 复数的有关概念 复数z a bi a b r 1 z是实数 2 z是虚数 3 z是纯虚数 且 4 z的共轭复数为 实数的共轭复数是它本身 b a b 0 b 0 a 0 b 0 a bi 3 两种合情推理的思维过程 1 归纳推理的思维过程 实验 观察 概括 推广 猜测一般性结论 2 类比推理的思维过程 实验 观察 联想 类推 猜测新的结论 二 必记公式1 两个非零向量平行 垂直的充要条件 若a x1 y1 b x2 y2 则 1 a b a b b 0 2 a b a b 0 提醒 1 若a与b不共线 且 a b 0 则 0 2 已知 为常数 则a b c三点共线的充要条件是 1 x1y2 x2y1 0 x1x2 y1y2 0 2 向量的夹角公式 设 为a与b a 0 b 0 的夹角 且a x1 y1 b x2 y2 则cos 3 复数的运算公式 设z1 a bi z2 c di a b c d r 则 1 z1 z2 2 z1 z2 3 z1 z2 4 a c b d i a c b d i ac bd ad bc i 1 2013 安徽高考 设i是虚数单位 若复数 a r 是纯虚数 则a的值为 a 3b 1c 1d 3 解析 选d 由令a 3 0 则得a 3 2 2013 惠州模拟 已知四边形abcd为平行四边形 若向量则向量为 a a bb a bc b ad a b 解析 选c 因为所以 3 2013 济宁模拟 平面四边形abcd中 0 则四边形abcd是 a 矩形b 正方形c 菱形d 梯形 解析 选c 因为所以所以四边形abcd是平行四边形 又所以对角线互相垂直 所以四边形abcd是菱形 4 2013 太原模拟 在 abc中 g是 abc的重心 ab ac的边长分别为2 1 bac 60 则 解析 选a 由ab 2 ac 1 bac 60 所以 acb 90 将直角三角形放入直角坐标系中 如图则a 0 1 所以重心所以所以 5 2013 重庆高考 执行如图所示的程序框图 则输出的k的值是 a 3b 4c 5d 6 解析 选c 第一次执行循环体后 s 1 不满足条件 继续执行循环 第二次执行循环体后 k 2 s 2 不满足条件 继续执行循环 第三次执行循环体后 k 3 s 6 不满足条件 继续执行循环 第四次执行循环体后 k 4 s 15 不满足条件 继续执行循环 第五次执行循环体后 k 5 s 31 满足条件 结束循环 热点考向1向量的运算及应用 典例1 1 设向量a 1 0 b 则下列结论正确的是 a a b b a b c a bd a b与b垂直 2 已知p是边长为2的正方形abcd及其内部一动点 若 pab pbc面积均不大于1 则的取值范围是 a b 1 2 c 0 d 1 1 3 2013 安徽高考 若非零向量a b满足 a 3 b a 2b 则a与b夹角的余弦值为 解题探究 1 如何求向量的模 如何判定两个非零向量垂直 提示 利用向量模的定义求解 判定两个非零向量垂直 应该判定这两个向量的数量积是否为零 2 以点a为坐标原点 为x轴 y轴正方向建立平面直角坐标系 设p x y 则 3 如何由 a 3 b a 2b 求a与b的夹角呢 提示 利用 a a 2b 得a b与 b 的关系 再结合a 3 b 代入cos a b 即可 x2 y2 2x 解析 1 选d a 1 b a不正确 a b b不正确 a b时可得1 且0 此时 无解 c不正确 a b b d正确 2 选d 建立如图所示的平面直角坐标系 由于 pab pbc面积均不大于1 故点p在图中的区域efgb的边界及其内部 设p x y 则 x y x 2 y x2 y2 2x x 1 2 y2 1 其中 x 1 2 y2表示阴影区域内的点到点 1 0 距离的平方 显然范围是 0 2 故的取值范围是 1 1 3 由 a a 2b 等式两边平方得a2 4a b 4b2 a2 a b b2 所以cos a b 答案 方法总结 求解向量数量积最值问题的两种思路 1 直接利用数量积公式得出等式 依据等式求最值 2 建立平面直角坐标系 通过坐标运算得出函数式 转化为求函数的最值 变式训练 1 已知e1 e2是夹角为120 的两个单位向量 a 3e1 2e2 则 a 等于 a 4b c 3d 解析 选d a 2 2013 新课标全国卷 已知正方形abcd的边长为2 e为cd的中点 则 解析 以点 为原点 以为x轴 y轴正方向建立平面直角坐标系 则 所以 2 1 2 2 所以答案 热点考向2复数的概念及运算 典例2 1 已知i是虚数单位 则 1 在复平面内对应的点位于 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 2 2013 北京模拟 i为虚数单位 复数的虚部是 解题探究 1 如何判定复数所对应的点所在的象限 提示 关键是看该复数的实部与虚部的取值范围 2 求复数的实部与虚部的关键是什么 提示 关键是将复数化为a bi a b r 的形式 解析 1 选b 对应的点为 1 1 位于第二象限 2 选a 所以虚部是 互动探究 题 2 中条件不变 则复数在复平面内对应的点到原点的距离是 解析 因为所以 该复数所对应的点为所以 oa o为原点 答案 方法总结 复数的概念及运算问题的解题技巧 1 与复数有关的代数式为纯虚数 可设为mi m r且m 0 利用复数相等求解 2 与复数模 共轭复数 复数相等有关的问题 可设z a bi a b r 利用待定系数法求解 变式备选 已知a r i为虚数单位 若 r 则a等于 解析 选b 令得 热点考向3程序框图 流程图 典例3 1 2013 安徽高考 如图所示 程序框图 算法流程图 的输出结果是 2 2013 北京模拟 执行如图所示的程序框图 流程图 输出的结果s 解题探究 1 s是求和还是求积 何时结束 提示 s是求和 当n 8不成立时结束 2 该程序框图 流程图 满足什么条件时循环 循环了几次 提示 该程序框图 流程图 在i 6时循环 因为i的初始值为0 每次增加2 且是先执行循环体 所以循环了4次 解析 1 选c 第一次循环 第二次循环 第三次循环 n 8 8不成立 退出循环 输出结果为 2 第1次循环 i 0 s 1 第2次循环 i 2 s 1 2 2 1 2 第3次循环 i 4 s 2 2 4 1 9 第4次循环 i 6 s 9 2 6 1 20 此时满足条件 输出s 20 答案 20 方法总结 1 解答程序框图 流程图 问题的关注点 1 弄清程序框图的三种基本结构 按指向执行直至结束 2 关注输出的是哪个量 何时结束 3 解答循环结构问题时 要写出每一次的结果 防止运行程序不彻底 造成失误 2 循环结构的两点注意 1 注意区分计数变量与循环变量 2 注意哪一步结束循环 变式训练 2013 新课标全国卷 执行如图所示的程序框图 如果输入的t 1 3 则输出的s属于 a 3 4 b 5 2 c 4 3 d 2 5 解析 选a 由程序框图可知 s与t可用分段函数表示为则s 3 4 典例 2013 台州模拟 程序框图如图所示 若f x x g x lgx 输入则输出结果为 解析 因为当时 f x g x 可知h x g x lgx 答案 1 方法总结 程序框图读图问题的两个关注点 1 理清所要实现的算法的结构特点和流程规则 分析其功能 2 结合框图判断所要填入的内容或计算所要输出或输入的值 热点考向4合情推理 典例4 1 把正整数排列成如图甲的三角形数阵 然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数 得到如图乙的三角形数阵 再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列 得到数列 an 若an 2011 则n 2 对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解式 22 1 332 1 3 542 1 3 5 7 23 3 533 7 9 11 24 7 9 此规律 54的分解式中的第三个数为 解题探究 1 每行的最后一个数有什么特点 an是第几行第几列的数值 提示 每一行最后一个数是第n行的平方 an是第45行第38个数 2 每一列各个数的分解式有何特点 每一行各个数的分解式有何特点 提示 每一列各个数的分解式是连续的奇数 且都不相同 每一行各个数的分解式依次是两个奇数 三个奇数 四个奇数 的和 解析 1 每一行最后一个数是第n行的平方 所以452 2025 442 1936 所以2011在第45行 又因为所以an 2011是第45行的第38个数 所以n 1 2 3 44 38 1028 答案 1028 2 某个数的四次方是几个连续奇数的和 其个数就为某个数 因此34是3个连续奇数的和 54就是5个连续奇数的和且其中间数的5倍等于54 由题意可知 34 25 27 29 54 121 123 125 127 129 所以54的分解式中的第三个数为125 答案 125 方法总结 合情推理的解题思路 1 在进行归纳推理时 要先根据已知的部分个体 把它们适当变形 找出它们之间的联系 从而归纳出一般结论 2 在进行类比推理时 要充分考虑已知对象性质的推理过程 然后通过类比 推导出类比对象的性质 3 归纳推理关键是找规律 类比推理关键是看共性 变式训练 在平面内 设半径分别为r1 r2的两个圆相离且圆心距为d 若点m n分别在两个圆的圆周上运动 则 mn 的最大 最小值分别为d r1 r2和d r1 r2 在空间中 设半径分别为r1 r2的两个球相离且球心距为d 若点m n分别在两个球的球面上运动 则 mn 的最大 最小值分别为 a d r1 r2和d r1 r2b d r1 r2和d r1 r2c d r1 r2和d r1 r2d r1 r2 d和0 解析 选b 因为在由平面图形到空间图形的类比推理中 圆对应球 在平面内 设半径分别为r1 r2的两个圆相离且圆心距为d 若点m n分别在两个圆的圆周上运动 则 mn 的最大 最小值分别为d r1 r2和d r1 r2 可类比推理出 在空间中 设半径分别为r1 r2的两个球相离且球心距为d 若点m n分别在两个球的球面上运动 则 mn 的最大 最小值分别为d r1 r2和d r1 r2 转化与化归思想 解决向量中的平行及夹角问题 思想诠释 1 主要类型 1 向量的平行 垂直转化为向量坐标间的关系 2 向量的夹角问题转化为代数式求解 3 向量数量积的最值问题转化为函数的最值问题 4 线段的长度问题转化为向量的数量积问题 2 解题思路 常常利用向量与代数的关系将几何问题转化为代数问题求解 3 注意事项 1 两个向量的数量积大 小 于零是两个向量夹角为锐 钝 角的必要不充分条件 2 向量平行与向量共线是一回事 典例 已知在 abc中 ab 3 bac 60 bac的平分线ad交边bc于点d 且 r 则ad的长为 审题 分析信息 形成思路切入点 作辅助线 把用其他向量表示出来 再利用长度与数量积的关系求解 关注点 中所含参数 的确定 可依据b d c三点共线得出 解题 规范步骤 水到渠成选a 如图 过d作ab ac的平行线 分别交ac ab于e f 则由及b d c三点共线 知ac 3ae 又ab 3 所以af ab 2 由ad是 bac的平分线知 四边形aedf是菱形 所以ae 2 所以选a 点题 规避误区 易错警示 变题 变式训练 能力迁移1 在平面直角坐标系xoy中 设a b c是圆x2 y2 1上相异三点 若存在正实数 使得则 2 3 2的取值范围是 解析 设的夹角为 01 且 1 作出如图所示的可行域 则 2 3 2表示阴影区域内任一点到点 0 3 的距离的平方 当点 0 3 到直线 1 0的距离d为最小值 d2 2 所以 2 3 2的取值范围为 2 答案 2 2