高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件 新人教A版选修21 .ppt

3 1 4空间向量的正交分解及其坐标表示 1 空间向量的分解 1 条件 i j k是空间三个 的向量 2 结论 对空间任一向量p 存在一个有序实数组 x y z 使得p xi yj zk 我们称 为向量p在i j k上的分向量 2 空间向量基本定理 1 条件 向量a b c 2 结论 对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得p 两两垂直 xi yj zk 不共面 xa yb zc 3 基底 1 a b c 是空间的一个基底的条件 a b c 2 基向量 空间的一个基底 a b c 中的向量a b c叫做基向量 3 单位正交基底 向量e1 e2 e3为有 且 不共面 公共起点o 两两垂直的 单位向量 4 空间直角坐标系 1 原点 以单位正交基底e1 e2 e3的 为原点 2 方向 分别以e1 e2 e3的方向为x轴 y轴 z轴 3 坐标 若向量p xe1 ye2 ze3 则把x y z称作向量p在单位正交基底e1 e2 e3下的坐标 记作p 公共起点o 正方向 x y z 1 判一判 正确的打 错误的打 1 只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底 2 向量的坐标与点p的坐标一致 3 对于三个不共面向量a1 a2 a3 不存在实数组 1 2 3 使0 1a1 2a2 3a3 解析 1 错误 只要三个向量不共面就可作为空间向量的一组基底 故此种说法错误 2 错误 向量的坐标不一定对应点的坐标 只有以原点为起点的向量的坐标与对应有向线段终点的坐标一致 3 错误 由空间向量基本定理 对空间中的任意向量a都存在有序实数组 1 2 3 使得a 1a1 2a2 3a3 故此种说法错误 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 若向量i j k为空间直角坐标系上对应x轴 y轴 z轴正方向的单位向量 且设a 2i j 3k 则向量a的坐标为 2 若向量a b c为空间向量的正交基底 则向量a b c的位置关系是 3 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中建立空间直角坐标系 已知ab ad 2 bb1 1 则的坐标为 的坐标为 解析 1 由向量的单位正交表示知向量a的坐标为 2 1 3 答案 2 1 3 2 由正交基底的定义知 只有当向量a b c两两垂直时 才能成为空间向量的正交基底 故向量a b c的位置关系是两两垂直 答案 两两垂直 3 根据已建立的空间直角坐标系知a 0 0 0 c1 2 2 1 d1 0 2 1 则的坐标为 0 2 1 的坐标为 2 2 1 答案 0 2 1 2 2 1 要点探究 知识点1空间向量基本定理空间向量基本定理的三个关注点 1 空间任意向量 用空间三个不共面的向量a b c可以线性表示出空间中任意一个向量 而且表示的结果是惟一的 2 基底的选取 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底 3 顺序性 向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应 即若基底为 e1 e2 e3 p xe1 ye2 ze3 则p的坐标为 x y z 知识拓展 1 空间向量基本定理的证明存在性证明的四个步骤 如图 1 平移 把不共面的向量a b c与向量p平移到公共的起点o上 使 a b c p 2 平行投影 过点p作直线pp 平行于oc 交平面oab于点p 在平面oab内 过点p 作直线p a ob p b oa 分别与直线oa ob相交于点a b 3 表示 存在三个实数x y z 使 4 求和代入 2 空间向量基本定理中实数组 x y z 惟一性的证明设还有实数x y z 使p x a y b z c 因为p xa yb zc 则x a y b z c xa yb zc 所以有 x x a y y b z z c 0 又因为a b c不共面 所以有x x y y z z 故空间向量基本定理中实数组 x y z 是惟一的 微思考 1 空间向量的基底与基向量是同一概念吗 提示 不是 一个基底是一个向量组 一个基向量是指基底中的某一个向量 二者是相关联的不同概念 2 0可以是基向量吗 提示 不可以 由于0可看作是与任意一个非零向量共线 与任意两个非零向量共面 所以三个向量不共面 就隐含它们都不是0 即时练 在以下三个命题中 真命题的个数是 三个非零向量a b c不能构成空间的一个基底 则a b c共面 若两个非零向量a b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底 则a b共线 若a b是两个不共线的向量 而c a b r且 0 则 a b c 构成空间的一个基底 a 0b 1c 2d 3 解析 选c 正确 基底的向量必须不共面 正确 不对 a b不共线 当c a b时 a b c共面 故只有 正确 知识点2空间向量的正交分解及坐标表示1 单位正交基底的特点 1 位置 三个向量两两垂直且有公共起点o 2 模长 每个向量的模都等于1 3 记法 一般记作 e1 e2 e3 i j k 等 2 空间直角坐标系 以单位正交基底e1 e2 e3的公共起点o为原点 以e1 e2 e3的方向为x轴 y轴 z轴正方向的空间坐标系要注意的五点 记法 空间坐标系o xyz 坐标面 经过任意两个轴的平面为坐标面 它们分别为xoy面 xoz面和yoz面 坐标向量 e1 e2 e3叫坐标向量 画法 一般使用 xoy 45 或135 yoz 90 点的坐标 p xe1 ye2 ze3则p x y z x y z分别叫横坐标 纵坐标 竖坐标 微思考 1 在空间几何图形中建立空间直角坐标系的关键是什么 提示 关键是利用几何图形特征 尽量寻找三条两两垂直且交于一点的直线 若找不到则应想法构建 2 同一个几何体中的点在不同的空间直角坐标系下坐标是否相同 提示 由于建立的坐标系不同 从而各点在不同的坐标系下坐标不一定相同 但本质是一样的 即时练 已知a 2 3 1 关于x轴的对称点是a 7 6 则 的值为 a 2 4 5b 2 4 5c 2 10 8d 2 10 7 解析 选d 因为点a 2 3 1 关于x轴的对称点是横坐标不变 纵坐标与竖坐标变为原来的相反数 即为 2 3 1 所以有 2 3 7 1 6 即 2 10 7 题型示范 类型一基底的概念 典例1 1 设x a b y b c z c a 且 a b c 是空间的一个基底 给出下列向量组 a b x x y z b c z x y a b c 其中可以作为空间的基底的向量组有个 2 已知 e1 e2 e3 是空间的一个基底 且 e1 2e2 e3 3e1 e2 2e3 e1 e2 e3 试判断 能否作为空间的一个基底 解题探究 1 题 1 中由x a b y b c z c a可想到向量的哪一种运算法则 可构造哪一种空间图形来表示对应向量 从而说明向量是否共面 2 题 2 中若要判断向量共面需满足的关系式是什么 探究提示 1 由x a b y b c z c a可联想到向量运算的平行四边形法则 可利用长方体中的有向线段表示对应向量 2 若向量共面 则有成立 自主解答 1 如图所示 设a a b c 由a b1 d1 c四点不共面可知向量x y z也不共面 同理可知b c z和x y a b c也不共面 可以作为空间的基底 因x a b 故a b x共面 故不能作为基底 故可为空间基底的向量组共有3个 答案 3 2 假设共面 由向量共面的充要条件知存在实数x y 使成立 所以 e1 2e2 e3 x 3e1 e2 2e3 y e1 e2 e3 3x y e1 x y e2 2x y e3 得无解 故不共面 可以构成空间的一个基底 方法技巧 基底的判断判断某一向量组能否作为基底 关键是判断它们是否共面 如果从正面难以入手 可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断 变式训练 设命题p 空间向量a b c是三个非零向量 命题q a b c 为空间向量的一个基底 则命题p是命题q的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解题指南 从基底的定义和充要条件判断思考 先由p判断q是否成立 再由q判断p是否成立 解析 选b 当三个向量a b c共面时 a b c不能构成空间向量的一个基底 但是当 a b c 为空间向量的一个基底时 必有a b c为非零向量 因此命题p是命题q的必要不充分条件 误区警示 易错选a 忽视构成基底的三个向量满足的条件而导致错误 补偿训练 若 a b c 是空间的一个基底 且存在实数x y z使得xa yb zc 0 则x y z满足的条件是 解析 若x 0 则a 即a与b c共面 由 a b c 是空间向量的一个基底 知a b c不共面 故x 0 同理y z 0 答案 x y z 0 类型二用基底表示向量 典例2 1 在四面体o abc中 d为bc的中点 e为ad的中点 则 2 如图 已知平行六面体abcd a1b1c1d1 设试用a b c表示 解题探究 1 题 1 中向量在哪个三角形中 能得到的向量关系式是什么 2 题 2 中向量在哪个三角形或平行四边形中 与的关系是什么样的 探究提示 1 在三角形oae中 向量2 连接an 则在三角形amn中 在平行四边形abcd中 自主解答 1 选c 2 连接an 则由abcd是平行四边形 得则 又故故 延伸探究 若题 2 结论改为用向量a b c表示 则结果如何 解析 连接 则故 方法技巧 用基底表示向量的技巧 1 定基底 根据已知条件 确定三个不共面的向量构成空间的一个基底 2 找目标 用确定的基底 或已知基底 表示目标向量 需要根据三角形法则及平行四边形法则 结合相等向量的代换 向量的运算进行变形 化简 最后求出结果 3 下结论 利用空间向量的一个基底 a b c 可以表示出空间所有向量 表示要彻底 结果中只能含有a b c 不能含有其他形式的向量 变式训练 四棱锥p oabc的底面为一矩形 po 平面oabc 设e f分别是pc和pb的中点 试用a b c表示 解题指南 结合已知和所求 画出图形 联想相关的运算法则和公式 再对照目标及基底 将所求向量反复分拆 直到全部可以用基底表示为止 解析 连接bo 则 补偿训练 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 设e f分别是ad1 bd的中点 1 用向量a b c表示 2 若 xa yb zc 求实数x y z的值 解析 1 如图 所以x y z 1 类型三空间向量的坐标表示 典例3 1 已知在如图所示的长方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为d1c1 b1c1的中点 若以 为基底 则向量的坐标为 向量的坐标为 向量的坐标为 2 已知pa垂直于正方形abcd所在的平面 m n分别是cd pc的中点 并且pa ad 1 在如图所示的空间直角坐标系中 求向量的坐标 解题探究 1 题 1 中若求向量及的坐标 首先应如何处理 2 图形中的哪些向量可作为单位正交基底 如何用这个基底表示向量 探究提示 1 应先用表示出所求向量及2 因为ap ad ab 1 故可把向量看作单位正交基底 可利用三角形法则或平行四边形法则把向量写成的形式 即可得向量的坐标 自主解答 1 所以相对于基底 的坐标为所以的坐标为所以的坐标为 1 1 1 答案 2 因为pa ad ab 1 所以可设因为所以 方法技巧 用坐标表示空间向量的步骤 变式训练 已知abcd a1b1c1d1是棱长为2的正方体 e f分别为bb1和dc的中点 建立如图所示的空间直角坐标系 试写出的坐标 解析 设x y z轴的单位向量分别为e1 e2 e3 其方向与各轴上的正方向相同 则 2e1 2e2 2e3 所以 2 2 2 因为 2e1 2e2 e3 所以 2 2 1 又因为 e2 所以 0 1 0 补偿训练 已知正四面体abcd棱长为a 试建立恰当的坐标系并表示出各个顶点的坐标 解析 过a作ag垂直于平面bcd 由于ab ac ad 所以g为 bcd的重心 过g作gf cd e为cd的中点 连结be 则be cd 以g为原点 分别为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 因为 bcd的边长为a 则又 所以又bg 所以ag 所以 易错误区 求解空间点的坐标时建系不当致误 典例 如图 在正三棱柱abc a1b1c1中 已知 abc的边长为1 三棱柱的高为2 建立适当的空间直角坐标系 则的坐标分别为 解析 分别取bc b1c1的中点d d1 以d为原点 分别以的