（基础数学专业论文）代数表示论在hopf代数中的应用.pdf

摘要 本文用结合代数表示论的方法研究h o p f 代数和弱h o p f f 数的结构与表示。 我们首先把a r t i n 环( a r t i n 代数) 看作自身的左正则模，证明了在它的直和 分解式中的不可分解投射模p 的重数等于相应的单模s 作为某个除环上的向量 空间的维数 其次，为了用结合代数表示论的方法研究弱h o p f 代数，我们研究弱h o p f 代 数的代数结构。我们以t i s 岛( 2 ) 和口s k ( 2 ) 为例，研究弱h o p 玳数的代数结构。我 们证明了弱h o p f 代数w s l 。( 2 ) 作为代数是( s f 2 ) 和二元多项式代数的直和。从 而将脚8 k ( 2 ) 的表示归结为( s k ) 和二元多项式代数的表示。而氓( s t 2 ) 和二元 多项式代数的表示已被广泛研究。证明了叫8 0 ( 2 ) 的余代数结构是不可分解。 证明了弱h o p f 代数 s k ( 2 ) 作为代数是( s f 2 ) 和平凡代数惫的直和。还证明 t w s z 。( 2 ) 作为余代数是可分解，并绘出它的分解。为了研究w s l 4 ( 2 ) 和u s z 。( 2 ) 的 余表示，我们给出 吼( 2 ) 和t ，s k ( 2 ) 的余代数的e x t - 箭图。然后我们全面考察 了对应予以( s t y ) 的所有可能的弱h o p 玳数。发现总共有 个不同构的对应 于( s z 2 ) 的弱h o p 辟数。我们还讨论对应于( s t 。) 的弱h o p 玳数的直和分解。 我们考虑点h o p f 代数在代数和余代数上的作用。对于点h o p 斜弋数的特例， 群h o p f f 弋数的作用与群的作用是等价的。我们特别考虑群和群代数在路代数上 的分次作用。并给出计算实例。 结构常数是用来刻画结合代数的重要方法。我们发现余代数和h o p f 代数的 结构常数类似于代数的结构常数。我们引进高维矩阵用来描述余代数和h o p f 代 数的结构常数。我们确定了预余代数成为余代数和h o p 玳数的条件，并用高维 矩阵来刻画。 关键词：a r t i n 代数，h o p 矸弋数，弱h o p f f 数，表示，余表示 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw es t u d yh o p fa l g e b r a 坶u s i n gr e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fa s s o - d a t i v ea l g e b r a si ns e v e r a lw a y s l e tab ea l la r t i nr i n g l e tpb ea l li n d e c o m p o s a b l ep r o j e c t i v el e f ta - m o d u l e i f 觎v i e waa sal e f ta - m o d u l e t h e nt h em u l t i p l i c i t yo fp i nt h ed i r e c t b n n ld e c o m p o s i t i o no fa e q u a l st ot h ed i m e n s i o no fc o r r e s p o n d i n gs i m p l em o d u l e s 铀av e c t o rs p a c eo v e rad i v i s i o nr i n g a sa ne x a m p l eo fa p p l i c a t i o no fo u r m a i nr e s u l t ，w es i m p l i f yap r o o fo fd e c o m p o s i t i o no fr e s t r i c t e dq u a n t u mg r o u p o f ( 奶) t h es t r u c t u r eo fw e a kh o p fa l g e b r aw s l 口( 2 ) i ss t u d i e di nt h i sp a p e ri no r d e r t og i v eac o m p l e t ed e s c r i p t i o no fr e p r e s e n t a t i o no fw s l 口( 2 ) t h ea l g e b r as t r u c - t u r eo fw s l q ( 2 ) i sd e c o m p o s e di n t oad i r e c ts 眦o f ( s 1 2 ) a n dt h ea l g e b r ao f p o l y n o m i a l so ft w oi n d e t e r m i n a t e s t h ec o a l g e b r as t r u c t u r eo fw s l 口( 2 ) i sp r o v e d t ob ei n d e c o m p o s a b l e a n o t h e rw e a kh o p fa l g e b r av s l 口( 2 ) i sd e c o m p o s e di n t o ad i r e c ts n mo f ( s 1 2 ) a n dt h et r i v i a la l g e b r a 知t h e nw es t u d ya l lp o s s i b l e w e a kh o p fa l g e b r a sc o r r e s p o n d i n gt o ( s f 2 ) t h e r ea f e 甲p o s s i b l en o ni s o m o r - p h i cw e a kh o p fa l g e b r a sc o r r e s p o n d i n gt o 乩( s t 2 ) w ea l s og i v et h ed i r e c ts u l n d e c o m p o s i t i o no fw e a kh o p fa l g e b r a sc o r r e s p o n d i n gt o 砺( s t n ) ， w es t u d yt h ea c t i o n so fh o p fa l g e b r a so na l g e b r a sa n dc o a l g e b r a s a 8a s p e c i a lc a 卵o fp o i n t e dh o p fa l g e b r a s t h ea c t i o n so fg r o u ph o p fa l g e b r a sa r e e q u i v a l e n tt ot h a to fg r o u p s w ec o n s i d e rg r a d e da c t i o n so fg r o u p so np a t h a l g e b r a s t h es t r u c t u r ec o n s t a n t sf o rc o a l g e b r a sa n dh o p fa l g e b r a sa r es i m i l a rt ot h o s e o fa l g e b r a s ，w ei n t r o d u c eh i g h e rd i m e n s i o n a lm a t r i c e sa n du s et h e mt od e s c r i b e t h es t r u c t u r ec o n s t a n t sf o rh o p fa l g e b r a s w ed e t e r m i n et h ec o n d i t i o n sf o ra p r e - c o a l g e b r at ob ec o a l g e b r aa n dh o p fa l g e b r ai nf o r mo fh i g h e rd i m e n s i o n a l m a t r i ，目 代数表示论在h o p f 代数中的应用 k e y w o r d s ：a r t i na l g e b r a ，h o p fa l g e b r a ，w e a kh o p fa l g e b r a ，r e p r e s e n t a t i o n ， c o r e p r e s e n t a t i o n 第一章引言 本文用结合代数表示论的方法研究h o p f 代数和弱h o p f 代数的结构与表 示 当我们研究a 喇n 环和a n i n 代数的结构和表示的时候，决定它们的区 块是很重要的。为此我们需要知道它们有多少不同构的投射模。对于某些 特殊类型的a r t i n 环和a r t i n 代数。人们用特别的技巧找到它 n 的投射模。但 是要确定它们是不是所有的投射模就是一件困难的事情了【1 6 ，7 3 ，7 踟。我们 把a r t i n 环( a r t i n 代数) 看作自身的左正则模，证明了在它的直和分解式中的不 可分解投射模p 的重数等于相应的单模s 作为某个除环上的向量空间的维数。利 用这一原理，我们只须一个简单的维数计算，就可以容易地确定一个投射模的 集合是否是完全的集合。 作为h o p f 代数的推广，也为了得到更多的y a n g - b 础e r 方程的解，李方教 授于1 9 9 8 年引进并研究了弱h o p f 代数【4 4 】，在国内外产生一定的影响。迄今， 已发现许多弱h o p f 代数的例子。其q = w s l 口( 2 ) 和v s l q ( 2 ) 是弱h o p f 代数的最重 要的例子 4 8 】。之后，n a i z a w a 和p ，s i s a a c 将它推广到与( s t 。) 对应的弱h o p f 代数【3 】。杨士林引入与c a r t a n 矩阵对应的弱h 0 p f 代数【8 0 】。吴志祥考虑了与广 义k a c - m o o d y 代数对应的$ ；h o p f 代数【7 吲，以及与b o r e h e r d s - c a x t a n 期d 阵相关的 弱h o p f 代数f 7 7 1 。 众所周知，在代数的结构和它的表示之间存在一个紧密的联系。为 了研究弱h o p f 代数的表示。我们首先研究弱h o p f 代数的代数结构。我们 以埘s z 。( 2 ) 和v s l 。( 2 ) 为例，研究弱h o p f 代数的代数结构。我们证明了弱h 0 p f 代 数叫s 如( 2 ) 作为代数是( s f 2 ) 和二元多项式代数的直和。从而将w s l 。( 2 ) 的表示 归结为( s 1 2 ) 和二元多项式代数的表示。而( s h ) 和二元多项式代数的表示 已被广泛研究。证明t w s l 。( 2 ) 的余代数结构是不可分解。证明了弱h o p f 代 数 s ( 2 ) 作为代数是( s h ) 和平凡代数舶g 直和。还证明t w s l 。( 2 ) 作为余代 数是可分解。并给出它的分解。为了研究w s l 。( 2 ) 和“s b ( 2 ) 的余表示，我们给 m , w s t 。( 2 ) 和u 8 k ( 2 ) 的余代数的e x 乞- 箭图。全面考察了对应于( s h ) 的所有可能 的$ 目h o p f 代数。得到个不同构的对应于“( s z 2 ) 的弱h o p f 代数。并将结论推广 到对应于仉( s k ) 的弱h o p f 代数上。 2 代数表示论在h o p f 代数中的应用 在考虑h o # 代数与代数的s m a s h 积和c r o w d 积，以及h o p f 代数与双代 数( h o p f 代数) 的b i c r o s s e d 积时，我们需要考虑h o p f 代数在代数和余代数上的 作用。对于一般的h o p f 代数的作用比较复杂。我们只考虑点h o # 代数的作用。 对于点h o p f 代数的特例，群h o p f 代数的作用与群的作用是等价的。我们讨论了 群在路代数上的作用。 结构常数是用来刻画结合代数的重要方法。我们发现余代数和h o p f 代数的 结构常数类似于代数的结构常数。我们引入高维矩阵。并用高维矩阵刻画结合 代数的结构常数。其次，我们在余代数中，引入结构常数的概念，并用高维矩阵 用来描述。给出了预余代数成为余代数和h o p f 代数的条件。所有这些条件都可 以用高维矩阵来刻画。这样就可以很容易地用计算机来验证。 第三章我们给出a r t i n 环和a r t i n 代数的在它的分解式中投射模的重数与相 应的单模作为除环上的向量空间的维数之间的联系。首先我们给出我们对于一 般a r t i n 环的主要定理。然后讨论a r t i n 代数的情形。并研究它和基代数的关系。 最后，我们给出一个应用实例。 第四章用结合代数表示论的方法研究弱h o p f 代数。我们首先仔细研究 弱h o p f 代数的特例w s l 。( 2 ) 和v s l 。( 2 ) 。然后将结论推广到一般的情况。证明 t w s l 。( 2 ) ( ，n n ) 同构于( m ，n ) 和一个带关系的二元多项式代数的直和。从而 将w s l 。( 2 ) 的限制表示归结为( s 2 ) 和一个带关系的二元多项式代数的表示。 还证明- r w a l 。( 2 ) 的余代数结构是不可分解。我们还证明了另一个弱h o p f 代 数口8 ( 2 ) 作为代数是( s z 2 ) 和平凡代数七的直和。还证明t w s l 。( 2 ) 作为余代 数是可分解，并给出它的分解。为了研究w s l 。( 2 ) 和v s l 。( 2 ) 的余表示，我们给 出仰( 2 ) 和v s l 口( 2 ) 的余代数的e x t - 箭图。然后我宵】全面考察了对应于碥( s j 2 ) 的 所有可能的弱h o p f 代数。发现总共有印个不同构的对应于( s 1 2 ) 的弱n o # 代数。并对它们的代数结构和余代数结构作了分类。研究了对应于碥( s f 2 ) 的 弱h o p f 代数的限制表示。最后我们研究了所有可能的对应于以( s k ) 的弱h o p f 代数，并对它们的代数结构和余代数结构作了分类刻画。 第五章，我们考虑点h o p f 代数在代数和余代数上的作用。特别考虑群和群 代数在代数上的分次作用。并给出计算实例。对于点h o p f 代数的特例，群h o p f 代数的作用与群的作用是等价的。我们以较大篇幅讨论群在路代数上的作用。 在第六章中，我们引进高维矩阵用来描述余代数和h o p f 代数的结构常数。 我们确定了预余代数成为余代数和h o p f 代数的条件，并用高维矩阵来刻画。 第二章预备知识 2 1 路代数和路余代数 有限维代数表示论的基本想法是将有限维代数m o r i t a 等价于一个基本代 数( b a s i ca l g e b r a ) 当这个代数的基础域是代数闭域时，这个基本代数就是初等 代数( e l e m e n t a r ya l g e b r a ) 因此代数闭域上的有限维代数表示可以归结为带关 系的路代数的表示【4 】。c h i n 和m o n t g o m e r y 将这一想法推广到余代数，得到了 路余代数的概念f 1 7 】。 一个箭图q = ( 铂，q l ，8 ，) 是一个有向图，其中q d 是项点集合，q l 是箭头 集合，s 和t 是两个从q l 到q o 的映射，其中s ( n ) 和( a ) 分别是a 的起点和终点。 q 中的一个长度为z 的路p 是p = 锄n l ，其中啦q l ，i = 1 ，z ，并 e t t ( a ) = 5 ( 啦+ 1 ) ，1 t f 一1 顶点被看作长度为0 的路。p 的起点和终点分别 定义为8 ( n 1 ) 和( 锄) ，分别用s ( p ) 和t ( p ) 表示a 设k 是一个域，q 是一个箭图。p 是q 的路的全体。以p 的元素为基做成的缸 向量空间记为q 。对于q 的任意两个路p = 啦口l 和q = 口_ 历按下式定 义乘法： l 癌。角锄q l 当t ( 刃= s ( q ) ”7 l0，当t 扫) s ( 口) 以七q 为基础向量空间，在上述乘法诱导的詹q 的乘法下，克q 构成一个代 数。称为箭图q 的路代数，记为k q 4 ，或k q 对于q 的任意一个路p = 口l 口l 定义 ( p ) = 啦n 计l 。a l a l ：o = p 。s o ) + 珏q l o q + l 。q ，。a l + t p ) 。p 瑚 = 口。p 4 代数表示论在h o p f 代数中的应用 和 ， 删= ：耋篆2 三： 其中l e n g t h 0 ) 表示p 的长度。和e 决定了唯一的线性映射：k q 一 七q o 七q 和：k q k ( k q ，e ) 构成余代数，称为箭图q 的路余代数，记为七驴。 下面考虑路代数和路余代数的对偶关系。这些事实是众所周知的，但却找 不到仔细讨论这些内容的文献。首先考虑路代数的对偶。 设肘，是肛向量空间。映射p ：m 。0 n 一( m 固) 定义为 p ( f o 口) ( m o = ，) g ( 砖v ，m ，g 。，m m ，社n p 总是单射。当是有限维时，p 是同构。 设x ，y 是肛向量空间， ：x y 是“线性映射，我们定义矿：y 一x 为矿( ，) = 加，v ，y 引理1 令( e ，e ) 路余代数。我们定义m ：矿。伊一矿，m = p 其中p 是前面定义的，u ：k 一口，“= e ，其中：k 一矿是典范同构。那么( 口，m ，) 是一个代数。 引理2 如果，尬乱) 是一个有限维代数。我们定义：a 一a 。o a ，= p - 1 m + ，e ：a 一k ，e = 妒矿，其中妒：k 一k 是典范同构，即妒( ，) = 1 0 ) ，v k + 那么( ，e ) 是一个代数。 设q 是个有限箭图，即q o ，q l 均为有限集。设p 是q 的路的全体，q o = e l ，e 。 。设a = 七驴，对于任意的q p ，定义口( q ) = 1 ；叮( p ) = o ，印p ， p q ， q i q e p ) 构成的一组基 那么，= p - i m ，其中p ：a o 一( a o a ) 。是典范嵌入，m ：a o a a 是路代数的乘法。那么 肘+ ( 矿) ( 口固励= 矿肘( 口固p ) = g ( 。卢) = 。1 耋：；i ： 其中o p p 注意到p ( o g ) = p o ( ，固夕) ，其中，i ：k o k 一七是典范映射从 而广1 ( 科= 弘- 1o 鼋因此 ( 口) ( 口固刃_ = p - 1 ( 口) ( 卵) = p 以( 矿( 筇) ) = ：暑：耋荔i ： 第二章预备知识 5 所以 a ( q ) = 。矿 a $ f f i g e ( q ) = 妒( 矿( 口) ) = u ( 矿) ( 1 ) = 矿u ( 1 ) = 口( e l + + e ，i ) 当口= e i ，1 i n 时，( 口) = q ( e 1 ) + + g ( 岛) + - + g ( e 。) = 1 当l e n g t h ( q ) l 时，( 矿) = g ( e 1 ) + + 叮( e ，1 ) = 0 因此由矿一口，q p 所唯一确定的= ( 七q p ) 到c = k q 。的映射是同构。 定理2 1 设是是一个域，q 是一个有限箭图，路代数a = k q 4 的对偶余代数同 构于路余代数c = k q 。 下面考虑路余代数的对偶。 设q 是一个有限箭图。设p 是q 的路的全体，q o = e l ，) 设c = 奄q c ，对于任意的q p ，定义矿( 口) = 1 ；矿( 力= o ，v p p ，p q ， g i q p ) 构成口的一组基。根据第二节，m = p ，其中p ：c + oc + 一 ( c o c ) + 是典范嵌入，对于任意q = a 1 ，p = 风岛尸， ，肘+ ( o o 矿) ( n 国 = + p ( 口固卢) ( o 猡) = v ( a o 矿) a ( a z ) l - 1 = p ( d 。矿) ( t ( a ) 。a 卢+ ( a l 啦+ 1 ) 。( a a l p ) + a 。卢+ i = 1 m - - 2 、 + ( 口艮岛+ 1 ) 。( 岛岛) + a p 。s ( 妒) ) j = 1 = 0 + 口。( a ) p ( 卢) + 0 =1 6 代数表示论在h o p f 代数中的应用 如果q p ，口叩。那么 扩( o + op + ) ( 口) = a + p ( 口o 矿) ( 口) = p ( 口o 矿) ( g ) 、 = p ( a 。矿) ( 口，。) d 社= 吨 = 矿( 0 ，) 矿( ) 时廿口q 由于q n 卢，对于上式每一和项中，a 或p 因此各项均为0 。因此 m ( 矿。矿) ( 口) = 0 所v m + ( 口o 矿) = ( a 口) 又因t ( 1 ) = 矿( 砂( 1 ) ) ，其中妒：七一矿是典范映射， u ( 1 ) c q ) = s ( 1 ) e ( 口) = e ( 口) 对于任意的口p ，当q = 句时，u ( 1 ) ( e ) = 慨) = 1 而( e ；+ + ) ( e ) = 1 当l e n g t h ( q ) 1 时，由路余代数的定义， ( 1 ) ( 口) = e ( q ) = 0 。而( e + + ) ( g ) = o 所以 , 4 t ) = e ：+ + 因此由口一口，口p 所唯一确定的c = ( 七q c ) 到a = 知驴的映射是同构。 定理2 2 设七是一个域，q 是一个有限箭图，路余代数e = 后q c 的对偶代数同 构于路代数一= 七q l o 2 2 量子群u q ( s f 2 ) 及限制量子群( m ，n ) 限制量子群，n ) 是【1 6 】中引进并研究的。本节只给出定义和简要介绍， 详见【l6 】。 设r 3 为整数，芦是与r 互素的整数。ar 决定了一个r 次本原单位根g ：_ e x p ( 竿) 量子群( 8 f 2 ) 是由e ，f ，k ，k q 生成的含1 结合c 代数，生成关系为 ( r 1 ) k k - l = k - 1 k = l ( r 2 ) k e = 9 2 e k 第二章预备知识7 有 有 ( r a ) 耳f = g 一2 f k ( r 4 ) e f f e = 1 k = _ i k = 广- i 引进记号 设 同= 符， 【r 】= 0 ，【r + 司= 【o 】，【r a 4 = 一【川 【t 1 1 = 1 1 1 1 2 【i 】 嘲= 而l a 珂l ! i 尬0 】= k q a f - k i = 广- l q - 4 ，va e z j r ；n 】e = e l k ；d + 2 1 暇；a f = f 畔；a 一2 】 e f = f 3 e + 【8 i f 一1 x ；1 3 】( s 1 ) f e = e 。f i s l e 一1 【k ；s 一1 】( s 1 ) 驴p = r a 丢i n ( t , 劬豳目扩c 驴i 州t 纠 ( s 如) 上h 0 p f 代数结构有几种不同的定义方法，为了方便，我们采用【4 8 】，1 3 j 和【8 0 】的方式定义。余积，余单位e ，和对合射s 在生成元上定义如下 ( e ) a c k ) e ( e ) e o k + 1 0 e ，( f ) = f 0 1 + k 一1 0 只 k o k ，a ( k 一1 ) = k 一1o k ， e ( f ) = 0 ，e ( k ) = ( k - 1 ) = 1 ， s o ) = 1 ， s ( k ) = k 一， s ( k _ 1 ) = k ， s ( 日= 一e k - 1 s ( f 、= 一耳f 可以验证这些映射保持关系r 1 一r 4 ，从而( 碥( s f 2 ) ，m ，t ，a ，e ) 构成一个h o p 玳 数。 以上对( s f 2 ) 余积的定义与【1 6 】不同，相应地，对合射s 也不同。但【1 6 】的 结论依然成立 限制量子群( m ，n ) 是由，k ，e ，f 生成的含1 的c 一结合代数满足关 系( r 1 ) - ( r 4 ) 以及 ( r 5 ) k r = 1 ( r 6 ) 驴= 妒= 0 嵋，n ) 是( s f 2 ) 关于由，p 一1 ，刀，”，p 所生成的理想的商代数。简记 为u 在【1 6 】中证明了( m ，n ) 可以分解为若干区块的直和，每个区块m a r i t a 等价 于下列带关系的两个路代数之一： ( 一z ) “= 0 ，( 矿”) ”= 0 ，矿$ = 一 第二章预备知识 9 ( 2 ) 矿= 0 ，y m = 0 ，舭= 列 第三章a r t i n 环和a r t i n 代数的直和分解 当我们研究a r t i n 环和a r t i n 代数的结构和表示的时候，决定它们的区块是 很重要的。为此我们需要知道它们有多少不同构的投射模。对于某些特殊类型 的a r t i n 环和a r t i n 代数，人们用特别的技巧找到它们的投射模。但是要确定它 们是不是所有的投射模就是一件困难的事情了【1 6 ，7 3 ，7 8 】 本章我们给出a r t i n 环和a r t i n 代数的在它的分解式中投射模的重数与相应 的单模作为除环上的向量空间的维数之间的联系。利用这一原理，我们只须一 个简单的维数计算，就可以容易地确定一个投射模的集合是否是完全的集合。 本章主要结论是：令a 是一个a x t i n 环。令p 是一个不可分解投射左a _ 模。 那么a 可分解为不可分解投射左a 模的直和。本章主要结论是，如果我们把a 看作一个左a 模，那么在a 的直和分解中的p 重数等于相应的单模s 作为某个除 环上的向量空问的维数。 3 1环论的基本结论 我们先回顾几个环论的基本结论，详见【2 ，2 5 ，0 8 。 s c h u r 弓i 理是说：如果m 是任意环兄上的一个单模，则五h d r ( m ) 是一个除 环。众所周知，如果k 是一个代数闭域，d = e n d r ( m ) 是一个有限维缸代数，那 么d = k 记周拘j a c o b s o n 根为t a dr ，则r r a dr 是一个半单品代数 令，是一个环冗中的一个理想。令是一个r ，的幂等元。我们说这个幂等 元可以提升到e 模掉，如果存在一个幂等元e r 使得a = e + ，我们说幂等元 提升模掉j 如果每个r i 中的幂等元可以提升到兄中的一个幂等元。 如果，是一个环冗中的一个诣零理想，那么幂等元可以提升模掉j 。对于任 意a r t i nr - 代数a ，幂等元可以提升模掉r a d a ，因为r 以a 是幂零的我们有 引理3 1 令r 是一个环，令，是r 的一个理想使得，r a d r 那么下列命题等 价 r 一幂等元可以提升模掉，j 俐左r 模剧，的每个直争项具有一个投射盖； 代数表示论在h o p f 代数中的应用 纠剧，中有限幂等元的伉全，正交集提升到r 中的一个幂等元的f 完全j 正交集 由此得到， 引理3 2 如果，是a 的一个理想使得，r a d a ，那么每个a ，中的有限的幂等 元的完全正交集可以提升为 中的一个有限的幂等元的完全正交集。 引理3 3 令r 是一个环，是r 的j a c o b s o n 根4 e 和，是r 中的幂等元 刖雁垒r ，当且仅当r j e 謦r f j ! 3 2a r t i n 环的直和分解 我们用记号 霸( d ) 表示除环d 上的n n 矩阵所构成的环 定理3 4 似r t i n - w e d d e r b u r n ) 御一个环r 是单口州臁当且仅当对某个自然 数n 和除环d 使rg 厶( d ) 此时，腓一决定了n 并且在同构意义下唯一决定 了d 阮j 一个环r 是半单a r t i n 环当且仅当r 同构于矩阵环的直和 峨。( d 1 ) o 0 ( 研) ， 其中d l ，d r 是除环 现在我们固定竹a n dd 用记号五表示在第l 行第j 列处为1 ，其它地方 为。的n n 矩阵易见 e 1 1 i ，) 构成本原正交幂等元的完全系，并且对于 任何1 ，j ，七，z 礼，旬七时，勖= 0 ，而啄= 目y d l i 七m n ( d ) 可分 解为左投射模的直和 。肘；( d ) = 靠( d ) 髓l + + 肘j ( d ) e 。， 其中每个尬。( d ) 置i 都是左理想，并且作为投射模，它是不可分解的。我们得 知 厶( d ) 是单模。右乘以晟，给出了从 靠( d ) 玩至i j m n ( d ) e j j 的模同构因而所 有的不可分解投射模都是同构的，我们用记号p 表示唯一的不可分解投射模。那 么对应于p 的单模s 是p 自身。 综上所述， 第二章a r t 环和a r t i n 代数的直和分解 1 3 引理3 5 在全矩阵环m 。( d ) 中，不可分解投射模雕直和分解中的重数等于它 所对应的单模s 作为除环上的向量空问的维数 由定理3 4 ，我们有 推论3 6 如果r 是一个单a r t i n 环，记号p 表示r 的唯一的投射模那么p 在r 的 直和分解中的重数等 - d i m d s ，其中d 是引理3 4 申的除环 现在，我们给出主要定理 定理3 7 令a 是一个a r t i n 环令只( i = 1 ，s ) 是互不同构的不可分解授射 左a 模那么在a 的直和分解中只的重数等于d i m 觑岛 证明首先考虑特殊情形。如果r 是一个半单a r t i n 环。令只( i = 1 ，s ) 是互 不同构的不可分解投射左b 模，鼠是对应于只的单模。设在刷 勺直和分解中只的 重数为m 由引理3 4 ，我们可以假定 r = j | l 靠。( d 1 ) 0 o m 。( 研) 令邑1 ，而。是一个m 。( d i ) 中本原正交幂等元完全集合。令= “( e i i ) 。j = 1 ，仉，其中“是( 功) 到r 的自然嵌入。那么 e 】1 ，e l ，e 2 ，1 ，e a ，1 2 ， ，岛1 ，e gp n $ ) 是一个本原正交幂等元完全集合，使得对于任l j ，j = 1 ，啦，作为投射模r e i d2r e i d , 。此时岛= a e i j = 岛和= ，对 于任意i ，j ，j ，和菩国，如果i 矿因此r 的直和分解中只的重数等 于= d i m o t 最 设r a d a 是a r t i n 环a 的j a c o b s o n 根，r = a r a d a 令 e 1 ，l ，e l m ，e a ，1 ，0 2 , w z ，8 ，e 。，m ) 是本定理的证明中第一部分的 本原正交幂等元的完全集合。由引理3 1 ，令 a 1 ，l ，自。，而，1 ，a 2 。， e ，e 。m ) 是提升的幂等元记同构于彤甜的投射模为只j ，对应于只j 的 单模记为最j 。对于任意j ，j = 1 ，啦，t o p r j 皇s j 岂& ，型t o p 只因 为只j ，b j ，是不可分解。由引理3 3 ，只j 型只弘因此，由本定理的证明中第一 部分，罔j q 直和分解式中最的重数等于d i m o , & 口 下面讨论关于a r t i n 代数的相应结论。 1 4 代数表示论在h o p f 代数中的应用 弓l 理3 8 令r 是一个9 , 换a r t i n 环，a 是一个a r t i nr 玳数a 是单代数当且仅 当对于莱个自然数n 和一个r 一除法代数d ，a 垒尬。( d ) 引理3 9 令r 是一个交换a r t i n 环，a 一个半单r 玳数存在自然数，1 1 ，琳 和r 除法代数d 1 ，d r 使得 a 皇帆。( d i ) 0 o ( d r ) 定理3 1 0 4 r 是一个交换d 删n 环，a 是一个a r t i n 兄玳数令只0 = 1 ，8 ) 是互不同构的不可分解投射左a 模那么a 的直和分解中只的重数啦等 i d i m d , 最，其中现是一个兄一除法代数，i = 1 ，s 如果r = k 是一个代数闭域，a 一个a r t i nk - 代数那么以上所提到的所有 的d 均为七我们有 定理3 1 1 4 k 是一个代数闭域，a 一个a r t i n 七玳数令只( i = 1 ，8 ) 是互 不同构的不可分解投射左a 模那么a 的直和分解式中只的重数啦等于 d i m k 最 最后我们考虑它们与基代数以及初等代数的联系。 令a 是一个a r t i i l 代数，a = o ：1 只，其中只为不可分解投射模。代 数a 称为基代数如果只喾易对于i j 一个有限维肛代数a 称为初等的如 果a r a d a = o 。七( 域硼q n 个拷贝的直和) 推论3 1 2 令兄是一个交换a r t i n 环，a 一个a r t i n 尼代数那么a 是基代数当 且仅当所有单模s 的d 一维教是一雏的即，对于所有i = 1 ，5 ，d i m 觑最= 1 证明由定理3 7 ，只的重数m 等于c a m v , s 。由只掌弓( i j ) 可知每个只都只 有一个，从而对于所有i ，m = 1 因此，对于所有i ；1 ，8 ，d l m d 。鼠= 1 口 推论3 1 3 有限维初等的k - a 欺- - 定是基代数 证明如果舡代数a 是初等的，那么每个单模是一维的。因此，在a 的直和分解 中不可分解投射左a - 模只的重数都是一。因此，对于t j ，只喾弓 口 推论3 1 4 代数闭城k 上的每个基代数都是初等的 第二章a r t i n 环和a r t i n 代数的直和分解 1 5 证明设a 是基代数。由基代数的定义知，a 的直和分解中不可分解投射左a - 模只的重数都是一。从而d i m o , s = 1 如果七是代数闭域，那么d t = 知那 么d i m k 最= 1 。所以& = 七因此，a r a d h = o ：l 最= o 。七 口 3 3阮( m ，礼) 的分解 本节我们要把我们的结果应用到( m ，n ) 的分解中( ( m ，n ) 的定义见2 2 ， 细节见【1 6 1 ) 。首先，我们要把( m ，n ) 分解为主不可分解模的直和a 见【1 6 ，7 3 1 在【1 6 1 中，我们发现：不同构的投射模p t ，( 0 f o 。m 0 是婀 的作为向量空阃的基， 定理4 4 作为代数，“j j 式, e j w l 同构于( s t 2 ) 证明同构映射由如下确定： 瓦山一e ，r 山一只厶一i ，一k ，瓦一k 口 第四章弱h o p f 代数的直和分解 1 9 在w j 中，我们记x = 鼠，( 1 一山) ，y = 瓦( 1 一厶) 我们有 引理4 5 倒x ( 1 一山) = ( 1 一厶) x = x ， 一矿y ( i 一九) = ( 1 一山) y = y ， 训( 1 一l ) ( 1 一山) = ( 1 一山) ， 俐x y = y x 证明( i ) - ( i i i ) 显然。 下面给出( i v ) 的证明： x y = 风( 1 一厶) 凡( 1 一如) = 玩r ( 1 一厶) y x = 凡玩( 一= ( 既凡一等三孕) ( 一无) = 玩肿训一等( 1 训 = 玩凡( 1 一山) 一堑二垦q 二_ 业q - 1 垦鱼 = 玩兄( 1 一无) 定理4 6 作为代数，似，式中的虼同构5 - k z ，纠 证明同构映射妒：w 2 一k x ，叫定义为： x h z ，y ”管，1 一厶h 1 由引理4 5 ，这是一个同构映射 众所周知七扛，们同构于下列箭图的代数： 厂、 b 满足关系z y = y z 口 口 综上所述，w s l 。2 是( s 如) 和七k ，胡的直和。因此埘s 。2 的表示是( s 1 2 ) 的表 示和奄k ，引的表示的直和。 2 0 代数表示论在h o p f 代数中的应用 4 2 w s l q 2 的余代数i 的e x t 箭图 m o n t g o m a r y , c h i n 1 7 ，6 0 ，章璞，陈小伍，黄华林【15 】分别给出了e 吼箭图 几种等价的定义。这里我们只考虑点余代数的情形。 令c 是一个点余代数，我们定义g 的e x t 箭图r g 的顶点为g 的群样元，箭头 对应于线性无关的非平凡的斜本原元。也就是说。如果$ ，y 是c 种中的群样元， 记b 口( c ) ； c q c = c o z + 可o c ，那么边茁一的重数等f d i m p = 口( 口) - 1 e x t 箭图还有另一种定义。设它的单( 右) 余模同构类的全体组成的集合记 为s 对于x ，y 最右g 余模范畴中扩张o x z y o 的等价类记为 的e x t c ( y , x ) e x t 箭图f = r ( c ) 定义为有向图，顶点为f o = s 。边为： x _ y 兮e x t c w , x ) 0 边的重数是由反m e z c ( y ，x ) 给定在参考文献【5 9 】的定理1 7 中，已经证明 单( 右) o 余模的e x t 箭图( 作为有向图) 同构于箭图r 口。 在【4 8 】中已证明，w s l 。2 中的群样元为：，瓦，瓦，瓦，1 ，山， 砩，磁， 注意到w s l q 2 是点的，顶点对应于w s l q 2 的群样元，箭头对应于非平凡斜本 原元。 对于斜本原元素，当i 1 时 氐( 风心) 类似地，对于t l 易见 。) 氏( 晚) ( 玩固+ 1 0 瓦) ( 或。磁) 风磁o k l + 1 + 磁固风磁 乱( 凡瓦) = r 或。或+ 硭1 0 凡或 。( 职。) = e j 乙固厶+ 瓦0 圆e 0 乙 ( ) ；o 玩+ l r 第四章弱h o p f 代数的直和分解 对于i 2 ， 乜( 玩瓦) = 瓯或。砖1 + 瓦。玩瓦 “( 凡以) = 瓦磁。磁+ 砖1 0 凡磁 因此，w s l 9 2 的余代数的e 吼箭图起 砬如砖砖乳砭耳 靠嚅 昂】p ：五瓦 j _ 图4 2 砭如琏砖 ；= = 其中顶点代表群样元，而箭头代表b ，( w s l 。2 ) 的非平凡的生成元。因此叫s 2 作 为余代数是不可分解的，因为箭图是连通的 4 3 v s l 口2 的直和分解 弱量子群v s l q 2 是由日，r ， 0 ，瓦生成的含1 的结合肛代数满足下列关系 【r 1 * 、k 承产曩。k 。k 五。k 。= k 。曩。k 丑。= r 。 ( r 2 ”) 甄b k 。= 矿日， ( r 3 ”) j l r k 。= q - 2 凡， ( a 4 - ) k 曩。r r x 承。= 警静 v s l q ( 2 ) 的余代数结构由下式给定( 见【4 8 】) 。( 鼠) 。( 兄) 色( 凰) 岛( 风) = l 圆l e 。l - 4 - l e 。l 圆k 。， = 五r 五。五十k 。o 五r 五， = k ，o k ，。( 。) = k 。o k 。， = e 。( 只) = 0 ，。( ) = 岛( k 。) = 1 警 代数表示论在h o p f 代数中的应用 弱对极由以下给出： t ( 1 ) = 1 ， t ( ) = 瓦， t ( - 蟊j = 虬。 t ( 风) = 一蜀_ t ， t ( r ) = 一j 乙r 弱量子群口s 如2 也简单地记为y 易见，如果( r 1 ”) 成立，( 1 t 2 ) 等价 于_ t ，日托= q - 2 风事实上，( 1 t 2 ”) 隐含鼠= q - 2 纸玩_ t ，和 永。e 。k 。一f 。哏。k ，e 再。k 。 = q 4 r 。k 。k 。e 承承。k 。 = q - 4 e 承。 = q - 2 日 类似地，( r 3 ”) 等价于_ t ，r 虬