（电工理论与新技术专业论文）基于小波变换的图像去噪研究.pdf

基于小波变换的图像去噪研究 a b s t r a c t d i g i t a li m a g e sa r eo f t e nc o n t a m i n a t e db yn o i s ed u r i n gi m a g ea c q u i s i t i o na n d t r a n s m i s s i o n n o i s ed e g r a d e st h ei m a g eq u a l i t ya n dc a u s e ss o m el o s so fi n f o r m a t i o n d e t a i l s i ti sv e r yi m p o r t a n tt os u p p r e s st h e s en o i s e si ni m a g e sb e f o r es u b s e q u e n t p r o c e s s i n g ，s u c ha si m a g es e g m e n t a t i o n ，e d g ed e t e c t i o n ，e t c b u ti np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ， n o i s ei nt h ei m a g e si so f t e nam i x e do n e ，w h i c hm i g h tb ec o m p o s e do fg a u s s i a nn o i s e a n di m p u l s en o i s e u n f o r t u n a t e l y , t h ee x i s t i n gd e n o i s i n ga l g o r i t h m sa r eo f t e nd e s i g n e d t od e a lw i t has i n g l ek i n do fn o i s e ，g a u s s i a nn o i s eo ri m p u l s en o i s e f o rt h em i x e dn o i s e ， t h o s ea l g o r i t h m sc a nn o ta c h i e v es a t i s f a c t o r ye f f e c t i nr e c e n ty e a r s ，w i t ht h ec o n t i n u o u si m p r o v e m e n to ft h ew a v e l e tt h e o r y , t h e w a v e l e ta n a l y s i sh a sb e e nu s e di nm a n yf i e l d s i nt h em e a n w h i l e ，t h ew a v e l e th a sb e e n w i d e l yu s e di ni m a g ed e n o i s i n ga n dm a n yi m a g ed e n o i s i n ga l g o r i t h m sb a s e d o nw a v e l e t t r a n s f o r mh a v eb e e np u tf o r w a r d t h ep a p e rm a i n l yd o e ss o m es t u d i e si ni m a g e d e n o i s i n ga p p l i c a t i o n sb a s e do i lw a v e l e t ，a n dm a k eaf e wa l t e r a t i o n si nt h ed e n o i s i n g m e t h o d f i r s t ，t h i sa r t i c l ec a r r i e so nt h ec o m p r e h e n s i v es u m m a r yt ot h ei m a g e d e n o i s i n g p r e s e n t s i t u a t i o na n dt h ec o m m o n l yu s e dm e t h o d s w a v e l e tt h r e s h o l df i l t e rm e t h o d i nt h e w a v e l e tf i l t e rt e c h n i q u e ，w h i c ho b t a i n sw i d e s p r e a da p p l i c a t i o nb e c a u s eo fc a l c u l a t e d s i m p l y t h i sa r t i c l ea l s o b r i e f l yi n t r o d u c et h eb a s i ct h e o r i e so fw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o n a n dt h ew a v e l e tt r a n s f o r i l lo ft w o - d i m e n s i o n a li m a g e n e x t ，t h i sa r t i c l ei n t r o d u c ei m a g ed e n o i s i n g m e t h o d sb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r m ， a n de m p h a t i c a l l yi n t r o d u c ew a v e l e tt h r e s h o l dm e t h o d t h e n ，t h i sa r t i c l ei n t r o d u c et h ec o m m o n n o i s et y p e sa n dp o i n to u tt h em e t h o d so ft h e d e n o i s i n gi np r e s e n t t h e nm a i n l ys t u d ya n da n a l y z es e v e r a lp r o b l e m so fw a v e l e t t h r e s h o l dm e t h o di nr e m o v i n gg a u s s i a nn o i s e ，i n c l u d i n g t h ec h o o s i n gp r i n c i p l eo f w a v e l e tb a s eo fo r t h o g o n a lw a v e l e tt r a n s f o r n l ，t h es e l e c t i o no ft h et h r e s h o l da n dt h e c h o o s i n gw a y so fw a v e l e td e c o m p o s i t i o nl e v e l t h ee x p e r i m e n tp r o v e st h e s ed i s c u s s i o n r e s u l t sa r ee f f e c t i v ei nd e n o i s i n g t h i sa r t i c l ea l s os t u d ya n da n a l y z et h ef i l t e r i n gm e t h o d w h i c hc o m b i n e sm e d i a nf i l t e r i n gm e t h o dw i t hw a v e l e tt h r e s h o l ds h r i n k i n gm e t h o d f i r s t l y t h i sm e t h o du s em e d i a nf i l t e r i n gm e t h o db a s e d o nt h ei m p u l s en o i s ed e t e c t i o nt o d e t e c ti m p u l s en o i s ea n df i l t e rw a v e l e t t h e n ，t h eg a u s s i a nn o i s ec a nb er e m o v e db y u s i n gt h ew a v e l e tt h r e s h o l ds h r i n k i n gm e t h o d f i n a l l y ，t h i sa r t i c l es u m m a r i e st h ew o r ka n dm a k e st h ef o r e c a s tt ot h ea l g o r i t h mo f i m a g e d e n o i s i n gf u r t h e rr e s e a r c hd i r e c t i o n 1 1 硕f 学位论文 k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ；w a v e l e tt h r e s h o l dm e t h o d ；i m a g ed e n o i s i n g ； g a u s s i a nn o i s e ；i m p u l s en o i s e ；m i x e dn o i s e i l l 幕于小波变换的图像奎噪研究 插图索引 图1 。l 小波域去噪流程图5 图2 1 多分辨分析的树结构1 9 图3 1 自适应分解流程图2 8 图3 2 阈值函数曲线2 9 图3 3 综合阈值函数特性曲线3 0 图3 4 小波阈值萎缩去噪法流程图3 5 图3 5 采用不同小波函数去噪主观质量比较。3 9 图3 6 采用不同阈值函数去噪主观质量比较4 l 图3 7 不同去噪方法输出图像直观比较4 2 图4 1脉冲检测条件一流程图4 7 图4 2 脉冲检测流程图4 8 图4 3 基于脉冲检测的中值滤波流程图5 0 图4 4 混合噪声背景下去噪流程5 l 图4 5不同中值滤波方法直观效果比较5 2 图4 6 不同滤波方法对混合噪声滤波效果直观比较：o 5 4 i v 硕十学位论文 附表索引 表1 1 三种去噪方法比较11 表3 1 不同j 下交小波基仿真结果输出图像的信噪比s n r 比较3 8 表3 2 采用不同阈值函数图形去噪后信噪比s n r 比较4 0 表3 3 不同去噪方法输出结果信噪比s n r 比较4 1 表4 1m a n 图像在不同滤波算法下的信噪比s n r 比较表5 3 v 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名：却蕊 日期洲。年岁月，日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中 国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 日期：弘j 年 日期波0 一f o 年lu 譬只日 6 月7 日 冬 o逐 匆币 名名签签者师作导 硕r 学位论文 1 1 课题背景 第1 章绪论 图像是人们获取信息的重要来源之一。一幅图像所包含的信息量是其它方法 如声音、文字所无法比拟的。同时，图像在医学、测绘、工业生产、军事公安、 视频多媒体等领域有着广泛的不可替代的应用。近三十年来，图像信号处理成为 信号处理研究的热点和难点。对每一个图像处理系统，在图像的获取、处理、发 送、传输、接收、输出等环节都可能存在不同程度的噪声，从而降低了图像质量。 比如，摄像时，由于光学系统的失真、或者相对运动都会使图像模糊；而在医学 上，由于传感器受到人体器官、组织、光照等各方面的影响、成像的图片存在一 定的模糊性，较难识别病变组织与正常组织，不利于早期诊断。因此，如何对这 些降质图像或受到噪声污染的图像进行处理，提取有用信号，提高信噪比，以满 足图像处理的要求，一直是图像预处理的热点问题。 。小波分析是继傅里叶分析的一个突破性进展。它给许多领域带来了崭新的思 想，并提供了强有力的工具。小波分析的发展推动着许多其他学科和领域的发展， 使得其本身具有了多学科相互结合、相互渗透的特点。探讨小波的新理论、新方 法以及新应用己经成为当前数学界和工程界的一个非常活跃和富有挑战性的研究 领域【1 ，2 1 。 小波分析的出现和发展，源于许多不同科学领域信号处理的需要。作为一种 数学工具，小波分析已广泛应用于信号分析、图像处理、数值分析等方面，而这 些应用中产生的问题进一步激发了人们研究小波分析的兴趣，由此，带来了小波 分析的迅速发展。 近年来，基于小波变换的去噪方法不断出现在有关信号及图像处理研究的文 献中，这标志着一种新的去噪思路出现。m a l l a t 等利用l i p s c h i t z 指数在多尺度上对 信号和噪声的奇异性( s i n g u l a r i t y ) 进行描述，提出基于小波变换模极大值原理的信 号( 或图像) 去噪方法【3 - 5 】。随后，以d o n o h o 为首的学术群体另辟蹊径，提出小 波域阈值萎缩去噪法，取得了不少理论及应用成果【6 以。 小波去噪的成功主要得益于小波变换有如下特点：1 时频局部化特性；2 多分 辨率特性；3 解相关特性；4 选基灵活性。其中，性质1 和性质2 决定了小波去噪 方法能在去除噪声的同时，能很好地保留信号的突变或图像的边缘。第二章有更 详细的小波的性质和应用的介绍。 1 2 研究现状 基于小波变换的图像去噪研究 目前，人们根据实际图像的特点、噪声的统计特征和频谱分布的规律，发展 了各种各样的图像去噪方法。广义上来讲，图像去噪方法基本上可分为空间域法 和变换域法两大类。空间域法是在原图像上直接进行数据运算，对像素的灰度值 进行处理。它又分为两类：一类是对图像作逐点运算，称为点运算；另一类是在与处 理像素点邻域有关的空问域上进行运算，称为局部运算。变换域法是在图像的变 换域( 如频域、小波域) 上进行处理，首先对图像进行某种变换，将图像从空问域转 换到变换域，再对变换后的系数进行相应的处理，最后将处理后的系数通过反变 换再转换到空间域来达到去除图像噪声的目的。 图像空间域去噪的方法很多，最常用的是均值滤波和中值滤波。均值滤波又 称邻域平均，其是一种局部空间域处理的算法，即用一像素邻域内所有像素的灰 度平均值来代替该像素原来的灰度值。该方法去除高斯噪声有较好的效果，同时 运算过程简单，但缺点明显，图像经过均值滤波处理后会变得相对模糊，这是因 为均值滤波本来就是以图像的模糊为代价来换取噪声的减少的。中值滤波是一种 空间域非线性滤波方法，由于它在实际运算过程中并不需要图像的统计特性，所 以比较方便。在一定条件下，它可以克服线性滤波器所带来的图像细节模糊，而 且对滤除脉冲噪声最为有效。 将图像从空间域转换到变换域的变换方法很多，傅罩叶变换是一种最经典的 方法。根据噪声能量一般集中于高频，而信号频谱分布于一个有限区间的特点， 先用傅里叶变换将含噪图像信号变换到频域，再对图像的频谱进行某种修正，如 采用低通滤波器进行滤波，最后将修正后的图像变换值逆变换到空间域就可以达 到图像去噪的目的。当信号和噪声的频带相互分离时这种方法比较有效，但当信 号和噪声的频带相互重叠时( 比如当信号中混有白噪声时) ，则效果较差，因为低通 滤波器在抑制噪声的同时，也将信号的边缘部分变得模糊；而高通滤波器可以使边 缘更加突出，但背景噪声也同时被加强。因此，基于傅里叶变换的去噪方法存在 着保护信号局部性和抑制噪声之间的矛盾，其原因是傅里叶变换方法在时域不能 局部化，难以检测到局域突变信号，在去除噪声的同时也损失了图像的边沿信息。 小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化性质，不仅可以将图像的结构 和纹理分别表现在不同分辨率层次上，而且具有检测边沿( 局域突变) 的能力，因此， 利用小波变换在去除噪声时，可提取并保存对视觉起主要作用的边沿信息。与傅 罩叶变换去噪方法相比，小波变换去噪方法具有明显的优越性，近年来在去噪领 域受到了许多学者的重视，他们应用小波进行去噪，获得了非常好的效果，对高 斯噪声尤其如此。小波去噪法己成为图像去噪的主要研究方向，小波阈值萎缩法 尤为其中的佼佼者，自1 9 9 2 年d o n o h o 和j o h n s t o n e 提出小波阈值萎缩方法后，人 们纷纷对阈值的选择进行了研究，并提出了多种不同的阈值萎缩法。目前，基于 阂值萎缩的小波去噪方法的研究仍然非常活跃，近年来不断有新的方法出现，而 2 硕i j 学佗论文 且也可以看出，人们的研究方向己经转为如何最大限度地获得信号的先验信息， 通过对图像小波系数进行统计建模来得到更好的小波去噪算法。另外，对多小波、 脊波、曲波等去噪方法的探索也都丰富了小波去噪的内容。 各种去噪方法有不同的应用范围，适合不同类型的噪声滤除，而一幅图像中 往往包含几类噪声，针对被混合噪声污染的图像，近年来人们也做了一些研究工 作，一般是通过结合几类去噪方法来滤除混合噪声。 综上所述，图像去噪的方法主要有下面四类去噪方法。基于空域的去噪方法。 主要包括均值滤波和中值滤波两种方法。这类方法最大的优点就是运算过程简单。 这类方法最大的优点就是运算过程简单。均值滤波对高斯噪声有较好的去噪效果， 但其造成图像细节部分的模糊。中值滤波对脉冲噪声有较好的去噪效果，但其在 去噪的过程中，其实有脉冲噪声的存在，又给图像引入新的噪声。基于频域的去 噪过程其实就是把图像进行傅里叶变换，然后根据噪声和图像像素变换后系数的 不同，分离两者，然后重构。这类方法最大的问题无法有效地区别噪声和细节的 高频，容易造成图像的模糊。小波域的图像去噪是在小波域内利用小波变换的多 分别率，有效地解决以上变换所存在的问题。所以小波域的去噪问题是今年来图 像去噪研究的热点。但小波域也存在自己的缺陷，其不能对脉冲噪声有效地去除， 所以对混合噪声不能有效地去除。对于混合噪声，一般采用混合去噪法。在本文， 对混合噪声的去噪也是基于这个思想提出的。 1 3 图像噪声模型 1 3 1 图像噪声分析 图像成像过程【l l j 是一个光电综合调制过程，因而，图像噪声由电噪声和光学 噪声组成。电噪声泛指由辐射噪声、热噪声、散粒噪声、产生的复合噪声。光学 噪声则特指因结构引起的空间随机不均匀有关的噪声。后续信号处理过程同样会 引入噪声。 1 光电转换传感器件引入的噪声 目前用于成像的c c d 图像传感器的输出信号是空间采样的离散的模拟信号， 其中夹杂着各种噪声。主要有以下几种噪声源：光电子散弹噪声、暗电流散粒噪 声和输出放大器产生的k t c 噪声，另外还存在低频噪声和宽带高斯噪声。应用中， 在弱光照情况下，其影响更为严重，此时常用具有泊松密度分布的随机变量作为 光电噪声的模型。这种分布的标准差等于其均值的平方根。在光照较强时，泊松 型分布趋向更易描述的高斯分布，而标准差( r m s ) 仍等于均值的平方根。 2 信号处理电路引入的噪声 在电子器件中由电子随机热运动而造成的电子噪声很早就被电路设计人员成 基f 二小波变换的图像上噪研究 功地建模并研究了。这些包括信号放大、模数变换等环节产生的噪声，一般用零 均值高斯噪声作为模型，它具有一个高斯函数形状的直方图分布以及平坦的功率 谱。它也可用其r m s 值( 标准差) 来完全表征。有时电子器件也会产生一种所谓 的1 f 噪声，这是一种强度与频率成反比的随机噪声，然而图像处理问题很少需要 对这种1 f 噪声进行建模。 在大多数情况下，图像常见的噪声源都可以视为高斯分布。按照噪声与图像 的数学关系进行分类，主要有加性噪声和乘性噪声，在大部分情况下，属于加性 噪声，所以我们研究图像的去噪基本上都是研究加性噪声的去噪。成像系统由很 多不同的线性子系统组成，在图像成像过程中每_ 步都会引入噪声，增大了噪声 的不确定性。实际上我们很难完全统计成像过程中噪声污染机理，即使给予某个 区域内噪声的幅值分布，它至多不过代表该区域内噪声的分布的近似情况，很难 说它完全代表噪声的性质和数量关系。仅仅依据噪声来源，不可能精确地预测噪 声的大小，无法准确写出噪声的数学函数形式，因此，对于这种不确定的随机现 象，我们只能用概率论的统计方法来处理它，做到近似处理。 1 3 2 噪声模型 在信号与图像去噪处理中，为了模拟所研究的噪声，需要人为地建立各种噪 声模型【1 2 以4 1 。在信号与图像处理中，高斯白噪声广泛的用作最具有代表性的噪声 模型，它含有所有的频率成分，功率频谱是恒定的，又具有高斯分布这样方便的 性质。脉冲噪声是另外一种广泛的用作具有代表性的噪声模型，它的出现一般都 伴有高斯噪声的出现，所以去除脉冲噪声其实需要去除混合噪声。大部分信号的 噪声模型都可以看做高斯噪声或者高斯噪声和脉冲噪声的混合，所以研究高斯噪 声的去噪或者研究混合噪声( 包含高斯噪声和脉冲噪声) 的去噪具有广泛的意义。高 斯噪声和脉冲噪声的建模如下： 1 高斯噪声( g a u s s i a nn o i s e ) 高斯噪声也称为正态分布噪声，其随机变量的概率密度函数p d f 由下式给出： 只x ) = ，占一e 如) 陀矿 ( 1 1 ) 、。 2 万盯 其中，x 表示灰度值，“表示x 的平均值或期望，盯表示x 的标准差，o - 2 则是x 的方差。若随机变量x 服从高斯分布，则其值有7 0 落在 r t 仃，g + o - 区间，有9 0 落在 “2 0 - ，1 t + 2 仃】区间内。实际上我们在做讨论时通常假定x 的平均值p 为零。 2 脉冲噪声( s l a ta n dp e p p e rn o i s e ) 脉冲噪声又称为椒盐噪声，其主要形成于成像中的短暂停留中，比如，错误 饷开关操作。其随机变量的概率密度函数p d f 可由下式给出： 4 硕十学位论文 f 岛 z = 口 p ( x ) = p b x = b ( 1 2 ) 10其他 在图像中，如果b a ，灰度值为b 在图像中则显示为一个亮点，而灰度值为a 在图像中将显示为一个暗点。若p 。或p b 为零，则称脉冲噪声为单极脉冲。如果p a 和p b 均不为零，特别是它们近似相等时，脉冲噪声值将在图像中将呈现类似于随 机分布的胡椒( 黑点) 和盐粉( 白点) 微粒，因此，双极脉冲噪声也称为椒盐噪 声。 1 4 小波变换去噪的理论依据 1 4 1 信号去噪问题的描述 设长度为n 信号被噪声所污染，可以建立如下的含噪数据模型： ( z ) = s ( f ) + 刀( f )( 1 3 ) 去噪的目的是，从含噪数据球) 得到信号s ( i ) 的一个逼近信号f 【i ) ，使得在某种 误差准则估计下砸) 是s ( i ) 最佳逼近。也就是说，去噪的主要任务是最大程度的将 实际信号与噪声信号分离开，保留真实的信号，滤除噪声信号。 小波域中图像去噪的基本原理是，首先将含噪信号进行预处理，然后把信号 进行小波变换，把信号从时域变换n 4 , 波域，然后再根据各尺度下各小波系数的 特点分离信号的小波系数和噪声的小波系数，最后用所得的信号小波系数经过逆 变换重构信号的时域表达形式。其流程如下图所示。 图1 1 小波域去噪流程图 1 4 2 函数的正则性及其度量 正则性【”】通常用来刻画函数的光滑程度，正则性越高，则函数越光滑，通常 用l i p s c h i t z 指数口来度量函数的f 则性。 若存在常数k 0 和一个n = lql 阶多项式，v t r 使得下式成立 l ( f ) 一风( f ) l 砷一t o l 口 ( 1 4 ) 基于小波变换的图像去噪研究 则称函数f 【t ) 在点具有局部l i p s c h i t z 指数口( 口0 ) 。 实际上，l i p s c h i t z 指数口描述的是函数与多项式p 。( t ) 的近似程度，因为若在 点t o 连续可微，则p n ( t ) 其实是f 【t ) 的t a y o r 展开的前n 项。 l i p s c h i t z 指数口还具有以下特点： 若f ( t ) n 次可微，但n 阶导数不连续，而n + 1 次不可微，则n 0 ，则该函数的小波变换模极 6 硕 学位论定 大值将随尺度的增大而增大；反之，若口 0 ，则该函数的小波变换模极大值将随尺度的增大而增大；若a = 0 ，则该函 数的小波变换的模极大值不随尺度改变。 2 噪声的模极大值特性【l 6 j 噪声所对应的l i p s e h i t z 指数通常是小于零的，如高斯噪声是一个处处奇异的随 机分布，它具有一个负的l i p s c h i t z 指数0 【= 1 2 g 0 ，而且，高斯噪声的平均稠密 度反比于尺度2 j ，即尺度越大，其平均稠密度越稀疏。由于噪声的口 0 ，所以其 小波变换模极大值将随尺度的增大而减小。 综上述述，可以知道信号与噪声在小波变换各尺度上的模极大值具有截然不 同的传输特性。 1 4 5 信号与噪声在小波变换上的传播特性 小波变换具有很强的数据去相关性，能够使信号的能量在小波域集中在少量 的大的小波系数中，而噪声却分布在整个小波域，对应大量的数值小的小波系数， 经小波分解后，信号的小波系数的幅值要大于噪声的小波系数的幅值。 1 5 几种典型小波去噪方法 基于小波变换常用的图像去噪方法【1 7 棚】有：1 基于小波变换模极大值去噪法； 2 基于小波变换尺度间相关性去噪法；3 基于小波阈值萎缩去噪法。其中研究最广 泛的是基于小波阈值萎缩去噪法，这是因为其对最普遍的噪声高斯噪声有良好的 去噪效果，同时其也具有快捷的实现方法。 1 5 1 基于小波模极大值去噪法 基于小波模极大值去噪算法的基本思想是，首先根据信号与噪声在不同尺度 上模极大值的不同传播特性，从所有小波变换模极大值中选择信号的模极大值而 去除噪声的模极大值，然后利用信号的模极大值重构原信号。一般情况下，选择 二进制小波作为变换小波。 小波模极大值去噪法的具体算法步骤为： 1 对含噪信号进行离散二进s o d , 波变换，所选尺度数应通过实验或者经验使 在最大分解尺度下信号的模极大值点个数占优，且信号重要的奇异点不丢失。一 7 皋f 小波变换的图像上噪研究 般选取4 个或者5 个尺度即可； 2 求出在每个尺度上小波变换系数对应的模极大点； 3 在最大分解尺度上，小波变换模极大值几乎完全由信号控制，选取一个阈 值，使得模极大值小于该阈值的点被作为噪声去除，并由此得到最大尺度上新的 模极大值点： 4 从尺度j 上的每个模极大值点开始，用a dh o c 算法向上搜索其对应的模极 大值曲线，在各尺度j 上寻找每个模极大值点对应的传播点，保留信号产生的模极 大值点，去除噪声引起的模极大值点，并将不在任意模极大曲线上的点去掉，这 样逐级搜索，直到2 尺度； 5 保留与2 尺度对应的l 尺度的极值点，而将其余位置的极值点置为零； 6 由各尺度保留下来的模极值点及其极值点的位置，选用交替投影方法重建 信号。 小波变换模极大值去噪法，具有很好的理论基础，对噪声的依赖性较小，无 需知道噪声的方差，适合于低信噪比的去噪问题。但这种去噪方法的缺点是，计 算速度慢，小波分解尺度的选择是难点，小尺度下，信号受噪声影响较大，大尺 度下，会使信号丢失某些重要的局部奇异性。 小波模极大值去噪主要适用于信号中混有白噪声，而且信号中含有较多奇异 点的情况。该方法在去噪的同时，可以有效地保留信号的奇异点信息，去噪后的 信号没有多余的振荡，是原始信号的一个好的估计。该方法去噪效果非常稳定， 对噪声的依赖性较小，无需知道噪声的方差，对低信噪比的信号去噪问题更能体 现其优越性。但用模极大值进行重构时，计算速度较慢：同时利用该方法去噪，小 波分解尺度的选择非常重要，小尺度下小波系数受噪声影响非常大，产生许多伪 极值点；大尺度会使信号丢失某些重要的局部奇异性，因此，去噪还需选择合适的 尺度。 1 5 2 基于小波变换尺度间相关性去噪法 从上面的分析可知信号与噪声在不同尺度上模极大值的不同传播特性，这表 明信号的小波系数之间有很强的相关性的。而噪声的小波系数则具有弱相关或不 相关的特点，同时噪声的小波变换主要集中在小尺度各层次。 在不同分辨率下，图像特征对应着较大的小波系数，这些小波系数之间通常 存在着相关性，称这种相关性为尺度间的相关。这种相关性是小波变换分解过程 中内在固有的，反映了在多分辨率下，相同的尺度空间中，重要的小波系数“聚集” 在某些区域的特性。如图像的边缘就是重要的小波系数出现的区域，我们把这种 相关性称为尺度内的相关性。 我们可以根据信号与噪声的小波变换在不同尺度间的相关性特点，通过将相 8 硕十学位论文 邻尺度的小波系数直接相乘来增强信号而抑制噪声。x u 2 0 1 等人提出了一种空域选 择性的噪声滤波方法( s s n f ) 。具体过程如下： 定义尺度上点处的相关系数为： c o r ( j ，n ) = w f ( 2 j , n ) w f ( 2 j + 1 ，n ) ( 1 1 3 ) 简记为 c o r o ，n ) = w o ，n ) w ( j + l ，n ) ( 1 1 4 ) 定义规范化相关系数 n c o r ( j ，n ) = c o r 0 ，n ) 4 p w ( j ) p c o r ( j ) ( 1 15 ) 其中 p w ( j ) 2 w ( j ，n ) ， ( 1 1 6 ) p c o r ( j ) 2 c o r ( j ，n ) ( 1 17 ) n p w ( j ) 和p c o r o ) 分别对应尺度的小波系数与相关系数的能量。显然，在尺度j 下，小波系数与规范化相关系数具有相同的能量。相关去噪的核心环节是通过比 较n c o r o ，n ) 与w o ，n ) 的绝对值的大小来提取信号的边缘信息。如果下式成立， l n c o r o ，n ) l 1 w o ，n ) i ( 1 18 ) 那么意味着相关运算的结果使该点所对应的小波变换的幅值增大，因此可以认为刀 点的小波变换由信号控制，w 0 ，n ) 赋给w 0 ，n ) ，然后将该点的w 0 ，n ) 、c o r 0 ，n ) 都置 0 。如果下式成立， i n c o r o ，n ) l 1 w o ，n ) l ( 1 19 ) 那么认为该点的小波变换由噪声控制，对应该点都保持不变。这样就将该尺度下 重要的边缘点提取出来了。然后再重复以上步骤，提取次重要的边缘点。 基于小波系数尺度间的相关性去噪可取得好的去噪效果，去噪效果比较稳定， 比较适合高信噪比信号，在分析信号的边缘方面具有优势，并且可扩展到边缘检 测、图像增强及其他应用。其不足之处是计算量较大，与阈值萎缩去噪法相比， 后者去噪效果更好，计算量较少。 1 5 3 小波阈值萎缩去噪法 1 9 9 2 年，d o n o h o 和j o h o s t o n e 提出了小波阈值萎缩去噪法。该方法在最小均 方误差意义下可达近似最优，并且取得了较好的视觉效果，因而得到了深入广泛 的研究和应用，他们采用的是正交离散小波变换( d w t ) ，因此也把它称为d w t 小 波阂值去噪方法。 由1 4 5 节可知，小波变换具有很强的数据去相关性，能够使信号的能量在小 波域集中在少量的大的小波系数中，而噪声却分布在整个小波域，对应大量的数 值小的小波系数，经小波分解后，信号的小波系数的幅值要大于噪声的小波系数 9 基于小波变换的图像去噪研究 的幅值，于是可以采用阈值的办法把信号的小波系数保留，而使大部分噪声的小 波系数减少为零。 如式( 1 3 ) 所示的信号模型，噪声信号呈高斯分布。其对应的离散信号模型如下 所示 f 【k ) = x ( k ) + n ( k ) ，k = l ，2 ，l ，n 一1 ( 1 2 0 ) 信号对应的二进制小波变换如式所示， w r o ，k ) = 2 兰f ( n ) o ( 2 j n 一七)( 1 2 1 ) w 娟，k ) 是离散小波变换系数，2 j j n k ) 是离散小波。为了简化描述，记w f o ，k ) 为w f i , 。由式( 1 2 1 ) 可知，经过小波变换之后，f i = k ) 的小波系数w f ，k 仍由两部分 组成。其一是系数w s ( j ，k ) ，对应着s ( 1 ( ) 部分，记作s ( j ，k ) ，其二是w n o ，k ) ，对应着 n ( k ) 部分，记作n ( j ，k ) 。 小波阈值萎缩去噪法的基本思路是： 1 首先对带噪信号f ( k ) 作小波变换，得到一组小波系数w f j , ； ij 2 通过对w f j ，k 进行阈值处理，得出估计小波系数w f j l c ，使得1 w f j ，k - w s o ，k ) i 尽 ii 可能小； 3 利用w f i k 进行小波重构，得到估计信号f ( k ) ，即为去噪之后的信号。 小波阈值去噪方法中关键是如何进行小波系数估计。对坟k ) 做连续作几次小波 分解之后，由于空间分布不均匀，原始信号耿) 所对应的各尺度上小波系数w f j , ， 在某些特定的位置有较大的值，对应于的是奇异位置和重要信息；对于白噪声n ( k ) ， 它所对应的小波系数w n ( j ，k ) 在每一尺度上分布是均匀的，并随着尺度的增加， w n ( j ，k ) 的系数的幅值有所减小。因此，通常的去噪办法是寻找一个合适的值五作 为阈值，把低于五的小波系数( 主要由噪声引起) 设为零，对高于五的小波系数( 主要 由信号引起) ，则予以保留或进行收缩，从而得到估计小波系数，然后剩下的小波 系数进行重构，重构原始信号。 小波阈值萎缩去噪法中，步骤l 和3 分别是小波分解与重构过程，已有现成 的算法，因此，该方法的核心是步骤2 ，即小波系数的估计，或称阈值处理处理。 小波阈值萎缩去噪主要适用于信号中混有白噪声的情况。用小波阈值法去噪 的优点是噪声几乎完全得到抑制，且反映原始信号的特征尖峰点得到很好的保留。 用软阈值法去噪可使去噪信号是原始信号的近似最优估计，且估计信号至少和原 始信号同样光滑而不会产生附加振荡。这种方法的不足是： 1 去噪效果依赖于信噪比的大小： 2 在有些情况下，如在信号的不连续点处，去噪后会出现伪吉布斯现象； 3 用该方法去噪时，阈值的选择对去噪效果有着很重要的影响。 但小波阈值萎缩去噪的计算速度很快，该方法还具有广泛的适应性，因而是 l o 硕十学位论文 众多小波去噪方法中最为广泛应用的一种。 1 5 4 三种去噪方法的比较 在图像去噪的过程中，应根据实际信号的特点以及这几种方法的优缺点来决 定采用哪种去噪方法。表1 1 给出了几种方法的定性比较的结果。 表1 1 三种去噪方法比较 去噪方法 模极大值去噪法法相关玄噪去噪法闽值萎缩去噪法 效果较j c ，好好 稳定性稳定较稳定依赖于信噪比 计算量大较火小 使用范闱低信噪比信号高信噪比信号高信噪比信号 从比较结果来看，阈值萎缩去噪法由于具有能得到原始信号的近似最优估计、 计算速度快以及具有广泛的适应性等优点，是小波去噪方法中应用最广发的一种。 一般当信噪比高时，均可选用该方法去噪：当图像中含有较多奇异点时或信噪比较 低时，小波变换模极大值去噪法去噪性能较好，但计算速度太慢，在应用中需权 衡去噪效果和计算速度之间的关系；当信噪比较高并且需要分析信号的边缘特征 时，选相关性去噪较为合适。事实上，在实际应用中，常把上述方法有机地结合 起来综合利用。 1 6 研究内容 本文旨在研究小波的最新理论，进一步完善小波理论和小波应用的桥梁，在 前人提出的有关小波去噪算法的基础上，展开更加系统和深入的讨论，力求探索 小波理论在信号与图像去噪中的一些新的方法。本文的具体章节安排如下。 第1 章介绍了基于小波变换去噪的研究背景和研究现状。信号的模型，以及 基于小波变换去噪的基本理论基础和几种常用的去噪方法。最后，介绍了本论文 的主要工作和每章的研究内容。 第2 章讨论了小波分析的基本理论：介绍了连续小波变换、离散小波变换和 二进s o d , 波变换；多分辨率分析和正交小波基。 第3 章讨论了高斯背景下图像的去噪问题。对小波阈值去噪方法的几个关键 问题进行了讨论，并提出了一些改进方案，包括分解层数的选择，小波基的选择 和阈值函数的改进。并通过仿真实验，证明了讨论的结论的可行性。 第4 章讨论了混合噪声背景下图像的去噪问题。提出了独立去噪的方法，研 究了一种基于脉冲检测的中值滤波。并给出了混合噪声的去噪步骤，最后通过实 验证明方法的有效性。 最后，对全文做了总结，并对未来的研究做了展望。 基于小波变换的图像上噪研究 1 7 小结 本章介绍了基于小波变换去噪的研究背景和研究现状，并介绍了信号的模型， 以及基于小波变换去噪的基本理论和几种常用的去噪方法。最后，介绍了本论文 的主要工作和每章的内容。 1 2 硕l j 学位论文 第2 章小波分析的基本理论 小波分析属于时频分析的一种，是从傅里叶分析中发展而来的，但是又优于 傅里叶分析。傅罩叶分析作为一种经典的方法曾经被广泛地应用，但是由于其是 一种全局的变换，反映的是信号整个时域对频率的贡献，也就是 兑傅里叶变换的 积分核平滑了信号的突变成分，无法确定信号发生变换的时间位置和变化的剧烈 程度，即无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是实际应用过程中的非 平稳信号最根本和最关键的性质。小波变换有效地克服了傅里叶变换的这个缺点， 从而得到了迅速的发展。 2 1 傅里叶变换 傅里叶变换【2 1 】是小波变换的理论来源，是研究小波变换的起点。如果函数是 周期的，则函数可以分解成傅里叶级数，反之，对应为傅里叶变换。广义的讲， 傅里叶变换是傅里叶级数的推广，两者分别介绍如下。 2 1 1 傅里叶级数 设f ( t ) 是以2 万为周期的函数，且坟t ) e ( 一万，乃) ，那么 1 赢g 一) 脚 l 斯 ( 2 1 ) 是l 2 ( 一万，g ) 的标准化正交基，则f i t ) 可展开为： 1 厅 厂( 刀) = 圭if ( t ) e 加* d x ( 2 2 ) 厶冗，1 3 称为f i t ) 的傅里叶级数。其中n 的取值为整数，傅里叶级数把函数分解成在一组归 一化正交基( 也就是正弦波) 上的叠加，刻画了在频域的每个离散点信号的成分， 即一个均匀离散谱。傅罩叶级数把以2 刀为周期且能量有限的信号f i t ) 分解到一组 在( 一7 ， ) 上的正交基。这组正交基在l 2 ( 一7 ，7 ) 上稠密，也就是说其线性组合可以覆 盖在l 2 ( 一万，7 ) 所有的函数。这样对信号