高中数学 1.3.2.1 等比数列的前n项和同步课件 北师大版必修5.ppt

1 掌握等比数列前n项和公式 重点 2 能利用错位相减法求等比数列前n项和 难点 若一个数列是等比数列 它的前n项和写成sn aqn b q 1 则a与b有何关系 提示 a b 0 则常数项与qn的系数互为相反数 等比数列前n项和sn的性质 1 项的个数的 奇偶 性质 等比数列 an 中 公比为q 若共有2n项 则s偶 s奇 q 若共有2n 1项 则s奇 s偶 q 1且q 1 2 数列 an 为等比数列 sn为其前n项和 则 sn s2n sn s3n s2n 仍构成等比数列 其公比为qn q 1 3 当q 1时 等比数列前n项和的基本运算等比数列前n项和运算的技巧 1 在解决与前n项和有关的问题时 首先要对公比q 1或q 1进行判断 若两种情况都有可能 则要分类讨论 2 对于基本量的计算 列方程组求解是基本方法 通常用约分或两式相除的方法进行消元 3 在等比数列中 对于a1 q n an sn五个量 若已知其中三个量就可求出其余两个量 常常列方程组来解答问题 有时会涉及高次方程或指数方程 可能遇到困难 这时要注意表达式有什么特点 再采取必要的数学处理方法 例1 已知一个等比数列 an a1 a3 10 求a4和s5 审题指导 解决本题的思路是将a1 a3 a4 a6均用首项a1与公比q表示 解得公比后 利用通项公式和前n项和公式易求得a4与s5 规范解答 设等比数列的公比为q 则有 即 a1 0 1 q2 0 得 变式训练 设等比数列 an 的前n项和为sn 若s3 s6 2s9 求数列的公比q 解析 若q 1 则s3 s6 2s9 9a1 0 与题设矛盾 故q 1 依题意 得整理得 q3 q3 1 2q3 1 0 q 0 q 1 2q3 1 0 误区警示 解决本题容易出现以下几处错误 1 忽视q 1的验证 结果出现了q 1或 2 当解到2q3 1 0时 不会开3次方 导致错误 等比数列前n项和性质的应用等比数列前n项和性质的应用技巧 1 在涉及奇数项和s奇与偶数项和s偶时 常考虑其差或比进行简化运算 2 在利用基本量运算较为复杂时 常观察等比数列的下标 看是否有规律 借助性质简化运算 例2 在等比数列 an 中 若前10项的和s10 10 前20项的和s20 30 则前30项的和s30 审题指导 解决本题可以有两种思路 一是利用s10 10 s20 30联立解得公比q的值 再代入s30求解 二是考虑利用s10 s20 s10 s30 s20成等比数列解决 规范解答 方法一 设数列 an 的首项为a1 公比为q 则两式相除 得1 q10 3 q10 2 方法二 s10 s20 s10 s30 s20仍成等比数列 又 s10 10 s20 30 即s30 70 答案 70 变式训练 等比数列 an 共有2n项 其和为 240 且奇数项的和比偶数项的和大80 则公比q 解题提示 根据题意列出关于s奇 s偶的方程组 求出s奇 s偶 然后由求得公比q 解析 由题意 知所以 公比答案 2 利用错位相减法求和错位相减法 1 错位相减法的原理 实际上是将一个普通数列进行转化成为特殊数列求和的方法 2 特点 适用错位相减法的数列形式为 an bn 其中 an 为等差数列 bn 为等比数列 3 步骤 作和 sn a1b1 a2b2 anbn 乘以公比 qsn a1b2 a2b3 anbn 1 相减 1 q sn a1b1 a2 a1 b2 an an 1 bn anbn 1 化简求得sn 乘以公比是指乘以等比数列 bn 的公比 化简时注意相减式子中的第一项和最后一项以及符号 例3 已知等比数列 an 的前n项和为sn a 2n b 且a1 3 1 求a b的值及数列 an 的通项公式 2 设求数列 bn 的前n项和tn 审题指导 本题的解决思路首先是考虑用an sn sn 1 n 2 求解数列 an 的通项公式 在第二问的处理上要考虑用错位相减法把非常规的数列化成常规数列求和 规范解答 1 当n 2时 an sn sn 1 2n 1 a 而 an 为等比数列 得a1 21 1 a a 3 从而an 3 2n 1 又 a1 2a b 3 b 3 2 两式相减得因此 互动探究 若其他的条件不变 把第二问中的改为bn nan 求解数列 bn 的前n项和tn需要怎么解决 解析 由题可知 数列 bn 的通项公式为bn nan 3n 2n 1 所以数列 bn 的前n项和tn 3 20 3 2 21 3 3 22 3n 2n 1 所以上面两式相减可得 所以求得tn 3 n 1 2n 3 变式训练 2011 苏州高二检测 已知数列 an 的首项 1 证明 数列是等比数列 2 求数列的前n项和sn 解析 1 数列是以为首项 为公比的等比数列 2 由 1 知即设则由 得 又 数列的前n项和 等比数列前n项和的实际应用 1 解数列应用题的思路和方法 2 应用数列知识解决实际问题的步骤 1 根据实际问题提取数据 2 建立数据关系 对提取的数据进行分析 归纳 建立数列的通项公式或递推关系 3 检验关系是否符合实际 符合实际可以使用 不符合要修改关系 4 利用合理的结论对实际问题展开讨论 例 某地现有居民住房的总面积为am2 其中需要拆除的旧住房面积占了一半 当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下 仍以10 的住房增长率建新住房 1 如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番 那么每年应拆除的旧住房总面积x m2 是多少 可取1 110 2 6 2 过10年后需要拆除的旧住房面积中还未拆除的旧住房总面积占当地住房总面积的百分比是多少 保留到小数点后第1位 审题指导 根据已知条件 把实际应用问题转化为数列问题 然后根据其特点转化为等比数列问题 求和得到方程 解方程即可得所求问题的结果 规范解答 1 根据题意 可知1年后住房总面积为 1 1a x 2年后住房总面积为 1 1 1 1a x x 1 12a 1 1x x 3年后住房总面积为 1 1 1 12a 1 1x x x 1 13a 1 12x 1 1x x 10年后住房总面积为 1 110a 1 19x 1 18x 1 1x x由题意 得2 6a 16x 2a 解得 2 所求百分比为 变式备选 为了保护三峡库区的生态环境 凡是坡度在25 以上的坡荒地都要绿化造林 经初步统计 在三峡库区内坡度大于25 的坡荒地面积约有2640万亩 若从2009年初开始绿化造林 第一年造林120万亩 以后每年比前一年多绿化60万亩 1 若所有被绿化造林的坡荒地全都成功 问到哪一年底可使库区的坡荒地全部绿化 2 若每万亩绿化造林的所植树苗的木材量平均为0 1万立方米 每年树木木材量的自然生产率为20 那么当整个库区25 以上坡荒地全部绿化完的那一年底 一共有木材多少万立方米 保留一位小数 1 29 5 16 1 28 4 30 解析 1 设a1 120 d 60 第n年后可以使绿化任务完成 则有解得n 8 或n 11 舍 故到2016年底可以使库区内坡度在25 以上的坡荒地全部绿化 2 到2016年造林数量为a8 120 7 60 540 万亩 设到2016年底木材总量为s 依题意有 s 120 1 28 180 1 27 240 1 26 540 1 2 0 1 6 2 1 28 3 1 27 9 1 2 令s 2 1 28 3 1 27 9 1 2 两边乘以1 2 得1 2s 2 1 29 3 1 28 9 1 22 得0 2s 2 1 29 1 28 1 27 1 22 9 1 2 7 1 29 18 s 5 7 1 29 18 90 6 s 6 90 6 543 6 万立方米 答 到2016年底共有木材543 6万立方米 典例 12分 2011 新课标全国高考 已知等比数列 an 中 公比 1 sn为 an 的前n项和 证明 2 设bn log3a1 log3a2 log3an 求数列 bn 的通项公式 审题指导 首先根据已知的首项和公式表示出sn 然后进行化简 在第 2 问的求解中应先根据通项公式求出各项 再求和 规范解答 1 因为 2分 4分所以 6分 2 bn log3a1 log3a2 log3an 1 2 n 10分所以 bn 的通项公式为 12分 误区警示 对解决本题易犯错误具体分析如下 即时训练 已知数列 an 是首项为a1且公比不等于1的等比数列 sn是其前n项和 a1 2a7 3a4成等差数列 证明 12s3 s6 s12 s6成等比数列 证明 设 an 的公比为q 因为a1 2a7 3a4成等差数列 所以4a7 a1 3a4 即4a1q6 a1 3a1q3 变形得 4q3 1 q3 1 0 所以或q3 1 不合题意 舍去 所以所以成等比数列 1 设 an 是公比为正数的等比数列 若a1 1 a5 16 则数列 an 的前7项和为 a 63 b 64 c 127 d 128 解析 选c 由a1 1 a5 16 得q 2 2 设等比数列 an 的公比q 2 前n项和为sn 则 a 2 b 4 c d 解析 选c 3 等比数列 an 的前n项和为sn 若s2 6 s4 30 则s6 解析 由题意得s2 s4 s2