高中数学 1.2.1.1 等差数列同步课件 北师大版必修5.ppt

1 掌握等差数列的判定方法 重点 难点 2 求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定项 重点 等差数列关键词的理解 当公差d 0时 数列是等差数列吗 提示 是 可以从两方面考虑 一是从定义考虑 当公差d 0时 满足从第二项起 每一项与它前一项的差等于同一个常数 二是从等差数列的通项公式来看 当d 0时an a1 数列 an 为常数列 仍为等差数列 等差数列的判断 定义法 等差数列的判断方法 定义法等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据 要证明一个数列是等差数列 可用an 1 an d 常数 或an an 1 d d为常数且n 2 当给出的通项公式为an pn q形式时 有时也要通过定义来证明 若要说明一个数列不是等差数列 则只需举出一个反例即可 例1 判断下列各组数是否构成等差数列 1 2 2 2 2 2 cos0 cos1 cos2 cos3 3 3m 3m a 3m 2a 3m 3a 4 a 1 a 1 a 3 审题指导 本题考查的是等差数列的定义 可以直接看所给各项是否符合等差数列的定义 规范解答 1 2 2 2 2 2 2 0 数列是等差数列 2 cos1 cos0 cos2 cos1 数列不是等差数列 3 3m a 3m 3m 2a 3m a 3m 3a 3m 2a a 数列是等差数列 4 a 1 a 1 a 3 a 1 2 数列是等差数列 变式训练 已知 an 为等差数列 bn a3n 1 求证 数列 bn 为等差数列 解题提示 本题考查判定数列为等差数列的方法 可利用an为等差数列 设出其通项公式 再判断bn 1 bn是否为常数 证明 设等差数列 an 的首项为a1 公差为d 则an a1 n 1 d bn 1 bn a3 n 1 1 a3n 1 a1 3 n 1 d a1 3nd 3d bn 为等差数列 求数列通项公式或特定项的方法在等差数列 an 中 首项a1与公差d是两个最基本的量 有关等差数列的问题 一般思路是化为关于a1与d的方程组求解 从而得出通项公式 而特定项的求法则有两种方法 一是借助通项公式代入求解 二是根据已知和特定项的关系求解 求数列的通项公式或特定项 例2 已知递减等差数列 an 的前三项和为18 前三项的乘积为66 求数列 an 的通项公式 并判断 34是数列 an 的项吗 审题指导 由数列前三项和为18 前三项积为66 列出关于a1和d的方程组 通过解方程组可求解a1和d 即可求出an 注意递减等差数列的条件 由an 34求n 然后由n n 可判断 规范解答 设等差数列 an 的公差为d 依题意得解得或 数列 an 是递减等差数列 d 0 故取a1 11 d 5 an 11 n 1 5 5n 16 即等差数列 an 的通项公式为an 5n 16 令an 34 即 5n 16 34 得n 10 34是数列 an 的第10项 互动探究 若将本例中的 递减等差数列 改为 递增等差数列 其余条件不变 如何求解 解析 由例题解答可知 解得 数列 an 是递增等差数列 d 0 故a1 1 d 5 所以通项公式an 1 n 1 5 5n 4令an 34 即5n 4 34 解得n 6 不合题意 舍去 所以 34不是数列 an 中的项 或 等差数列在实际生活中的应用关于等差数列的主要应用及思想 在利用等差数列解决实际问题时 一定要注意实际问题的意义 例3 某公司经销一种数码产品 第1年可获利200万元 从第2年起 由于市场竞争等方面的原因 其利润每年比上一年减少20万元 按照这一规律 如果公司不开发新产品 也不调整经营策略 从哪一年起 该公司经销这一产品将亏损 审题指导 利用等差数列的定义结合已知条件确定是等差数列问题 根据a1和d求出通项公式 把问题转化为an 0 解出答案 回归到实际问题中去 规范解答 由题设可知第1年获利200万元 第2年获利180万元 第3年获利160万元 每年获利构成等差数列 an 且当an 0时 该公司会出现亏损 设从第1年起 第n年的利润为an 则a1 200 an an 1 20 n 2 n n 所以每年的利润an可构成一个等差数列 an 且公差d 20 从而an a1 n 1 d 220 20n 若an 0 则该公司经销这一产品将亏损 所以由an 220 20n 0 得n 11 即从第12年起 该公司经销此产品将亏损 变式训练 某市出租车的计价标准为1 8元 km 起步价 即不超过2km 为5元 如果某人乘坐该市的出租车去往13km处的目的地 且一路畅通无需等候 需要支付多少车费 解析 根据题意 出租车的行程不超过2km时 计价5元 而超过2km后 每增加1km 加价1 8元 所以可以建立一个等差数列 an 来计算车费 设a1 5 表示没超过2km的车费 公差d 1 8 当出租车行至13km处时 n 12 a12 a1 11d 5 11 1 8 24 8 元 即需要支付车费24 8元 误区警示 解决本题时 出现的错误在于不能正确地把实际问题转化为数列问题来解决 找不出a1和d 思路不清晰导致错误 含数列相邻两项关系的问题 解含有数列相邻两项关系的题目的技巧这类含有相邻两项关系的题目 一般的处理思路有两种 一是作差 将关系式代入 整理后 得到常数 从而证明数列是等差数列 二是把项数代入关系式 求出前几项 然后根据特点归纳总结出通项公式 然后证明正确 例 已知数列 an 中 a1 an n 2 n n 数列 bn 满足 n n 1 求数列 bn 的通项公式 2 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 审题指导 首先利用等差数列的定义去说明数列 bn 为等差数列 从而可以得到bn 再利用an与bn的关系 就可确定an了 然后结合函数的有关性质去求最值 规范解答 1 因为an n 2 n n bn 所以当n 2时 bn bn 1 又b1 所以数列 bn 是以为首项 以1为公差的等差数列 bn n 1 1 2 由 1 知 bn 则设函数f x 易知f x 在区间 和 内为减函数 所以当n 3时 an取得最小值 1 当n 4时 an取得最大值3 变式备选 已知数列 an 满足a1 4 an n 1 记bn 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 的通项公式 解析 1 又 数列 bn 是首项为 公差为的等差数列 2 由 1 知bn n 1 n bn 典例 2011 杭州高二检测 已知 an 为等差数列 首项为 它从第10项开始比1大 那么公差d的取值范围是 a d b d c d d d 审题指导 解决本题的关键是正确地理解题目中的已知条件 它从第10项开始比1大 挖掘其隐含条件a9 1 然后进行解决 规范解答 选d 由题可得a1 根据等差数列的通项公式可得从而解得故选d 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 首项为 24的等差数列 从第10项起开始为正数 则公差d的取值范围为 a d b d 3 c d 3 d d 3 解析 选d 设公差为d an 24 n 1 d 由题知可得得 d 3 故选d 1 等差数列 3 7 11 的一个通项公式为 a 4n 7 b 4n 7 c 4n 1 d 4n 1 解析 选d a1 3 d 4 an a1 n 1 d 3 n 1 4 4n 1 故选d 2 若数列 an 的通项公式an 2n 5 则此数列是 a 公差为2的等差数列 b 公差为5的等差数列 c 首项为5的等差数列 d 公差为n的等差数列 解析 选a an 1 an 2 n 1 5 2n 5 2 d a1 7 故选a 3 2011是等差数列1 4 7 10 的第 a 669项 b 670项 c 671项 d 672项 解析 选c 由于1 4 7 10 是等差数列 首项a1 1 公差d 3 则an 1 n 1 3 3n 2 令3n 2 2011 得n 671 故选c 4 一个首项为23 公差为整数的等差数列 如果前6项均为正数 第7项起为负数 则它的公差为 a 2 b 3 c 4 d 6 解析 选c 设an 23 n 1 d 则即 解得又因为d z 所以d 4 5 若 an 为等差数列 a2 10 a10 8 则a15 解析 an 为等差数列 设