高中数学 1.2.4 分段函数及映射配套课件 新人教A版必修1.ppt

1 2 4 分段函数及映射 学习目标 1 了解映射的概念及其表示方法 2 结合简单的对应图示 了解一一映射的概念 3 通过具体实例 了解简单的分段函数 并能简单应用 4 能解决简单函数的应用问题 1 分段函数所谓 分段函数 习惯上是指在定义域的不同部分 有 不同的 的函数 解析式 值域是 3 1 3 2 映射 1 设a b是两个非空的集合 如果按照某一个确定的对应关系f 使对于集合a中的任意一个元素x 在集合b中 确定的元素y与之对应 那么就称对应f a b为 从集合a到集合b的 都有唯一 一个映射 2 由映射的定义可以看出 映射是 概念的推广 函数是一种特殊的映射 要注意构成函数的两个集合a b必须 是 函数 非空数集 练习2 在映射f a b中 a b x y x y r 且f x y x y x y 则与a中的元素 4 3 对应的b中的 元素为 7 1 问题探究 1 用图表示下列两个集合a b的元素之间的一些对应关系 1 a 1 4 9 b 3 2 1 1 2 3 对应法则 开平方 2 a 3 2 1 1 2 3 b 1 4 9 对应法则 平方 求正弦 2 答案 1 1 3 2 分段函数是一个函数还是几个函数 答案 一个 题型1 分段函数 若f 1 a f 1 a 则a的值为 答案 34 分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来处理相关问题 首先要确定自变量的值属于哪一个区间 从而选定相应表达式代入计算 特别地 要注意分段区间端点的取舍 变式与拓展 1 2011年北京 根据统计 一名工人组装第x件某产品所 已知工人组装第4件产品用时30分钟 组装第a件产品用时 15分钟 那么c和a的值分别是 a 75 25 b 75 16 c 60 25 d 60 16 故选d 答案 d 题型2 分段函数的应用 例2 如图1 2 3 一动点p从边长为1的正方形abcd的顶点a出发 沿正方形的边界逆时针运动一周 再回到点a 若点p运动的路程为x 点p到顶点a的距离为y 求a p两点间的距离y与点p运动的路程x之间的函数关系式 图1 2 3 思维突破 利用数学知识建立相应的数学模型 求目标函数解析式 本题需要对点p的位置进行分类讨论 确定y与x之间的函数关系 解 1 当点p在ab上 即0 x 1时 ap x 也就是y x 2 当点p在bc上 即1 x 2时 ab 1 ab bp x bp x 1 根据勾股定理 得ap2 ab2 bp2 3 当点p在dc上 即2 x 3时 ad 1 dp 3 x 根据勾股定理 得ap2 ad2 dp2 4 当点p在ad上 即3 x 4时 有y ap 4 x 所求的函数关系式为 解数学应用题的一般程序 首先要在阅读材料 理解题意的基础上 把实际问题抽象成数学问题 建立相应的数学模型 对其进行分析 研究 得出数学结论 最后把数学结论 结果 返回到实际问题中 变式与拓展 2 如图1 2 4 在边长为4的正方形abcd的边上有一点p 沿着折线bcda由点b 起点 向点a 终点 移动 设点p移动的路程为x abp的面积为y 求 abp的面积y与点p移动的路程x的函数关系式 图1 2 4 解 当点p由点b向点c移动时 abp为直角三角形 ab 4 bp x y 2x x 0 4 当点p由点c向点d移动时 abp是以ab 4为底 高为4的三角形 所以y 8 x 4 8 当点p由点d向点a移动时 abp为直角三角形 其中ab 4 另一直角边为12 x 所以y 2 12 x x 8 12 综上所述 所求函数关系式是 题型3 映射的概念 例3 图1 2 5建立了集合p中元素与集合m中元素的对应关系f 其中为映射的是哪几个 为什么 图1 2 5 思维突破 根据映射的定义进行判断 1 集合p中的元素 3在集合m中没有元素与之对应 3 集合p中的元素2对应集合m中的元素3和4 不唯一 因此它也不是映射 4 集合p中的元素1对应集合m中的元素0 5和8 一对 多 也不是映射 2 5 是映射 符合映射的定义要求 解 1 3 4 都不是映射 因为 1 判断一个对应关系a b是否为映射 主要的依据是 集合a中的元素是否在集合b中都有元素与之对应 集合a中任一个元素在集合b中有唯一的元素与之对应 2 本题利用数图构建的对应关系直观地给出了集合间的对应关系 利用映射的概念判断以上数图是否为映射 只需看一看是否满足 一对一 或 多对一 的关系 且p中元素是否有剩余 变式与拓展 3 已知a x 0 x 4 b y 0 y 2 映射f a b 其 中x a y b 的对应法则可以是 f x y x 2 f x y x 2 a b c d 解析 按照 给出的对应法则 a中元素0在b中没有象 按照 给出的对应法则 a中任何一个元素在b中都有象且唯一 答案 d 4 若f y 3x 1是从集合a 1 2 3 k 到集合b 4 7 a4 a2 3a 的一个映射 则自然数a 自然数k 集合a b 解析 f 1 3 1 1 4 f 2 3 2 1 7 f 3 3 3 1 10 f k 3k 1 由映射的定义 知 a n 方程组 无解 解方程组 得a 2或a 5 舍 则3k 1 16 3k 15 k 5 a 1 2 3 5 b 4 7 10 16 2 5 4 7 10 16 1 2 3 5 例4 已知f a b是集合a到集合b的映射 又a b r 对应法则f x y x2 2x 3 k b且k在a中没有元 素与之对应 则k的取值范围为 a k 4c k 4 b 13 易错分析 正确理解在集合a到b的映射中 若存在实数k b 在集合a中没有元素与之对应 表示k应该在a中所有元素在b中对应的象组成的集合的补集中 解析 本题的关键在于读懂题意 y x2 2x 3 x 1 2 4 4 k b且k在a中没有元素与之对应 则k的取值范围为k 4 故选a 答案 a 方法 规律 小结 1 分段函数 1 分段函数的表达式因其定义域不同可以分成两个或两个以上的不同表达式 所以它的图象是由几个部分组成的总体 有的可以是一些孤立的点 2 求分段函数的函数值时 关键是看自变量的取值属于哪 一个区间 就用哪一个区间的解析式 3 分段函数是一个函数 而不是几个 各个定义域的并集即为分段函数的定义域 各个值域的并集 即为分段函数的值域 2 理解映射概念时要注意的几点 1 映射是函数的一种推广 两个集合a b 它们可以是数 集 也可以是点集或其他集合 2 集合a b及对应