高中数学 2.5从力做的功到向量的数量积课件 北师大版必修4 .ppt

数量积及其几何意义1 数量积的符号同夹角的关系 1 若为锐角或零角 2 若或与至少有一个为 3 若为钝角或平角 2 求平面向量数量积的方法 1 若已知向量的模及其夹角 则直接利用公式 2 若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影 可利用数量积的几何意义求 向量的夹角是计算向量的关键 求解过程中务必掌握向量夹角的求法 例1 已知与的夹角 120 1 求 2 求在上的射影 审题指导 已知向量 的模及其夹角 求及在上的射影 解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解便可 规范解答 1 与的夹角 120 2 方法一 由数量积的几何意义可知 在上的射影为方法二 由 1 可知且故在上的射影为 互动探究 1 在题设不变的情况下 求在上的射影 2 把 与的夹角 120 换成 求 解析 1 在上的射影为 2 若 且与方向相同 则 0 若与方向相反 则 180 求向量的模求向量的模的常见思路及方法 1 求模问题一般转化为求模平方 与向量数量积联系要灵活应用勿忘记开方 2 或此性质可用来求向量的模 可以实现实数运算与向量运算的相互转化 3 一些常见的等式应熟记 如等 对于较复杂的向量的模的计算方式 可类比求解 例2 2010 浙江高考改编 已知平面向量求 1 的值 2 的值 审题指导 利用分别求解 规范解答 由题意可知结合解得 变式训练 2011 遂川高一检测 已知且则 解题提示 利用求解 解析 答案 13 求向量的夹角求向量的夹角 的思路1 求向量的夹角的关键是计算及在此基础上结合数量积的定义或性质计算最后借助 0 求出 值 2 在个别含有与的等量关系式中 常利用消元思想计算cos 的值 向量的夹角与向量所在直线所成的角不同 前者的范围是 0 而后者的范围是 例3 设和是两个单位向量 其夹角是60 求向量与的夹角 审题指导 和是两个单位向量且夹角已知 可求其数量积 又向量均由向量和线性表示 待求向量的夹角 求解时可先利用求模 再利用求数量积 最后代入公式求夹角 规范解答 和是两个单位向量 其夹角是60 设与的夹角为 0 180 与的夹角为120 变式训练 已知都是非零向量 且与垂直 与垂直 求与的夹角 解析 由已知得即即 两式相减得代入 中任一式得设的夹角为 则 0 180 60 数量积的应用数量积的应用数量积主要应用在向量的化简 求值及平面图形的几何证明中 求解思路是 首先把待求向量用已知基底表示 其次借助数量积的定义及其变形判断边与边的关系 如借助向量的模找边长的关系 借助向量的夹角找边与边的关系 最后把向量运算的结果翻译成平面图形 基底选取的好坏直接影响向量运算的繁简性 例 2011 天津高一检测 如图 在 abc中 bac为直角 1 用表示 2 求 审题指导 1 要求用表示 故可借助向量的三角形法则把向量表示为然后代入求解便可 2 借助数量积的运算求解 规范解答 变式备选 2011 海淀模拟 在矩形abcd中 且点e f分别是边bc cd的中点 则 解题提示 选取为基底 利用数量积的定义求解 解析 设 点e f分别是边bc cd的中点答案 典例 12分 设两个向量满足与的夹角为若向量与的夹角为钝角 求实数t的范围 审题指导 向量与均是向量的线性组合 且夹角为钝角 求解思路为 计算需特别注意排除向量共线且反向的特殊情形 规范解答 由向量与的夹角为钝角 得 2分即 4分 且与的夹角为 化简得 2t2 15t 7 0 解得 6分当夹角为 时 也有但此时夹角不是钝角 与反向 8分 设 0 可求得 10分 所求实数t的范围是 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 2011 海安高一检测 在边长为1的正三角形abc中 解题提示 利用数量积的定义求解 注意向量的夹角 解析 abc是边长为1的正三角形 且向量之间的夹角均为120 答案 1 下列说法正确的是 a 在方向上的射影就是在所在直线上射影的长度 b 向量数量积的结果可以是任意实数 c 表示向量的长度 d 向量的数量积满足交换律 分配律 结合律 解析 选b 对于a选项 在方向上的射影为是可正 可负 可为零的 故在方向上的射影不是在所在直线上射影的长度 对于c选项 对于d选项 向量的数量积满足交换律 分配律 但不一定满足结合律 2 向量与的位置关系为 a 平行 b 垂直 c 夹角为 d 不平行也不垂直 解析 选b 向量与垂直 3 已知则向量与向量的夹角是 a b c d 解析 选c 设与的夹角为 由条件得所以 4 在边长为1的正三角形abc中 设则 解析 选为基底 则答案 5 向量的夹角为