高中数学 3.4.1 二元一次不等式（组）与平面区域同步课件 北师大版必修5.ppt

1 正确理解二元一次不等式表示平面区域 重点 2 会用二元一次不等式 组 表示平面区域 难点 3 能从实际问题中抽象出二元一次不等式组 并用平面区域表示出来 重点 易错点 直线l ax by c 0把直角坐标平面分成了三部分 各部分上的点的特点是 1 直线l上的点 x y 的坐标满足ax by c 0 2 直线l一侧的平面区域内的点 x y 的坐标满足ax by c 0 3 直线l另一侧的平面区域内的点 x y 的坐标满足ax by c 0 每一个二元一次不等式组都能表示平面上的一个区域吗 提示 不一定 当不等式组的解集为空集时 不等式组不表示任何图形 二元一次不等式 组 表示的平面区域1 画二元一次不等式表示的平面区域的步骤 1 画出直线ax by c 0 并在直线一侧任取一点p x0 y0 2 把p x0 y0 坐标代入ax by c求值 3 若ax0 by0 c 0 则包含点p的平面区域为不等式ax by c 0表示的平面区域 直线的另一侧为不等式ax by c 0表示的平面区域 2 二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集 因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 若直线不过原点 p x0 y0 点通常选取坐标原点 例1 画出不等式组表示的平面区域 审题指导 先画出每个不等式表示的平面区域 再确定它们的公共部分 规范解答 不等式x y 2 0表示直线x y 2 0及右下方的点的集合 不等式x 2y 6表示直线x 2y 6 0左下方的点的集合 不等式x 0表示y轴及y轴右方的点的集合 y 0表示x轴及x轴上方的点的集合 所以不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分 变式训练 画出不等式组所表示的平面区域 解析 不等式x y 1 0表示直线x y 1 0上方部分的区域 不包括边界 不等式2x 3y 6 0表示直线2x 3y 6 0下方部分的区域 包括边界 不等式x y 1 0表示直线x y 1 0上方部分的区域 包括边界 不等式x 2y 2 0表示直线x 2y 2 0下方部分的区域 不包括边界 所以不等式组所表示的平面区域如图阴影部分 例 试用不等式组表示图中阴影部分表示的区域 审题指导 本题先观察图示 把边界的直线求出来 然后找一特殊点判定满足条件的区域所对应的不等式 即可得到所需的不等式组 规范解答 利用直线方程的两点式可得边界所在的直线方程分别为ab 2x 11y 17 0bc 2x y 3 0cd 2x 11y 67 0da 2x y 7 0 将 0 2 分别代入以上方程的左边得 2 0 11 2 17 502 0 2 7 5 0 阴影部分对应的不等式组为 变式备选 用不等式组表示由直线x y 2 0 x 2y 1 0和2x y 1 0围成的三角形区域 包括边界 解析 画出三条直线 并用阴影表示三角形区域 如图所示 取原点 0 0 将x 0 y 0代入x y 2得2 0 代入x 2y 1得1 0 代入2x y 1得1 0 结合图形可知 三角形区域用不等式组可表示为 求二元一次不等式组表示的平面区域的面积二元一次不等式组表示的平面区域面积的求法求平面区域的面积 先画出不等式组表示的平面区域 然后根据区域的形状求面积 若画出的平面区域是规则的 则直接利用面积公式求解 若图形是不规则的 可采用分割的方法 将平面区域分成几个规则图形求解 不规则区域常常分割成几个一条边在坐标轴上的三角形求解 例2 求不等式组表示的平面区域的面积 审题指导 画出不等式组表示的平面区域 再把四边形分割成两个三角形即可 规范解答 画出不等式组所表示的平面区域 如图所示 求得两直线x 2y 20与2x y 16 0交于点 4 8 s 4 10 8 8 52 互动探究 在本例中 若把二元一次不等式组中的2x y 16 0变为2x y 16 0 则结果如何 解题提示 画出不等式组所表示的平面区域 求出各交点的坐标即可求它的面积 解析 由题意得不等式组表示的平面区域为如图阴影部分 a b两点横坐标分别为8 20 s 12 8 48 变式训练 在坐标平面上 不等式组所表示的平面区域的面积为 a b c d 2 解题提示 画出不等式组所表示的平面区域 求出各交点的坐标即可求它的面积 解析 选b 由题意得图中阴影部分面积即为所求 b c两点横坐标分别为 1 s 用二元一次不等式组表示实际问题用二元一次不等式组表示实际问题的步骤 1 根据问题需求 选取具有关键作用的两个量用字母表示 2 把问题中的所有量都用这两个字母表示出来 3 由实际问题中的限制条件写出所有的不等式 4 把这些不等式组成的不等式组用平面区域表示出来 要注意题目中所设未知量的实际含义 如所设字母为正数或为整数等 例3 一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款 希望这笔贷款至少可带来30000元的收益 其中从企业贷款中获益12 从个人贷款中获益10 请用不等式组表示用于企业贷款和用于个人贷款的资金的范围 审题指导 设出用于企业和个人贷款的资金数 根据信贷部投入总额和这批贷款的总收益 列出不等式组即可 规范解答 设用于企业贷款的资金为x元 用于个人贷款的资金为y元 由于总资金为25000000元 得到 x y 25000000 由于计划从企业贷款获益12 从个人贷款中获益10 共创收30000元以上 所以12 x 10 y 30000 又因为企业和个人贷款不能为负 所以x 0 y 0 综上可得x y应满足以下不等式组 变式训练 一个化肥厂生产甲 乙两种混合肥料 生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 硝酸盐18t 生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 硝酸盐15t 现库存磷酸盐10t 硝酸盐66t 在此基础上生产这两种混合肥料 列出满足生产条件的数学关系式 解析 设x y分别为计划生产甲 乙两种混合肥料的车皮数 于是满足以下条件 典例 12分 画出不等式组所表示的平面区域 并求平面区域内有多少个整点 审题指导 不等式组所表示的平面区域是直线y 2x 0 x 2y 3 0 5x 3y 5 0所围成的三角形区域内部 只包含边界y 2x 0 求得区域内点的横纵坐标范围 取出x的所有整数值 即得出相应的y的整数值 规范解答 不等式组所表示的平面区域是如图所示的 abc区域 4分 可求得 6分所以 abc区域内的点 x y 满足 8分 x y z 0 x 2 2 y 0 且x y z 经检验 共有四个整点 0 0 0 1 1 1 2 2 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 利用区域求不等式组的整数解 解析 设l1 2x y 3 0 l2 2x 3y 6 0 l3 3x 5y 15 0 l1 l2 a l1 l3 b l2 l3 c a b 0 3 c 于是看出区域内点的横坐标在 0 内 取x 1 2 3 当x 1时 代入原不等式组有 y 1 得y 2 区域内有整点 1 2 同理可求得另外三个整点 2 0 2 1 3 1 1 不在3x 2y 3表示的平面区域内的点是 a 0 0 b 1 1 c 0 2 d 2 0 解析 选a 3 0 2 0 3不成立 选a 2 不等式组表示的区域为d 点p1 0 2 点p2 0 0 则 a p1 d p2d b p1d p2 d c p1 d p2d d p1 d p2 d 解析 选a 00不成立 p2d 故选a 3 不等式x 2y 1 0表示的平面区域在直线x 2y 1 0的 a 左上方 b 左下方 c 右上方 d 右下方 解析 选c 画出直线x 2y 1 0 把 0 0 代入不等式x 2y 1 0 可知原点不在不等式表示的平面区域内 故选c 4 原点和点 1 1 在直线x y a 0的两侧 则a的取值范围是 解析 设f x y x y a 由题意知f 0 0 f 1 1 0 即 a 2 a 0 0 a 2 答案 0 2 5 完成一项装修工程 请木工每人需付工资500元 请瓦