高中数学 1.5.3正玄函数的性质课件 北师大版必修4 .ppt

1 确定函数定义域的依据 1 分式中 分母不能为零 2 偶次根式中 被开方式非负 3 指数式中 底数为0时指数必然大于0 4 对数式中 底数大于零且不等于1 真数大于零 求函数的定义域 2 解三角不等式sinx m 或sinx m 的一般步骤 利用图像解不等式sinx m 或 m 的关键就是求方程sinx m的解 也就是求函数y sinx x r的图像与直线y m的交点横坐标 例1 求下列函数的定义域 1 2 审题指导 本题中有二次根式 对数式 分式 可利用求函数定义域的依据 列出不等式 组 通过解不等式 组 求出定义域 规范解答 1 为使函数有意义 需要满足sinx 0 由正弦函数的图像可知2k x 2k k z 原函数的定义域为 x 2k x 2k k z 2 为使函数有意义 需要满足即 方法一 画正弦函数的图像 如图所示 方法二 画单位圆 如图所示 由图像可知原函数的定义域为 变式训练 1 2011 大庆高一检测 函数的定义域为 解析 为使函数有意义则有 画数轴 观察可知 4 x 或0 x 原函数定义域为 4 0 答案 4 0 2 求下列函数的定义域 1 2 解析 1 为使函数有意义 需要满足1 sinx 0 即sinx 1 解之 得 k z 原函数的定义域为 2 为使函数有意义 需要满足作出函数y sinx的图像 如图所示 由图像可知 k z 所以原函数的定义域为 k z 函数奇偶性的判断 1 依据 函数奇偶性的定义 2 方法 求函数的定义域 并判断定义域是否关于原点对称 函数奇偶性的判断及应用 若定义域不关于原点对称 则知原函数既不是奇函数 也不是偶函数 若定义域关于原点对称 则继续判断f x 与f x 的关系 若f x f x 则知f x 是奇函数 若f x f x 则知f x 是偶函数 对于正弦函数要注意诱导公式sin x sinx的应用 例2 判断下列函数的奇偶性 1 f x xsin x 2 3 审题指导 解答本题要注意以下两个关键问题 1 先判断定义域是否关于原点对称 2 注意用诱导公式及对数的运算性质变形 判断f x 与f x 的关系 规范解答 1 函数f x xsin x 的定义域为r f x xsin x x sinx xsinx f x x sin x xsinx f x 函数f x xsin x 是偶函数 2 由2sinx 1 0 即 得函数定义域为 k z 此定义域在x轴上表示的区域不关于原点对称 该函数既不是奇函数 也不是偶函数 3 函数的定义域为r 函数是奇函数 互动探究 判断函数的奇偶性 解析 函数的定义域为r 函数是奇函数 1 对正弦函数单调性的理解 1 正弦函数在定义域r上不是单调函数 2 因为正弦函数是周期函数 周期为2 所以研究正弦函数的单调性 只要研究一个周期内 如 0 2 的单调性即可 正弦函数的单调性及应用 2 利用单调性比较三角函数值的大小的步骤 1 异名函数化为同名函数 2 利用诱导公式把角化到同一单调区间上 3 利用函数的单调性比较大小 例3 利用正弦函数的单调性 比较下列各对值的大小 1 sin190 与sin200 2 与 3 与 审题指导 解答本题的关键是对函数解析式恰当化简 利用y sinx在区间是增加的判断函数值的大小 规范解答 1 sin190 sin10 sin200 sin20 y sinx在上是增加的 sin10 sin20 sin10 sin20 即sin190 sin200 2 y sinx在上是增加的 3 y sinx在上是增加的 且 变式训练 不通过求值 指出下列各式大于零还是小于零 1 sin135 sin144 2 3 解析 1 sin135 sin45 sin144 sin36 y sinx在上是增加的 sin45 sin36 sin135 sin144 sin135 sin144 0 2 且函数y sinx在上是增加的 3 函数y sinx在区间内是增加的 且 即 关于三角函数复合函数问题的常见题型 1 化为关于sinx的一次函数 再利用换元法求一次函数在限定区间上的最大值 最小值 2 化为关于sinx的二次函数 再利用换元 配方等方法求二次函数在限定区间上的最大值 最小值 求复合函数的最大值 最小值 例 已知函数f x sin2x 2asinx a 1 x r 写出函数f x 的最大值的解析表达式g a 审题指导 把sinx看作一个 整体 原函数是二次函数 因此解答本题可以先求出t sinx x r的取值范围 然后求出函数y t2 2at a 1的最大值 规范解答 令t sinx则由x r知 1 t 1 于是原函数化为y t2 2at a 1 t 1 1 y t a 2 a2 a 1 若a 1 则当t 1时y f x 取得最大值 g a a 2 若 1 a 1 则当t a时y f x 取得最大值 g a a2 a 1 若a 1 则当t 1时y f x 取得最大值 g a 3a 2 综上可知 变式备选 求函数的最大值 解题提示 此类求复合函数最大值 最小值问题关键在于依据函数值的计算过程 把原函数转化为两个基本初等函数的最大 小 值问题 解答过程要特别注意函数的定义域 解析 由 sin2x 0得sin2x 0得2k 2x 2k k z k z 原函数的定义域为 k z令t sin2x 则t 0 1 y lgt在 0 1 上是增加的 原函数的最大值为lg1 0 典例 12分 求关于x的函数y asinx b a b r a 0 的最大值 最小值 审题指导 本例中函数的自变量为x 因此从总体看此函数为一次函数模型 且一次项系数a符号不定 因此解答本题的关键是在求出sinx的取值范围后 利用一次函数的单调性分类讨论 规范解答 由x r知 1 sinx 1 1分若a 0 则当sinx 1时 函数y asinx b取最大值 最大值为a b 3分当sinx 1时 函数y asinx b取最小值 最小值为b a 6分 若a 0 则当sinx 1时 函数y asinx b取最大值 最大值为b a 9分当sinx 1时 函数y asinx b取最小值 最小值为a b 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 函数y ksinx b的最大值为2 最小值为 4 求k b的值 解析 1 当k 0时当sinx 1时 函数y ksinx b取最大值 最大值为k b 2当sinx 1时 函数y ksinx b取最小值 最小值为 k b 4 由方程组 解得 2 当k 0时当sinx 1时 函数y ksinx b取最大值 最大值为 k b 2当sinx 1时 函数y ksinx b取最小值 最小值为k b 4 由方程组 解得 综上可知 k 3 b 1或k 3 b 1 1 的定义域为 a r b x x k k z c 1 0 0 1 d x x 0 解析 选b 由sinx 0得x k k z 所以原函数的定义域为 x x k k z 2 函数的奇偶性为 a 奇函数 b 偶函数 c 既是奇函数又是偶函数 d 非奇非偶函数 解析 选a 函数的定义域为r 令 则 所以是奇函数 3 函数y sinx的递增区间是 a k z b k z c 2k 2k k z d 2k 2k k z 解析 选b 函数y sinx的图像与函数y sinx的图像关于x轴对称 根据图像可知y sinx的递增区间是 k z 4 函数y 2sinx 的值域是 解析 画出函数y 2sinx 的图像如图所示 由图像可知该函数的值域为 0 2 答案 0 2 5 令