（基础数学专业论文）双解析函数的cauchy积分定理.pdf

摘要 摘要 复变函数起源于1 9 世纪初，起初它的核心理论是解析函数，解析函数具有非常绝 妙的性质，在机械、力学、数学物理等方面有着广泛和重要的应用但是当研究有源场有 旋场时，解析函数这一重要工具就显得无能为力了为了解决这个问题，赵桢于1 9 9 4 、 1 9 9 5 年提出了双解析函数的理论并初步研究了它们的性质本文系统的研究了双解析函 数在两种积分定义下的劬“咖积分定理、c 口”叻) ，积分公式和c 口甜c 砂高阶导数公式，使 得双解析函数的积分理论更加完善文章最后给出了双解析函数和双调和函数、重调和 函数的关系 关键词解析函数柯西积分公式柯西高阶导数公式双调和函数 a b s t r a c t a b s t r a c t c o i n p l c x 觚c t i o nw 雒o r i 百n a t e d 舶mt 1 1 eb e 酉n i l i n go f m e1 9 也c e | 伽珥a tf i r 鸡m ec o m e o r 庀i c so fi tw 硒a n a l ”i c 氕m c t i o n a n a l 如c 氕m c d o nh 翻s p l e n d i dp r o p 硎骼a n dw i d e l y u s e di nm e c h a i l i c s ，e i y i l a n l i c sa n dm a t l l 锄a t i c a lp h ) ，s i c se t c b u tw h w es t u d yi i l u r f i e l d 孤df l l l i so fr o t a t i o n ，t l l i si i n p o r t a l l tt i d 0 lb e c o m 鼯d i s a b l e d i i lo r d e rt 0 l v e 眦sp r o b l 锄， z h a oz h 铋p u tf o 刑a r d 璩吐诫证髓o fb i 锄a l 妒c 觚以o na n d 嘲m i e di t sp r o p e n i 鹤 p r e l i l l l i n 撕l yi l l1 9 9 4a n d1 9 9 5 u n d e rm e 铆oi 1 1 t c g r a ld e 觚t i o 璐，n l i sa m c l es t u d i 铬c 鲫c h yi l l t e g 豫lf o n i 】心aa n d c a u c h yd 嘶v a t i v eo fh i 曲e ro r d e rf o m u l as y s t 锄i c a l l yb yl l s i n gb i a n a l 如c 觚c t i o n ，也u s m a k e st 1 1 ei n t e g r a l 1 e 0 巧o ft h eb i 觚a l 如c 凡n c t i o nm o r ep e 疵c t a tl 嬲t ，锄a l y s em er c l a t i o 邶 o f b i a n a l 如c 如n c t i o n 砒1 dc o m p l e xh 锄o n i c 矗m c t i o i l ，b i h a 加1 0 i l i c 丘m c t i o n k e y w o r d s ：锄a l 蛳c 缸1 c t i o n ；c a u c h y 硫e g r a lf o 咖u l a ；c a u c h yd 耐v a t i v eo fh i 曲e ro r d e r f b r n l u l a ：b i h a m l o n i c 劬c t i o n i i 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 作者签名： 盎鱼复! ：坌日期：呈翌呈笠年月卫日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密回。 ( 请在以上相应方格内打“ ) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为奴白惭乏毅孟多厶纠c 勿李嘭氢罗 、 的学位论文，是我个人在导师历红受指导并与导师合作下取得的研究成果，研 究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资 助下完成的。本人完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的 各项法律、行政法规以及河北大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大 学的书面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内 容。如果违反本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人：盎丝堑垒：日期：2 翌笠年月日 作者签名：盎皇金! ：坌：日期：丝翌量年月l l 日 导师签名：+ 妻垂华亚一 日期：型年月4 日 第l 章引言 第1 章引言 1 文献综述： 复变函数起源于1 9 世纪初，起初它的核心理论是解析函数，解析函数具有非常绝 妙的性质，在机械、力学、数学物理等方面有着广泛和重要的应用例如，在研究平面无 源无旋场问题时解析函数显示了巨大的威力解析函数的边值问题在弹性力学、断裂力学 及工程技术中都有重要的应用解析函数的c 锄c h y 积分定理和c a u c h y 积分公式是整个 解析函数的理论基础，同时也是确定函数边界值的基础但是当研究有源场有旋场时，解 析函数这一重要工具就显得无能为力了，到了2 0 世纪3 0 年代，相继出现了准解析函数 及广义解析函数，它们的实部和虚部是满足方程组 娑一学：口“+ 枷 ( 1 1 ) 一= 口“+ 帅1 1 1 ， c 卵 譬+ 譬：c l f + 咖 ( 1 2 ) + = c “+ 咖 ( i z ) 口vo 的复变函数，这显然是对解析函数的推广，尽管近几十年来理论上得到了不少结果，但 通常很繁琐，且至今在力学、物理学上找不到明显的背景1 9 8 3 年王见定在文献【1 】中提 出半解析函数概念，并在1 9 9 8 年提出共轭解析函数概念，并研究了有关的一些性质只 是由于半解析函数对于c 口”咖一尺把m 口 方程组的某一个可以完全不做要求，致使当应 用这一理论时，在唯一性问题上遇到了难以克服的困难，为了解决这个问题，赵桢于 1 9 9 4 、1 9 9 5 年在文献【2 1 中提出了2 类新的函数，即：双解析函数、复调和函数并给出了 一系列关于双解析函数性质的定理，阐明了双解析函数的力学背景，解决了一类有源无 旋( 无源有旋) 场的边值问题例如：利用函数论方法解决平面弹性理论问题时，应力函 数是起着决定性作用的，应力函数可以表示为双解析函数的实部应力函数的第一和第二 基本基本问题可以归结为双解析函数的边值问题双解析函数的解析因子和解析加项 ( y ( z ) j l ( z ) )可以构成勋厶船d v函数和复彳幻，函数，即 盯；+ q = 4 r e q ) 】，吒二q + 2 f f 砂2 2 z 沙( z ) + ”( z ) 】 河北大学理学硕十学位论文 1 9 9 8 年王明华进一步研究了双解析函数的性质3 1 ，并提出了双解析函数的尺蛔口删 边值问题，并在文献【4 ，5 】中讨论了双解析函数r 沱朋口玎刀边值逆问题、双解析函数含未知 函数的r 把，触胛，l 边值问题及其正则型与非正则型情况的可解性，得到了该边值问题的可 解性结论之后曾岳生利用c 口“c 砂型积分和带位移的奇异积分方法研究并得到了 h 嬲e ，撇靠边值问题的一般解的表达式和可解条件及线性无关解的个数与指标间的关系 【6 1 2 0 0 0 年郑神州研究了双解析函数和双调和函数的关系【7 1 ，对于单连通区域上平面弹 性问题只有重力体力作用的应力函数建立了唯一性和存在性的结果 谢春平定义了双解析函数导数和积分嘲，建立了双解析函数的国“咖积分公式， 得到了双解析函数的一些重要结果李云霞利用文献【8 1 定义的双解析函数导数和积分，给 出了双解析函数的残数定理和辐角原理【9 t 1 0 】本文第二章在文献【1 积分定义的基础上系 统总结了双解析函数的c h 粥砂积分定理、c 口“咖积分公式第三章在文献8 1 积分定义的 基础上给出并证明了双解析函数的胁p 陀m 定理、闭路变形原理、勖“咖高阶导数公式 等有关的一些双解析函数定理正如解析函数和调和函数间的关系，双解析函数和双调和 函数间也有类似的关系，第四章将讨论双解析函数、双调和函数、复调和函数间的关系 2 双解析函数的定义及其表示式： 用c 表示复平面，d 为c 上的一个区域，z = x + z = x + d 定义符号 呈：当( 导+ f 晏) ( 1 3 ) a 三 2 、苏 砂7 昙：昙( 昙一f 晏) ( 1 4 ) 一= 一l 一l j ki q ， 如2 、苏却7 于是复变函数厂0 ) = “o y ) + 加oy ) 关于z 的偏导数为下面的形式： 苎2 三c c 罢+ f 罢，+ f c 参+ f 雾刀= 圭c c 罢一多，+ f c 宝+ 雾( 。 根据解析函数理论的有关结果，一个函数解析的充要条件是望：o az 2 第l 章引言 定义1 1 ( 双解析函数的定义诩) 设g 是平面上的区域，在g 上给定了复函数“z ) ， 要求它具有关于z 的二阶导数a 2 1 一： ，如果给定的函数“z ) 满足以下方程式 ，az a 2 1 一：= o ，则称h z ) 在g 上是双解析的，或称以z ) 为g 上的双解析函数 7az 以后用d ：( g ) 来表示g 上所有双解析函数构成的集合 由此定义可知，解析函数类是双解析函数类的子集进一步考察双解析函数的实方程 得到下面的表示式： 姆一掣：2 垫丝 ( 1 6 ) 锄2 咖2苏却 ( 1 7 ) 其表示式正好与c 口“咖一尺把所口刀方程组( 罢= 罢罢= 一罢) 对应 劣 卯钟戤 设以z ) d 2 ( g ) ，由粤：o 可知掣是解析函数令尝：厂 这里 az 8z8z 厂( z ) = z y ) + 以 j ，) 是任意解析函数，从而得到双解析函数的积分表示式 喇训z ) _ 寺艘q ， 其愀z ) 是区域。解析函数 ( 1 8 ) 若令掣：y ( z )得到双解析函数的另一个表示式以z ) ：三o ) + j j l ( z ) ， ( 1 9 ) 8z 这里y ( z ) 是g 上的解析函数，j l i 0 ) 是g 上的任意解析函数 因为鲁= 三y k ) + j i l ，( z )警= 三缈伽( z ) + j i l 。( z ) ，由解析函数的性质和双解析 函数的表达式可知，如果以z ) 是g 上的双解析函数，则娑是半也是g 上的双解析函 化宓” 3 掣 q 等 ，一 警 河北人学理学硕士学位论文 第2 章双解析函数的c a u c h y 积分公式 双解析函数c 矗“c 砂积分公式及其各种形式的推广是研究双解析函数性质十分重要 的公式和解决实际问题的有力工具在本章中先介绍复变函数积分的概念，在此基础上 建立双解析函数的c a u c h y 型积分定理，然后利用复变函数中的格林公式建立双解析函 数的c a u c h y 积分公式和c a u c h y 高阶导数公式 定义2 1 ( 复变函数积分的定义【1 1 1 ) 设有向曲线c ：z 嚣z ( f ) ， sf ) 以口= z ( 口) 为 起点，6 = z ( 仂为终点，厂( z ) 沿c 有定义顺着c 从口到6 在c 上取分点： 口= ，z l 一，z 。= 6 把曲线c 分成若干个小弧段，在从z h 到z 。( 七= l ，2 ，雄) 的每一弧 段上任取一点六作成和数瓯= 厂( 磊) z 。其中z 。= 缸一z h 当分点无限增多时，而这 些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数s 。极限存在且等于j ，则称厂( z ) 沿着c ( 从口 到6 ) 可积，为( z ) 沿着c ( 从口到6 ) 的积分并记为，= 抄( z ) 比 定理2 1 ( c a u d l y 型积分定理) 为z 平面内的一条闭的或非闭的光滑曲线，w ( f ) 是 上的双解析函数， 则积分三仁型匕叫做双解析函数的c a u c h y 型积分，令 z 忽? f z 坼) = 去睁z 盛三， ( 2 ) 则日( z ) 在不包含三的任一单连通域d 内解析，且有 州加杀膳 泣2 ， 若双解析函数w ( f ) 的m 阶微商存在则有 州加杀挚 晓3 ) 4 第2 苹双解析函数的c a u c h y 积分公式 证明：因为从f ) 是三上的双解析函数，所以以f ) 在三上是连续函数z 芒三所以! 盟是 f z 上的连续函数，根据积分存在定理可知积分p 塑珈存在，由参考文献【1 2 1 定理得证 zf z 下面讨论单位圆上双解析函数c a u c h y 型积分的特征： 设以f ) = f y ( f ) + ( f ) 是i 仆= l 上的双解析函数，其中吵( f ) 矽( f ) 是解析函数，表示 i 外= 1 的正向圆周，则 h c z ，= 去争= 去算挚+ 去詹挚2 去蔗鲁+ 去詹挚 ( z 仨三) ， 根据解析函数的留数法则和积分性质 l ( 一螋+ 塑) + 矽( z ) l zl 。 ( 2 4 ) 当z = o 时日( 0 ) = 沙( 0 ) + 矽( o ) ，容易看出日( z ) 在izl l 上的是解析函数下面证明当 z i 1 时日( z ) 是解析函数， 酢) ：j ( 一华+ 掣川( z ) m 。 【y ( o ) + 矽( o ) z = o 蛳h ( z ) = 蚪竺学+ 矽( z ) 】_ l f ，( o ) + ( o ) 日( z ) 在z = o 连续， 1 i m 丝! 三! 二丝! 尘：1 i m 业! 尘二笙! q ! ! 丝丝! 三! 二竺：! q ! 二丝! q ! ：o z u ：斗o z u ：l i m 竺! 尘二坐! q ! 三翌! 掣二三丝! ! q ! 二三壁! q ! ： ， z ：掣+ 厕， 日( z ) 在z ：o 可导且日，( o ) ：型导+ 矽，( o ) 5 l 硒( z ) = z u 日0 ) 1 r z 沙 l l n 韭。 z u 河北人学理学硕士学位论文 岬w ( z ) z o z = o + ，( z ) 】= 芝笋+ 矽( 。) 由连续函数的定义可知 日( z ) 在z = o 处连续日( z ) 在izi 1 内连续，所以日( z ) 在lzi 1 上是解析函数 同理可计算 差涝= 差劳+ 杀净 + ( 塑) + ( z ) ：日( z ) z = 日”( z ) 当z = o 时( 2 5 ) 式= 少肿1 ( o ) + 矽”( o ) ， 以+ l ( 2 5 ) ( 幽堕) 帕+ 矽n ( z ) 】_ 士j c ，( 州( o ) + 矽一( o ) h ( n ( z ) ( 1zi 1 ) 在z ：o 时连 z刀+ l 同理可以讨论以z = o 为圆心以r 为半径的圆上双解析函数c a u c h y 积分的特征： 日( z ) = 尺：( 一巡+ 塑) + 矽( z ) i zi r ( 2 7 ) 枷2 器+ c 掣广 o 记k 。： fi lf zi ：g ) g g ：g k f z ( f ) ：兰堕六( f ) ：o ， 在瓯上应用定理2 2 有 肛一言c 墨舭瓶2 等出2 黟一黟 晓 姆争= 觋了竽留旧d 秒= 觋了以z + 铝坩，耐秒= 2 丽以z ， 于是令占j0由( 2 1 3 ) 式得到 舢 蛆陟昙c 墨凇瓶= 一f c 争瓶2 辟捌喇 即 撕 喇= 去f f 争瓶+ 去睁 公式得证当为g 椭解析函数时，詈- o ，喇= 去毖挚即解析函数的 a f “cv 一， c - 口甜咖积分公式公式( 2 1 2 ) 可以看作是解析函数的c r 口“咖积分公式的推广 为了得到双解析函数c a u c h y 积分高阶导数公式，我们引入二维高阶奇异积分的定义， 定义2 2 ( 二维高阶奇异积分的定义u 3 1 )设g q ( o 口 1 ，刀1 )是复平面上的 8 第2 章双解析函数的c a u c h y 积分公式 有界单连同域，厂( 孝) c ：( g ) 固定z 记疋= 川if zi - s ) q = g k f若极限 一妻娥睁咖在，贝| j 称其为二维高阶奇异积分睁仃的q 嘶主 值 在白们砂主值意义下积分一定存在且有下列等式【1 3 1 赌爷盯= 寺略气+ 刀薹击等晤孑娩 定理2 4 ( 双解析函数c a u c h y 积分高阶导数公式) 设d q ( o 口 1 ，刀1 ) 为复平面上的有界单连通域，以f ) 是d 内的双解析函数， 以f ) 在6 上连续， 有下面的公式 叫 气加刍蔗势+ 去睁瓶 q 掣：厂( f ) 为d 内的解析函数( z d ) a f 证明：设疋= 川i 卜zl = f ) 瓯= g 疋 z ( f ) = 百等六( f ) = 。 在瓯上应用定理2 2 有 延卜委c 番凇瓶= 尚以2 劳一f 挚 f 势2 寺毖争一珈啬， - 一寺蔗一薹高p c 器，”! 芝o z ) ”薏弓，l ( ，l 一七) z ( f z ) ”。 9 河北大学理学硕十学位论文 寺了学一= 寺p 瑚9 寸等批冲蛳 于是令g 专o 有 m 眨c 昙挎肌痴珏旷高肌疟番出一争 即 州 = 去婷静+ 去睁瓶 当以f ) 为g 内的解析函数时，祟= 0 町( z ) = 嘉捞即为解析函数的高阶 a f 7 “cv 一， 导数公式 注：( 2 1 5 ) 可以看作是解析函数的高阶导数公式的推广 在文献 1 l 】积分意义下的双解析函数积分，虽然得到了与解析函数类似的国u 咖积 分公式和仍“c 缈高阶导数公式，但得不到与解析函数类似的复合闭路定理，变形原理， m o r 留a 定理为此引入了新的积分定义，下一章要研究在新的积分定义基础上的国“咖 积分京坪 1 0 第3 章双解析函数的c a u c h y 积分定理 第3 章双解析函数的c a u c h y 积分定理 令= + j q = 以z ) 出= e ( p + f 国) 出，这样就有警= 缈( z ) = p + f 彩即 罢：口罢：国据( 3 1 ) 式可得 0v 加 a 一2 0 ) 砂 办 ( 3 2 ) 抛 a ( 一y + 2 q ) 砂 锄 为j 引人x 义觯秽r 幽数的枳分，考愿以卜秋分 厉压 i 础+ ( 一1 ，+ 2 q ) 咖】+ fl m 出+ ( “一2 0 ) 砂】 嘞嘞 = f ( u + j y ) ( ( 打+ j ( 纱 一2 jr ( o + j q ) ( 纱 嘞 2 矽( z 洫+ ( z ) ( d z 一如) 这里线积分的起点是z 0 ，终点是z ，积分路径是g 内某一可求曲线 定义3 1 ( 双解析函数积分定义嗍) 设以z ) d 2 ( g ) ，( z ) = 哕一， 8z ( z ) = y ( 善) 蟛= o + 艘( z 。，z g ) 在g 内单值连续，c 是g 内连接z 。与z 的任一可 求长曲线，则称 f “出+ ( 一，+ 2 q ) 咖】+ ff v 出+ ( “一2 0 ) 方】 电0电o 。f 矿( z 脑+ ( z ) ( d z 一出) ( 3 3 ) 洞北大学理学硕十学位论文 为双解析函数w ( z ) 沿曲线c 的积分，记作【以z ) 昆 当“z ) 是解析函数时w ( z ) 昆= 以z ) 出 定义3 2 【8 】如果w ( z ) 。：( g ) ，y ( z ) 2 三，称罢= 警+ 妻为h z ) 的导数 记为 利用定义3 1 、3 2 可以得到下面与解析函数类似的有关积分定理 定理3 1 ( c 种c h y 积分定理) 如果区域g 的边界粥可由有限条可求长的闭j o 柑距曲 线组成，设以z ) d 2 ( g ) ，y ( z ) = 哕一，( z ) 及“z ) 在g = g + c ( c = 粥) 上单值连续， 则 似z ) 昆= o 证明：由于拟z ) 昆= 乖础+ ( 一y + 2 q ) 砂】+ f 小v 出+ 一2 0 ) 砂】， 对上式应用实数中的格林公式及3 2 式可得 归昆= 班竿一考，蚴+ z 竿一参，蛐一o 定理3 2 ( m o 嗍定理) 设函数以z ) 在g 内单值连续，如果对于g 内任何一可求长 闭曲线c 有【以z ) 瑟= o ，则以z ) d 2 ( g ) 证明：设w ( z ) = u + f y = fw ( 孝) 鸳由题设条件知“z ) 在g 内单值连续，而且从 似z ) = u + f 矿= 础+ ( 一1 ，+ 2 q ) 砂】+ f ( 【池+ 一2 ) 砂】可得 及 la u i 瓦刮 z l 型：一v + 2 q i 一= 一l ，十z 玉z 【砂 a 矿 = y a x 竺：“一2 0 一2 “一z 口 a ， 1 2 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 第3 章双解析函数的c a u c h y 积分定理 这样就有罢一娑：2 0 ，罢+ 娑：2 q ，换成复数形式掣：( z ) ：f ! 缈( 孝) 蟛，于是 礅 融 磅8z 籼 似z ) 是双解析函数 定理3 3 若以z ) 皿( g ) ，y ( z ) = 哕一则芒砬( g ) 8z 娩 证明：由题设在y ( z ) ：掣两边关于z 及三求导数可得鱼芝：，( z ) ，粤：o 将两式相加 8za z 8z 8z 有三( 娑+ 笃：少，( z )即三( 为：y ，( z )因此譬也是双解析函数同理可证明 az 晓8z0z 境 境 w ( z ) 的任意阶导数岩仍然为双解析函数 定理3 4 ( 双解析函数闭路变形原理)在区域g 内的一个双解析函数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在g 内连续变形而改变积分的值，只要在变形过程中曲线不经过似z ) 的不 双解析点 定理3 5 ( 双解析函数复合闭路定理)设c 为多连通域g 内的一条j a r d 觚闭曲线， c 。，c 2 ，q 为在c 内的j 矾趾闭曲线，它们互不包含又互不相交，又设由c 与 c ，c 2 ，e 所围成的区域全含于g ，如果似z ) 在g 内双解析，那么 以z ) 瑟5 喜w ( z 墟 ( 3 6 ) 注：定理3 4 、3 5 可由定理3 1 得到证明 定理3 6 ( 双解析函数的c a u c h y 积分公式8 1 )如果区域g 的边界粥可由有限条可求 长的闭j o r d a i l 曲线组成，设以z ) d 2 ( g ) ，y ( z ) = 可一及联z ) 在g = g + c ( c = a g ) 上 8z 单值连续，则比g 有 喇= 去 眦) ( 手一三m 纠告 ( 3 7 ) 1 3 河北人学理学硕十学位论文 = 去蕾晰) - ( ；一三m 纠告 定理3 7 ( c a u c h y 高阶导数公式) 如果区域g 的边界a g 可由有限条可求长的闭j o 耐觚 曲线组成，设“z ) d 2 ( g ) ，y ( z ) = 哕一及似z ) 在g = g + c ( c = a g ) 上单值连续，则 ，a z 比g 有 窘2 差拟争( 孑与删寿唧忙1 ) ( z ) = 嘉如争( 孑一三】尚w 忙1 ) ( 扎 ( 3 8 ) 证明：设( z ) 在6 ：g + c ( c ：a g ) 上单值连续，由定理l 可得五( z ) = w ( z ) 一z ( z ) ，对 ( z ) j j l 亿) 用解析函数的c 硼c h y 高阶导数公式比g ，萨a g 同理 z ：旦f 丛金媳孝 ( 3 9 ) 2 硝七化一z ) 斛1 。 烨= 嘉降 根据定义3 2 可推得 窘= 三艄卅蚋卅川k ) 将( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 代入( 3 1 1 ) 得 篆 晰) - ( 孑一三椭】尚w ”1 ) ( z ) 他嘉c 品) = 品 1 4 ( 孝) ( 善一z ) ”+ 1 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 第3 章双解析函数的c a u c h y 积分定理 龇删喜c 器一臀 ( 3 1 2 ) 现以z 为圆心，以，为半径作一小圆r ：i 孝一zi = ，使得i 孝一zl ，cg 记g 去掉 这个小圆剩下的域g r ，a g r = c + r ，若以孝) 在g 上单值连续，则函数 丛圭! 一! 圭二三! 竺! 圭! ( 孝一z ) 胂1( f z ) ”“ 在g r 内是双解析函数，它在g r 上连续，由定理3 1 知道 c 器一譬警烀。 即 c 器一警努肛c 器一譬努烀 由积分定义3 1 及( 3 1 2 ) 式得 w ( 孝) 一( 手一三) f ，( 孝) 1 i 手 兰霎 鬲2 毛 w ( 孝) 一( 孑一三) ( 善) 1 i 手_ = 字霎于百( 3 1 3 ) 结合( 3 1 1 ) 式 所以有 罟2 艺正晰) - ( 孑与蝴尚w 1 ) ( z ) 。差帆争( 两删尚w i ) ( z ) 定理3 6 得证 定理4 中的曲线c 换成非闭光滑曲线l 时有下面的定理 定理3 8 ( 双解析函数的国“咖型积分公式) 以z ) 砬( g ) ，y ( z ) = 秒一及“z ) 在 az 6 = g + c p = a g ) 上单值连续，为d 内非闭光滑曲线，则积分尸笪上萼鲁掣 ( z 芒三) 积分所确定的函数( z ) 在不包含光滑曲线的任一单连通区域g lc g 内是双 河北大学理学硕十学位论文 解析的，且有 碧= 嘉王铲+ 芸互拦净 a z ”2 看上 ( f z ) 4 2 耐点( 芒一z ) ”。 溉她) = 去i 塑挚) ：土 巡立嗡+ 土三 咝耘 2 硝上 二一z 。 2 石 上f z 。 锄扣去互警酢，= 去王磐 因为三( 警一磐) ；o 三( 丝) ：o 8 薹与一z 鸟一z 8 盖毛一z 所以粤一掣 芒一z之一z 善盟是g 。内的解析函数 亡一z 她，= 去互鼍警2 去互挚 酢，= 去互磐2 去互磐 以f ) 一孝沙( 孝) 少( 孝) 是上的双解析函数 由定理2 1 妒( z ) 缈乜) 不包含光滑曲线的任一单连通区域g lcg 内是解析的， 由双解析函数的定义可知( z ) 是g 。内的双解析函数， 用定酗可证得等= 艺互挚+ 嘉互考弘成立 a 2 ”2 7 d 点 ( f z ) 肘12 硝土( f z 1 肘1 。 1 6 第4 章双解析函数、双调和函数、复调和函数的关系 第4 章双解析函数、双调和函数、复调和函数的关系 若函数满足乌：o ， 则称“z ) 是g 上的双调和函数 警+ 等铊锣， l 警+ 等铊等一o ：z 砂得到 掣一幽一2 掣：o 缸4 a b c 2 却2。融3 却 。 掣一掣一2 掣：o 叙2 却2却4。叙巩3 。 掣一掣一2 掣：o 苏3 却叙却3缸2 却2 掣一姆+ 2 掣：o 苏4 缸2 却2苏3 却 河北大学理学硕十学位论文 掣一掣+ 2 掣：o 苏2 却2却4一苏却3 。 智一智+ 2 智= 。苏却锄却3苏2 却2 从上述方程组的第l 第2 第6 个方程可得到 掣+ 掣+ 2 掣：o 锄4 。 咖4苏2 却2 。 方程组的第3 、第4 、第5 个方程可得到 警+ 等+ 2 掣= 。 定理得证 由定理4 1 可以知道：双解析函数和双调和函数的关系同解析函数和调和函数的关 系即：区域d 上双解析函数的实部和虚部是区域d 上的双调和函数一个定义在单连 同域d 上的双调和函数，可以确定d 上的双解析函数 下面我们从解析函数的砌胁展式出发，给出双解析函数与其实部之间的关系设 以z ) = “( x 少) + 加 y ) 是圆域iz z 0 ) 尺内的双解析函数，且其劬如，展式为 以z ) ：主三( z z 。) n + c 则以z ) 的实部可以表示为( 下面的旦# = 口为一实常数) “( x 夕) ：半：口+ 丢艺h 三( z 咱) n + 蠢z ( 三一乏) 一】 n = o 令z = z + ，= + 帆得出双调和函数“0 y ) 在圆域iz z ol 尺中的级数表达式 m y ) = 半= 口十三挚舡卅一而m y 一圳”+ 乏( 石卅一而h j ，一彬】” ( i ( x 一) + f ( y j ，o ) i 尺) 令z 一= 手y y 。= ，这里f ，z 。是复数 并且i 孝一z ol r这样就将“o j ，) 的定义域从实数域扩大到复数域if z oi 尺 1 8 第4 章双解析函数、双调和函数、复调和函数的关系 最后得到下面的表示式： 以z ) = 2 “ 三( z 场) ，去( z - z o ) 】一2 口 ( 4 2 ) 进一步地，如果z 。是原点，可以简化为以z ) = 2 “( 丢z ，去z ) 一2 口 ( 4 3 ) 可以从( 4 2 ) ( 4 3 ) 式的双调和函数直接得到双解析函数，实部为“oy ) 定义4 2 ( 复调和函数定义【1 4 1 ) 设g 是平面上的区域，在g 上给定了复函数以z ) 要 求它具有关于三和z 的二阶混合偏导空；尘若函数满足至芝：o 则称以z ) 是 a z 8z8z 娩a z 8z g 上的复调和函数 复调和函数的实函数方程组为 + + 对于复调和函数以z ) 有掣：夕，这里厂( z ) ：z oy ) + 以 y ) 是任意解析函数，从而 8z 有喇= 去黪+ 去睁瓶 5 ) 定理4 2 函数w ( z ) = “ y ) + 圳0y ) 在平面上的区域g 是复调和函数的充分必要条件是 “oy ) ， ，( xy ) 在平面区域g 内是实调和函数 我们再讨论非齐次劬“c 砂一尺据聊a ，z 组：譬：兰+ p ( xy )罢：一兰 蹴卵卵蹴 其中p y ) 是任意调和函数它的复形式是望：p y ) w ：“+ 如 8z 喇= 去黪+ 去孵参瓶 喇= 去黪+ 去睁瓶+ 去睁瓶， )44，l 0 0 = = ”一2 y 一2 铲一缸铲一缸 ，_t_，、l_-l_ 河北大学理学硕士学位论文 北) 是任意解析函数们) = 去静+ 去睁瓶 是一个双解析函数 w 2 ( z ) = 去g 磐 d ；是一个复调和函数