（光学专业论文）p—n结中的混沌研究.pdf

摘要 与p n 结有关的理论及实验研究，在混沌领域有着重要的意义。p n 结是一个典型的非线性器件，具有丰富的非线性动力学行为，为了 更好地利用或回避其中的混沌，本文研究了与电阻、电感串联的由交变 电压驱动下的p n 结系统中的混沌行为。根据p n 结内部载流子的输 运过程，本文在简要介绍其等效电路和动力学方程的基础上，对这个动 力学方程做了线性稳定性分析。用四阶龙格库塔法求解动力学方程，通 过分岔图、最大李雅普诺夫指数、吸引子及所对应的时序图，研究了以 外加电压的幅值、频率或非线性阻尼系数为控制参数下p n 结的动力 学行为及进入混沌和抑制混沌的方式。 关键词：p n 结、混沌、分岔、李雅普诺夫指数 a b s t r a c t t h e o r e t i c a la n de x p e r i m e n t a li n v e s t i g a t i o no f p - ni u n c t i o ni si m p o r t a n t i i lt h ec h a o sf i c l d p - ni u n c t i o ni sat y p i c a ln o n 1 i n e a r i t yd e v i c e a n dh a s r i c h e rn o n l i n e a rb e h a v i o r t ou t i l i z ee f f e c t i v e l yo ra v o i dt h ec h a o si np n j u n c t i o n , t h i sa r t i c a lh a v e s t i g a t et h ec h a o sa c t i o no f a p nj u n c t i o ns y s t e m w h i c hi si ns e r i e sw i t hr e s i s t a n c ea n di n d u c t a n c e ，a n di sb i a s e db ya na c v o l t a g es o u r c e b a s e do nt h et r a n s p o r tp r o c e s so fe l e c t r i c a lc h a r g e si nt h ep n j u n c t i o n , t h i sp a p e rc o n c i s e l yi n 廿o d u c e st h ee q u i v a l e n tc i r c u i ta n dd y n a m i c s e q u a t i o no f p ni u n c t i o na n da n a l y z e si 招l i n e a rs t a b i l i t y w es o l v et h e d y n a m i c a le q u a t i o nb yt h eu s eo f t h ef o r t ho r d e rr u n g e k u t t am e t h o d t h e r o u t eo f g e n e r a t i n ga n ds u p p r e s s i n gc h a o si np - n u n c t i o na r es t u d i e dt h o u g h t h eb i f u r c a t i o nd i a g r a m s 。t h em a x i m a ll y a p u n o ve x p o n e n t , t h ea t t r a c t o r a n d t i m es e r i e sw i t ht h ea m p l i t u d ea n dt h ef r e q u e n c yo f d r i v ev o l t a g ea n dt h e d a m pc o e 施c i e n to f n o n - l i n e a r i t y a sc o n t r o lp a r a m e t e r sr e s p e c t i v e l y k e y w o r d s ：p - nj u n c t i o nc h a o sb i f u r c a t i o nl y a p u n o ve x p o n e n t 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文p - n 结中的混沌研 究是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成 果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：l 盈丑年立月泣日 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、 博士学位论文版权使用规定”，同意长春理工大学保留并向国家有 关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅。本人授权长春理工大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：型爱莘冲五月型日 指导导师签名：三垂当互令3 4 年五月星业日 第一章绪论 1 1引言 1 1 1 概述 混沌是当前自然科学基础研究的热门课题之一。在自然界中，诸如 物理，化学，生物学，地质学等自然科学以及技术科学，社会科学等各 个科学领域中，已经发现了混沌现象的存在。混沌是非线性动力学系统 中所特有的一种运动形式。混沌现象是在确定非线性动力学系统中，不 加外部因素就可表现出的一种非周期性的，类似随机的行为。它不像噪 声那样是一种完全无序的状态，而是混乱中有规律，但又不具备明显对 称特征的认识。一般面言，混沌现象隶属于确定性系统而难于预测( 基 于动力学系统中对于初始条件的高度敏感性) ，隐含于复杂系统但又不 可分解( 基于其周期稠密轨道的拓扑特征) ，以及呈现出多种“混乱无 序而又颇有规则”的图像( 如具有稠密的周期点) 。混沌究竟有什么应 用和发展前景，这是人们一直普遍关注的一个重大问题。 对混沌的认识，是非线性动力学的重要成就之一。混沌无处不在， 小到基本粒子、大到宇宙形成，简易的钟摆摆动，复杂的大气湍流，无 不受混沌理论的支配。 t 1 2 混沌研究的起源与发展 早在1 8 9 2 年，法国学者庞加莱( p o i n c a r e ) 在研究三体问题时就 发现，系统在某类鞍型不动点附近具有不寻常的运动，无法求出精确解。 他在1 9 0 3 年出版的科学与方法一书中明确指出，三体问题，在一 定范围内，其解是随机的。这实际上是一种保守系统的混沌。庞加莱是 世界上第一位预见到混沌现象的人。 1 9 5 4 年，前苏联学者卡尔马高洛夫( k o l m o g o r o v ) 提出“近似可 积的保守系统具有非常复杂的相轨线结构”的猜想，该猜想于1 9 6 2 年 被前苏联学者阿诺德( a r n o l d ) 和莫斯m o s e r ) 证明，这就是著名的 k a m 定理。但是这些数学结果非常抽象，未能引起科学界的广泛注意。 1 9 6 3 年，美国科学家洛伦兹( l o r e n ze ) 在其著名论文“决定论非 周期流”中研究了由气象预报抽象出的伯纳德对流问题，采用数值积分 方法计算如下三维自治系统( 后人称之为洛伦兹系统) 。0 川：爿n 。， 的初值问题时发现，当系统参数取口= 1 0 、= 兰、y = 2 8 时，系统自 3 任意初始状态出发的相轨线呈蝴蝶形态，既不重复也无规律。这是典型 的非确定性运动，而该系统却是一个典型的确定性动力系统。于是洛伦 兹揭示了该结果的真实意义，这便是在耗散系统中，一个确定的方程却 能导出混沌解的第一个实例，这也为以后的混沌研究开辟了道路，从而 揭开了对混沌现象深入研究的序幕，并掀起了研究混沌的热潮。 1 9 6 4 年法国天文学家赫农( h e n o n ) 提出如下映射，后人称之为赫 农映射： r 2 ，j “1 专l + b u 2 一a u frt9 、 卜i “2 专蝴 “一 该映射代表了一个2 自由度的不可积哈密顿系统，然而当b - - - - o 3 时， 随着a 的改变，系统运动轨道在相空间中的分布显得越来越随机。这实 际上是一种最简单的奇异吸引子。赫农以此解释了几个世纪遗留下来的 太阳系的稳定性问题。随后，1 9 7 1 年法国物理学家茹勒( r u e l ld ) 和荷 兰数学家塔肯斯( t a k e n sf ) 在论湍流的本质一文中正式提出“奇怪 吸引子”( s t r a n g ea t t r a c t o r ) 这一概念以解释湍流的发生机制，这一 概念以后被广泛用于耗散系统的混沌研究中。 1 9 7 5 年美籍华人学者李天岩和美国数学家约克( y o r k ej ) 在美国 数学月刊上发表了题为周期3 意味着混沌的著名文章，深刻地 揭示了从有序到无序的演化过程。文章标题中的“混沌”一词便在现代 意义下正式出现在科学术语之中。 1 9 7 6 年美国数学生态学家梅( m a yr ) 在美国自然杂志上发表了 题为具有极复杂的动力学的简单数学模型的著名文章，提出生态学 中一些非常简单的确定性的数学模型却能产生看似随机的行为。如 x 三，( 1 0 ) ( 1 3 ) 称之为人口( 或虫口) 方程，即著名的逻辑斯蒂( l o g i s t i c ) 模型。该模型 看来似乎很简单，并且是确定性的，但参数在一定范围变化时，它却 具有极为复杂的动力学行为，其中包括了分岔和混沌，从而向人们表明 了混沌理论的惊人信息。 1 9 7 8 年费根堡姆( f e i g e n b a u mm ) 等人在梅的基础上独立地发现了 从倍周期分岔通往混沌道路上的两个普适常数，从而使混沌在现代科学 中具有坚实的理论基础。 2 2 0 世纪8 0 年代以来，人们着重研究系统如何从有序进入新的混沌 及其混沌的性质和特点。除此之外，借助于( 单) 多标度分形理论和符号 动力学，还进一步对混沌结构进行了研究和理论上的总结。由于自然界 中一些混沌现象的相继发现，通过计算机还可描绘各自的混沌图像，如 美籍法国数学家曼德布罗特( m a n d e l b r o t8 ) 于1 9 8 0 年用计算机绘出世 界上第一张m a n d e l b r o t 集的混沌图像。对于这种动力学特性的结构， 分数维虽能描述自然输送中很多现象在几何上的不规则性，然而，由于 它不能完全揭示出产生的相应结构的动力学特性，故g r a s s b e rp 等人 于1 9 8 7 年提出重构动力学系统的理论方法。通过由时间序列中提取分 数维，l y a p u n o v 指数等混沌特征量，从而使得混沌理论进入到实际应 用阶段。 1 9 9 0 年，美国马里兰大学的0 t t ，g r e b o g i ，和y o r k e 首次提出了 混沌控制理论，其控制方法后来称之为o g y 法。1 。同年，d i t t o 等人利 用该法首次在一个由根非晶磁致弹性条构成的力学系统中，实现了对混 沌轨道中的不稳定周期轨道的稳定控制，从此揭开了混沌控制研究的序 幕。十多年来，国际上有关混沌控制的理论，方法以及实验方面的研究 发展迅猛l a - 1 0 | 。很多的专家和学者积极投身于混沌的控制与同步研究当 中。正因为这样混沌才在诸多领域( 如：混沌通信、密码学、混沌制导、 光学、化学、生物、脑科学及神经网络系统) 越来越显示出其巨大的应 用潜力1 删。 1 2 国内外研究现状 p n 结是一个动力学行为非常复杂的非线性振子，自从人们发现 混沌现象之后，关于p - - n 结中的非线性动力学就成为其中的一个主要 研究方向。近些年来做了很多研究，大部分是有关二极管的。通常的电 路都包括一个电感器、一个二极管、一个电阻器，并且由一个周期性信 号源驱动。二极管扮演了一个非线性电阻器和一个非线性电容的角色。 1 9 8 4 年开始v a nb u s k i r k 等人对p n 结中的混沌进行了比较全面的研 究 2 1 - - 2 2 j 。 在r l d 电路中有三种常见的非线性。第一种：是二极管的非线性 i v 特征，大部分研究者认为它对于混沌的产生是不重要的，因为在模 型中看，它的存在导致分岔图的变化很小。第二种：是大的呈指数形式 变化的前偏置电容。在这种情况下，二极管被模拟为一个非线性电阻和 一个非线性电容并联的形式。人们曾经提出，当电容值近似达到零偏置 值4 倍时就会出现倍周期现象，因为此时r id 电路的振荡频率会降低。 这可以被看成是倍周期达到混沌的第一步。第三种：来自于p n 结中 电荷扩散动力学的有限时间范围 2 a l 。 1 9 8 1 年6 月p a u lsl i n s a y 研究了一个p n 结中的倍周期和混沌 行为，测量结果与近期描述非线性系统行为的理论在定量上是一致的。 测量范围和根据理论预测的收敛率都得到了实验的检验。振荡器中还出 现了周期三和周期五的行为粤。， 1 9 8 4 年6 月w r o l l i n s 和e r h u n t 研究了p n 结内部重要的间 歇混沌。报道了实验测量结果和使用耗散动力学方程的计算结果。这个 系统是由一个发生器、一个感应器和一个p n 结二极管串连构成的谐 振子。研究了奇怪吸引子中所出现的瞬间暂态和李雅普诺夫指数曙5 1 。 1 9 8 5 年5 月r o b e r tv a nb u s k i r ka n dc a r s o nj e f f r i e s 对耦合非 线性振荡子( r l d 串连电路) 的混沌动力学行为进行了观测，报道了包 含n 个振子的非线性振荡器的行为。对应于n = i 、2 、4 、1 2 ，它的耦合 方式各不相同。这个振荡器是利用硅作为基质的p n 结实现非线性电 荷贮存。它的物理机制可以近似地看成是由交变外力控制下的阻尼振荡 器，有人已经做了这方面的研究。林塞首先通过测量收敛率6 的变化发 现了它的倍周期性质，发现其功率谱与费根堡姆的预测符合，对于两个 或更多个耦合谐振子( 我们通常称之为“振荡器”) ，系统表现出丰富的 动力学特征：倍周期分岔、霍普夫分岔进入准周期轨道，还有不变环面 的衰减。 1 9 8 7 年1 1 月c h i l - - m i nk i m ，c h a n g - - h oc h o 和c h u l - s el e e 研 究了一个包含快速反应p - - n 结和方波输入电路的倍周期分岔图。发现 在这个电路中输入方波的情况下所显示出的倍周期行为和混沌行为与 输入正弦波时的行为相似u “。 1 9 8 9 年3 月z s u ，r w r o l l i n s 和e r h u n t 研究了含p n 结谐 振系统中奇怪吸引子的特征。对数值模拟的结果和实验结果做了一个直 接的比较。数值模拟使用的是r o l l i n s 和h u n t 关于二极管的扩展模型 方程。扩展模型允许反向恢复时间依赖于许多循环之前的前置电流。模 型既适用于单个二极管谐振系统，也适用于两个二极管并联构成的谐振 系统。在所有情况下，数值模拟都与实验结果符合得很好。 1 9 9 1 年6 月e r h u r i t 研究了一个含p n 结系统的混沌控制。发 现随着周期性外力的变化，二极管谐振器中的混沌动力学行为逐渐演变 为稳定的轨道，使用的方法与o t tg r e b o g i 和y o r k 的修正方法相同。 除了存在稳定的低周期轨道外，这种模式还允许在吸引子中做小的修 正，即允许从前不曾存在的周期轨道成为稳定状态的轨道。1 。 1 9 9 7 年1 1 月d y 。t a n g ，r d y k s t r a ，m w h a m i i r o n ， a n dn r h e c k e n b e r g 用实验证明了两个通过电感耦合的p n 结中有混沌存 在。通过实验观察到了混沌振动中明显的频率夹带1 。 2 0 0 2 年t l c a r r o l l 和l m p e c o r a 通过实验研究了含p n 结的 4 二极管振荡器中倍周期的参数范围o “。 2 0 0 3 年4 月b i nx u ，1y i n g c h e n gl a i ，l iq i a n gz h u ，a n dy o u n g h a e d o 通过实验研究了含有p - - n 结的电路中，存在噪声时通向混沌的方式。 他们在一个电路中测出了过渡点( t r a n s i t i o np o i n t ) 附近的噪声变化 和李亚普诺夫指数之间的关系，并得到了一个描述过渡( t r a n s i t i o n ) 的基本原则。实验测量得到的指数范围与理论预测的结果符合得很 好。 2 0 0 4 年5 月d o u g l a sn a r m s t e a d a n dt h o m a sl c a r r o ll 研究 了含p n 结的晶体管放大器中的混沌现象。一个简单的经典晶体管放 大器通常被看作是一个线性电子系统。以前的一个实验显示，当驱动频 率为i m h z 的信号被注入这个低频放大器中时，p n 结中的非线性特征， 如倍周期、混沌等就出现了，同时有极低频率的振荡( 频率为1 h z ) 。1 。 在这篇文章中，他们用理论和数值模拟来说明低频振荡的存在。 2 0 0 5 年6 月o l e k s a n d rv p o p o v y c h ，y u r il m a i s t r e n k o ，a n dp e t e r a t a s s 研究了含p n 结的耦合振荡器中的相位混沌。这种类型的混沌 可以用李亚普诺夫指数来表征。令人不解的是，这种强烈的相位混沌出 现在整个图形的一半尺寸处。相位混沌是不同种类振荡器中普遍存在的 一种特征，例如相位振荡器，有限循环振荡器和混沌振荡器，这一点类 似于r o s s l e r 系统1 。2 0 0 5 年1 0 月r m e u c c i ，e a 1 l a r i a ，f s a l v a d o r i ， a n df t a r e c c h i ，研究了含p n 结的r l d 电路中混沌吸引子随参数的 变化特征。发现对应于不同的控制参数，一个混沌系统能够从有两个稳 定吸引子的区域逐渐转交为一个扩大的混沌吸引子与一个不稳定轨道 的混合区。外部扰动引起独立吸引子之间存在双稳态的跳变。在这个转 折上，动力学结构包括从前属于非稳态轨道的渐变区，它表现为振幅跳 变的随机出现。1 。 当今，国内外的学者已经提出了许多不同的混沌控制方法，这些方 法分别适用于不同情况下的混沌控制。从非线性系统的类型上说，有些 方法适用于离散系统，而有些则适用于连续系统。从理论上讲，控制方 法可以分为微扰反馈控制和非反馈控制。前者反馈的对象可以是系统变 量、参数、外部参数( 强度，相位) 等。对不同对象的微扰反馈控制， 产生了不同的控制方法，如延迟反馈法，比例脉冲法等等。非反馈控制 法如周期驱动法，周期脉冲控制及周期拍方法等等。一般地，它与一些 特定的轨道无关，因而当实现控制时，控制信号并不趋近于零，并且系 统受控制后的动力学行为可能与原来的完全不同，即产生了新的动力学 行为。 1 3 论文研究的内容及研究意义 由于自然界的许多方面表现出混沌式的演变，启发人们猜想那些表 现凌乱的“偶然性”行为，可能是混沌的，由混沌研究可提供( 或预测) 个发展趋势，这种混沌的“预言”常常比采用统计方法更有价值。许 多复杂的现象，可能起源于同个相当简单的函数，混沌研究的目的之 ，就是找出这些函数。同时混沌也帮助我们理解为什么我们能够提前 几年预测潮汐，却难以预料几天后的股市波动或天气情况。混沌打破了 有序和无序之间的界线，它是有序和无序的交接点。 目前，p - - n 结已广泛应用于生产、生活。它是一个典型的非线性 器件，具有丰富的非线性动力学行为，对它的研究使人们能够更好地利 用或回避其中的混沌。本文主要研究内容如下： 、根据p n 结内部载流子的输运过程，在简要介绍其等效电路和动 力学方程的基础上。对这个动力学方程做线性稳定性分析。 二、通过数值求解，研究p n 结在以下条件下的动力学行为及进入混 沌和抑制混沌的方式。 1 以外加电压的幅值为控制参数， 2 以外加电压的频率为控制参数 3 以非线性阻尼系数为控制参数 分别给出在上述三种条件下的分岔图、最大李雅普诺夫指数、吸引 子及所对应的时序图，并指出不同动力学行为的参数区间。 6 第二章混沌的定义、特征及描述方法 混沌是服从确定性规律但又具有随机性的运动。混沌是确定性系统 随机行为的总称，它的根源在于非线性的相互作用。混沌不是混乱，它 不同于平衡态，是一种序，是貌似无序的序。自然界中最常见的运动形 态，往往既不是完全确定的，也不是完全随机的，而是介于两者之间， 这就是研究确定系统中随机行为的重要意义所在。要清晰地给混沌下定 义，还要讨论确定的系统对初值的细微变化的依赖情况。有三种情况”： l 、系统对初值的不敏感依赖，这样的系统是确定性系统。确定性 系统的初值若改变很小，其结果的变化也很小，即观测的两次运动无差 别。也就是说：“初值相同，则运动相同”，单摆属于这种情况。牛顿力 学常讨论这种确定论系统。因而形成了经典的确定论观念( 即只要知道 初始条件就能确定以后任意时刻的状态) 。 2 、系统对初值的敏感依赖，这样的系统是混沌系统。某些确定性 系统的初值稍稍变化，经过一段时间后，差别就明显表现出来，测量出 “运动各异”。在此情况下，以实验观察系统的运动是不可重复、不可 预测的，表现出“随机性”。这就是混沌运动。 3 、系统对初值完全的不依赖，这样的系统是非确定性系统，即随 机系统，就是初值完全不影响以后的行为。对初值不敏感依赖的系统， 可以是线性的也可以是非线性的。但对初值敏感依赖的系统必须是非线 性的。确定系统的随机性是因为非线性所致。 2 1 混沌的特征 混沌行为有如下特征m ”1 ： 1 、内在随机性：从确定性非线性系统的演化过程看，它们在混沌 区的行为都表现出随机不确定性。然而这种不确定性不是来源于外部环 境的随机因素对系统运动的影响，而是系统自发产生的。 2 、初值敏感性：对于没有内在随机性的系统，只要两个初始值足 够接近，从它们出发的两条轨线在整个系统全过程中都将保持足够接 近。但是对具有内在随机性的混沌系统而言，从两个非常接近的初值出 发的两条轨线在经过长时间演化之后，可能变得相距“足够”远，表现 出对初值的极端敏感，郎所谓“失之毫厘，谬之千里”。 3 、非规则的有序：混沌不是纯粹的无序，而是不具备周期性和其 他明显对称特征的有序态。确定性的非线性系统的控制参量按一定方向 不断变化，当达到某种极限状态时，就会出现混沌这种非周期运动形式。 但是混沌运动不是无序运动，而是另一种类型的有序运动。混沌区的系 7 筑仃为往往俸蚬出尢狞层次阴敢箬目市目1 以结构，运柙个同层次上明结构 相似性是标量变换下的不变性，这种不变性体现出混沌运动的规律。 2 2 混沌的数学定义 混沌一词由李天岩和约克( y o r k eja ) 于1 9 7 5 年首先提出，1 9 7 5 年他们在“周期3 意味着混沌”的文章中给出了混沌的一种数学定义， 现在称之为l i - y o r k e 定义： 设连续自映射厂：i j c r ，i 是r 的一个子区间。如果存在不可 数集合s cj 满足： 1 、s 不包含周期点。 2 、任给五，x 2 s ( 墨x 2 ) ，有 l i ms u p l 厂1 ) 一厂2 伍2 壮0 ( 2 1 ) f - l 这里f t ( x ) = f ( f ( f ( x ) ) ) 表示t 重函数关系。 3 、任给x 1 s 及，的任意周期点p j 有 l i r as u p f ( 五) 一，( p ) l o( 2 2 ) t - - - - o o -i 则称厂在s 上是混沌的。 此定义中，由于前一个极限说明子集的点蜀x 2e s 相当分散而又 相当集中，第二个极限说明子集不会趋近于任意周期点，所以这个定理 本身只预言有非周期轨道的存在，既不涉及这些非周期点的集合是否具 有非零测度，也不涉及哪个周期是稳定的。因此，l i ：- y o r k e 定义韵缺 陷在于集合s 的勒贝格测度有可能为零，即这时混沌是不可观测的，而 人们感兴趣的则是可观测的情况，而此时s 有一个正的测度。 根据l i - y o r k e 定义，1 9 8 3 年d a y 认为一个混沌系统应具有如下三 种性质： ( 1 ) 存在所有阶的周期轨道： ( 2 ) 存在一个不可数集合，该集合只含有混沌轨道，且任意两个 轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨 道不趋于任一周期轨道，即该集合不存在渐近周期轨道； ( 3 ) 混沌轨道具有高度的不稳定性。 1 9 8 9 年d e v a n e yrl 给出了混沌的又一种定义： 设x 是一个度量空间。一个连续映射，：x 专x 称为x 上的混沌， 如果： ( 1 ) 厂是拓扑传递的； ( 2 ) ，的周期点在x 中稠密： ( 3 ) 厂具有对初始条件的敏感依赖性。 简而言之，混沌的映射具有不可预测性与不可分解性，但仍有一种 规律性。这是因为，对初始条件敏感依赖性，使得混沌系统是不可预测 的。又由于拓扑传递性，使得它不能被细分或不能被分解为两个在厂下 相互影响的子系统。尽管如此，但在混沌行为中确实存在着规律性的成 分，即有稠密的周期点。 除上述对混沌的定义之外，还有诸如s m a l e 马蹄、横截同宿点、拓 扑混合以及符号动力系统等定义。然而迄今为止，混沌一词还没有一个 公认的普遍的适用的数学定义。有人认为，不严格地说，当一个系统如 果同时具有对初值的敏感性以及出现非周期运动时，则可认为该系统是 混沌的。而许多数学学者则认为，给出混沌的精确的定义是一件相当困 难的事。这是因为： ( 1 ) 不使用大量的技术术语不可能定义混沌。 ( 2 ) 从事不同研究领域的学者使用的混沌定义应有所不同，如正 拓扑熵、正李雅普诺夫指数以及存在奇怪吸引子等等。 突变论的创始入t h o m 更是认为：“混沌”一词不可能有严格的数学 定义。尽管如此，从事不同领域研究的学者都是基于各自对混沌的理解 进行研究并谋求各自的应用。 混沌现象的发现以及基于上述定义，使人们认识到客观事物的运动 不仅是定常、周期或准周期的运动，而且还存在着一种具有更为普遍的 意义的形式，即无序的混沌。正是有了混沌现象，人们发现，在确定论 和概率论这两套体系的描述之间存在着由此及彼的桥梁。混沌的发现还 使人们认识到，像大气、海洋这样的耗散系统是一个对初始条件极为敏 感的系统，即使初始条件差别微小的两种状态，那么最终也会导致结果 的很大差异，甚至两种结果变得毫无关系，这就是所谓的非线性确定性 系统的长期不可预测性。混沌概念的提出，还使得人们能够将许多复杂 9 现象看作是有目的、有结构的行为，而小冉是采种外采的偶然任仃为。 除此之外，混沌还丰富了人们对远离平衡态现象的认识。物理系统在远 离平衡条件下，既可通过突变进入更为有序和对称的状态，也可能经过 突变进入混沌状态。然而混沌并不是简单的“无序”或“混乱”。而是 没有明显的周期和对称，但它却具备了丰富的内部层次的“有序”状态。 一般说来，在自然界中，混沌是更为普遍的现象。 大家知道，在经典力学中，不论耗散系统还是保守系统的运动，都 可用相空间中的轨道来表示。若运动方程不含随机项，它描述一种确定 性的运动，混沌运动是确定系统中局限于有限相空间的轨道高度不稳定 的运动。这种轨道高度不稳定，是指随着时间的发展，相邻的相空间的 轨道之间的距离会呈指数地增大。正是这种不稳定性，从而使系统的长 时间行为会显示出某种混乱性。对时间或相空间的平均将呈现典型的随 机行为。 2 3 混沌的描述方法 混沌现象很复杂，但不至于无序，根据不同科技工作者的需要，现 在常用的描述混沌特征的方法有：吸引子，功率谱，李雅普诺夫特征指 数。 2 3 1 吸引子 吸引子存在于耗散系统中，通常人们把与外界有物质和能量交换 的、开放的、远离平衡态的系统称之为耗散系统。下面考虑由个一阶 微分方程 石d x = f ( 力 ( 2 3 ) 描述的运动，式中善= ( 而，屯，h ) ，f ( x ) 不明显地依赖于t 。以 。也，菇。) 为坐标轴构成了系统的相空间( p h a s es p a c e ) ，相空间的一 。，r 。 个点代表系统的一个状态。一通过相空间的一点有唯一的一条积分曲线。 一组代表点的运动表现为相空间中的流( f l o w ) 。 大家知道，守恒系统的相空间体积在运动过程中是保持不变的，因 而不存在吸引子。而耗散系统则不同，其相空间体积在运动过程中是不 断收缩的，即相空间的体积元d 矿= d x l d x 2 出。的变化率应满足 上蔓( d r ) ：争一0 鱼：y 堡盟 ( 2 4 ) ( d r ) d t 、鲁挑衍乍苏， ( 2 4 ) 式也可看作是耗散系统的定义。通常( 2 4 ) 式不一定在相空间的每 一点都成立，只要a e 对相空间有关区域的体积积分小于零即 可。于是( 2 4 ) 式的特殊情况可表为 弘，钆= 常数 2 ) 维空间中的某一时刻，两条相邻的轨线之间的 距离可以分解在n 个不同的方向( 这n 个方向是按轨线定义的) 上，这 个 不同的方向上的距离增长率是不同的，每个增长率就是一个l e 特征指 数，这n 个指数可以取不同的值，既可以大于零，也可以小于或等于零 对于混沌系统，至少有一个f 指数必须大于零( z e 0 ) ，这是区分混 沌吸引子与其他吸引子的主要特征。 对n 维自治动力系统 警圳碱焉蛳) 1 ) 而言，选两条起始点相近的轨线、岛，起始点分别为，x o + i v ，以 为初始值的轨线我们称为基准轨线，以+ 矿为初始值的轨线我们 叫做近邻轨线。这样取的矢量矽( ，f ) 将和欧几里德函数0 一起随时 间演化。形随时间的演化可以由( 2 1 1 ) 式来确定。 下面考虑一个最简单的线性常微分方程 堕：嚣( 2 1 2 ) 珊 其解为x ；p “，它是以指数规律增减的。设在初始时刻有相邻的两条 轨道，当口 0 时，它们之间的距离在下一时刻以指数e 4 分离。当口 0 ， 其距离按指数ee q 。减少。当口= 0 时，则相邻轨道之间永远保持不变。显 然，在耗散系统中，状态变量x 不能趋于无穷。因此对非线性系统，只 有在给定状态附近实行线性化，才能使得其局部存在类似( 2 1 2 ) 式的关 系。一般说来，x 是已知量，口是雅可比矩阵，且依赖于所给定的线性 化点阵。该矩阵的特征值则决定了两个相邻点之间距离的伸长或压缩， 其速率可能在相空中各点不同，只有对运动轨道各点距离伸长或压缩的 速率进行长期平均，才能刻画动力学系统的整体效果，这就是李雅普诺 夫指数的概念。 在这里应该指出，正的李雅普诺夫特征指数是刻画混沌系统的主要 特征。 对于一维映射 x n “= ，( x 。) ( 2 1 3 ) 由于一维映射下只有一个拉伸或折叠的方向，因此可以考虑初值和它 的近邻值+ 瓯。由映射( 2 i a ) 作一次迭代后，这两点之间的距离为 1 9 两= l 厂( 和+ 蠡o ) 一厂( 邗) i = , t f ( r x o ) 甄 ( 2 1 4 ) 1 1 次迭代后，这两点之间的距离则变为 面。：l 厂如) g o + 反o ) 一厂g ) ( 如) f ：鲨! 坚过锄：。舾m 锄 ii戤 ( 2 1 5 ) 此时说明这两点要以指数分离，这就是敏感的初始条件。( 2 1 5 ) 式中l e 称为李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 特征指数。由( 2 1 5 ) 式可得 饱：h 坠： 1 ( 2 1 6 ) 甩咖”i d x i 所以l e 代表相邻点之间距离的平均发散率。根据复合函数的微分规则， 有 堑丝f 塑2 ：d f ( x o ) d f ( x d d f ( x 2 ) 堑( 塑= 1 2 ( 2 1 7 ) 式中 = ，( ) ，x 2 = 厂( 一) = ，( 2 ) ( ) ( 2 1 8 ) 那么( 2 1 6 ) 式变为 舱= 掘能) r 秘b 刊 ( 2 1 9 ) 或 l e = 熙圭l i l i 厂( 圳 ( 2 2 0 ) 件：= 。 一维映射r 有一个李雅普诺夫指数，它可能大于、等于或小于零。例如 对稳定的不动点有i 芸f “从( 2 3 ) 和( 2 1 9 ) a - j 见l e o 是区分混沌和其他吸引子的主要特征。 2 0 对二维映射 卜。= 正g 。，y 。) b 。= g 。，以) ( 2 2 1 ) 其混沌同样可用李雅普诺夫特征指数来表征。( 2 1 2 ) 式的雅可比矩阵为 j = 秭 氟n 萌 砂。 融n 觇 锣。 ( 2 2 2 ) 若初始点和y 。的偏差为瓯和旁。，从初始点( x o ，y o ) 出发，由( 2 1 8 ) 得到逐次迭代点为( 而，期) ，( x ：，y ：) ，( 工。，) ，。) ，前( n _ 1 ) 个雅可比矩阵为 i o = g ( x o ，) ， = ，( 而，m ) ，以一i = j ( x ，y ，1 ) ( 2 2 3 ) 且有 ( 复) = 厶1 钆函n 刮- i = 不厶一z ( l 弧击c n - 一2 ： = 厶一无z 而( 象 q 2 4 若设矩阵 ，= j n 一1 厶一2 j o ( 2 2 5 ) 有两个不同的特征值 和五，与( 2 1 6 ) 式类似，二维映射( 2 2 1 ) 的两 个李雅普诺夫指数为 弛= 丢l i l 阱加：= 吉l n 川 ( 2 2 6 ) ， 刀 这里涉及到求矩阵了的特征往r ，* 奴概念上讲并不复杂，然而由于这时雅 可比矩阵随点而变化，若用分析解法来求特征方程将会遇到很大的困 难。若令 缸= ( 钞一o ，啦，一 亿z ， 为矩阵厶，j l ，j + - 的特征同量则有 = 网i i 山, , i i - 网h 缸, - l l l 翮l l 缸in _ 一小雠：，州2 2 8 )4 锄j 峙一1 峨一2 j 旷仰。1 俨”7 2 ” 式中符号代表向量的模，川，。一2 ，o 分别是雅可比矩阵 厶一1 ，元一2 ，7 0 的特征值。因此由( 2 1 6 ) 式可得 蛆= 丢1 1 1 ( ”咣。l = 去h 姐川如掣伽，= 去譬n 所c z z 。， 这就旱南一船的二维睡射f 2 2 1 ) 所得剥的结娶 2 4 通向混沌的道路 混沌运动是确定性非线性动力系统所特有的复杂运动状态，但即使 对于确定性非线性动力系统，也只有当系统参数处于某一范围时才表现 为混沌运动，在其他情况下仍然表现为通常的确定性运动。系统从确定 性运动过渡到混沌运动的方式，即通往混沌的道路有四种。 2 4 1 倍周期分岔道路 倍周期分岔道路也称为费根堡姆道路，即周期不断加倍而产生混 沌，其基本途径为：不动点一2 周期点一4 周期点一无限倍周期凝 聚( 极限点) 一奇异吸引子。 下面以逻辑斯谛映射为例，说明倍周期分岔道路。逻辑斯谛映射为 x n + l = 如( 1 一勃) ( 2 3 0 ) 其中 x 【o ，l 】， 0 , 4 】 ( 2 3 1 ) 以下先来求周期l 解。所谓周期l 躺就是经过1 次迭代后的不动点，即 x h + l2 勘 由于勃+ l = ( i - 勘) ， 则有h = 如( 1 一h ) ， 解得寸：o ，莲：1 一! ， 但是由于限制了麓【0 , 1 】( 这是模型所代表的客观实际决定的，例如某 一物种在自然界中所占的百分比) ，而当0 1 时，还= 1 一二 0 l 不符合这一虢黝靛性要求俐扎 令爿；掣= a ( 1 2 砀) ， 则有： ( 1 ) 当0 1 时，映射有1 个周期1 不动点 x l + = o ， 且4 = l 刮工。叫嘶= o = ， 则i 纠= h l ， 故薪= o 是映射在 o ，1 内的稳定的周期1 不动点。 ( 2 ) 当1 1 ， j = 0 则彳= o 是映射在 o ，1 内的不稳定不动点： 对不动点逆2 ：一去， 彳- | 刮善- 2 啦 贝u l a l = 1 2 一州 1 ， 故逆= 1 一去是映射在 o ，1 内的稳定不动点。 ( 3 ) 当3 1 ： = 2 一 一1 ， j ：l 一三 故不动点# = 。，莲= 1 一去均失稳，此时系统没有周期1 解，只能考虑 周期2 解( 即经过2 次迭代厚度不动点) ，2 次迭代后的映射为 砀+ 2 = 肛。+ 1 ( 1 一x n + 1 ) = 2 b 1 1 一砀) 【l 一肛。0 一砀) 】 该映射共有4 个不动点，其中不动点才= 。，= 1 一去不稳定，而不动 点菇：业孕，：坐孕 稳定，故此时系统有两个周期2 解。 ( 4 ) 如此继续下去，当= 3 5 6 9 9 时，系统进入混沌态。 2 4 2 阵发( 间歇) 道路 这是由法国科学家p o m e a u 和m a n n e v i l l e 于1 9 8 0 年提出的一条通 往混沌的道路，故也称为p m 类阵发道路。 阵发混沌的产生机制与切分岔密切相关。阵发混沌发生于切分岔起 点之前，表现为时间行为的忽而周期、忽而混沌，随机地在两者之间跳 跃。当系统的某一参数r 低于( 或高于) 某一值凡时，系统呈现规则的 周期运动；而当参数r 逐渐增加( 或减少) 时，系统在长时间内仍然表 现出明显的近似周期运动形式，但这种近似的周期运动形式将被短暂的 突发混乱运动所打乱，突发之后又是周期运动，这种情况不断重复，显 示出一阵周期、一阵混沌的阵发运动；随着r 的进一步增大( 或减小) ， 突发现象出现得越来越频繁，近似的周期运动几乎完全消失，最后系统 完全进入混沌状态。 2 4 3 准周期道路 准周期道路又称为茹勒一塔肯斯道路，源自于1 9 7 1 年法国物理学 家茹勒和荷兰数学家塔肯斯在论湍流的本质一文中对朗道和霍普夫 提出的湍流发生机制进行的修正。2 0 世纪4 0 年代，朗道和霍普夫先后 提出一种湍流的发生机制，其基本思想是：当流体的雷诺数足。极小时， 流体处于与时间无关的层流状态，对应相空间的稳定不动点；当心超 过某临界值时，出现霍普夫分岔，即出现频率为卿的振荡而使流体失 稳；当也进一步增大到另一临界值时，发生二次霍普夫分岔，出现新 的频率为眈的振荡，运动用相空间的二维环面表示。通常叻眈为无 理数，这种准周期运动使流体运动进一步复杂化：_ 当心进一步增大， 将出现更多频率的准周期运动，最后这种极复杂的准周期运动便是湍 流，即湍流是无数次霍普夫分岔形成的无数频率的准周期振荡的结果。 然而，实验证明朗道和霍普夫提出的湍流发生机制并不符合实际。 为此，1 9 7 1 年法国物理学家茹勒和荷兰数学家塔肯斯在论湍流的本 质一文中对朗道和霍普夫提出的湍流发生机制进行了修正。认为湍流 可看以看作具有无数多个频率耦合而成的振荡现象，但并不像朗道和霍 普夫所说的那样要经过无数次分岔，而是只需要4 次分岔即可，即著名 的r 混沌道路：4 维环面上具有4 个不可公约的频率的准周期运动 一般是不稳定的，经扰动后转变为奇异吸引予。茹勒和塔肯斯以此来代 替朗道一霍普夫道路。 ， 1 9 7 8 年n e w h o u s e 将r 混沌道路改进为r 3 混沌道路，即3 维环面上具有3 个不可公约的频率的准周期运动一般是不稳定的，经扰 动后转变为奇异吸引子，产生混沌。但是理论和实验均证明3 维环面上 存在着具有3 个不可公约的频率的稳定的准周期运动，且这一稳定的准 0 周期运动是典型的、通有的，因此丁。争混沌道路被否定了，代之以 r 争混沌道路。r 争混沌道路是通有的，并为理论和实验所证实。 因此准周期道路的典型途径是：不动点( 平衡态) 一极限环( 周期运动) 一二维环面( 准周期运动) 一奇异吸引子( 混沌运动) 。 2 4 4k 棚环面破裂 k a m 定理指出：近哈密顿系统的轨线分布在一些环面( 称为k a m 环面) ，它们一个套在另一个外面，而两个环面之间充满了混沌区。它 在法向平面上的截线称为k a m 曲线。对于可积哈密顿系统( 如单摆) ， 其相图是椭圆平衡点和双曲平衡点交替出现，相平面被鞍点连续分割， 相空间中的各部分的运动互不相混；而对于不可积哈密顿系统，在鞍点 附近发生一些变化，鞍点连线破断，并在鞍点附近产生剧烈振荡，这种 振荡等价于斯麦尔马蹄的结构，从而引起混沌运动，相应的区域称为混 沌区。 第三章p - n 结中的混沌 许多物理系统可以看成是耦合振荡器或其模式的集合。在本篇论文 中研究以p - - n 结为核心的非线性振子的运动。它的物理机制可以近似 地看成是由交变外力控制下的阻尼振荡器，有人已经做了这方面的研 究。林塞( p a u lsl i n s a y ) 首先通过测量收敛率6 的变化发现了它的 倍周期性质，发现其功率谱与费根堡姆( f