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第2课时指数扩充及其运算性质 1 经历幂指数由正整数逐步扩充到实数的过程 理解有理数指数幂的含义 通过具体实例了解实数指数幂的意义 2 掌握分数指数幂和根式之间的互化 3 掌握幂的运算性质 我们知道考古学家是通过对生物化石的研究判断生物的发展和进化的 那么他们又怎样判断它们所处的年代呢 当生物死亡后 它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减 大约每经过5730年衰减为原来的一半 这个时间称为 半衰期 根据此规律 考古学家获得了生物体内碳14含量p与死亡年数t之间的关系 这样就能推断它们所处的年代 在科学领域中 常常需要研究这一类问题 情景中不一定为整数 不为整数它还有意义吗 下面我们就来学习新知识 分数指数幂 分数指数幂的定义 给定正实数a 对于任意给定的整数m n m n互素 存在唯一的正实数b 使得bn am b叫作a的次幂 记作它就是分数指数幂 n次方根的概念 如果xn a 那么x叫作a的 其中n 1 且n n 1 当n是奇数时 正数的n次方根是一个 负数的n次方根是一个 因此a的n次方根用符号表示 2 当n是偶数时 正数的n次方根有两个 它们 可用符号表示 负数没有偶次方根 3 当n为奇数时 当n为偶数时 n次方根 正数 负数 互为相反数 在初中 我们学过正整数指数幂的运算性质 当指数为任意实数时 这些运算性质还适用 实际上 当a 0 b 0时 对任意实数m n 我们可以将指数运算的性质归结为三条 1 am an am n 2 am n amn 3 ab n anbn 下列运算中 正确的是 1 b 下列根式与分数指数幂的互化 正确的是 2 c 3 4 用分数指数幂表示下列各式 分数指数幂与根式 7 用指数幂的运算性质化简 化简下面各式 已知x x 1 3 求x2 x 2的值 用指数幂的运算性质求值 解析 当n是奇数时 原式 a b a b 2a 当n是偶数时 原式 a b a b b a a b 2a b a a 2b a 2
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