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2 2 2间接证明 高中数学选修2 2 问题情境 基本概念 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法 反证法是一种常用的间接证明方法 否定结论 导致矛盾 否定命题不成立 原结论成立 反设 归谬 存真 基本概念 反证法的过程包括以下三个步骤 1 反设 假设命题的结论不成立 即假定原命题的反面为真 2 归谬 从反设和已知条件出发 经过一系列正确的逻辑推理 得出矛盾结果 3 存真 由矛盾结果 断定反设不真 从而肯定原结论成立 先求出周期 思路 用反证法证明2 是最小正周期 例1求证 正弦函数没有比2 小的正周期 例1 假设t是正弦函数的周期 则对任意实数x都有 解 令x 0 得 即 从而对任意实数x都应有 这与 矛盾 因此 原命题成立 求证 正弦函数没有比2 小的正周期 假设最小正周期0 t 2 故t 习题 1 求证 若一个整数的平方是偶数 则这个数也是偶数 假设这个整数是奇数 可以设为2k 1 证 则有 而 不是偶数 这与原命题条件矛盾 假设是有理数 可设 1 其中p q为互素的整数 q 0 将 1 两边平方 变形的2p2 q2 2 2 式表明 q2是2的倍数 从而q也是2的倍数 设q 2l l n 代入 2 式得p2 2l2 3 3 式表明 p2是2的倍数 从而p也是2的倍数 则p与q都是2的倍数 它们至少有公约数2 这与p q互素矛盾 因此不是有理数 例题2求证 不是有理数 例3设a3 b3 2 求证a b 2 证明 假设a b 2 则有a 2 b 从而a3 8 12b 6b2 b3 a3 b3 6b2 12b 8 6 b 1 2 2 因为6 b 1 2 2 2 所以a3 b3 2 这与题设条件 矛盾 所以 原不等式a b 2成立 a3 b3 2 小结 间接证明 反证法 同一法 枚举法 注意一 否定所证结论 是反证法的第一步 它的正确与否直接影响能否正确使用反证法 注意三 在反证法证题的过程中 经常画出某些不正确的图形 甚至是不可能存在的图形 这样做的目的 是为了能清楚地说明问题 在证明过程中 每一步推理所得结论的正确性 应完全由它所依据的理由来保证 而不能借助图形的直观性 这与用直接证法借助图形的直观性找到证题的途径是不完全一样的 否定结论的步骤是 弄清结论本身的情况 找出结论的全部相反情况 正确地否定上述结论 注意二 反证法中引出矛盾的结论 不是推理本身的错误 而是由于开始假定 结论的反面是正确的 是
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