高中数学 2.2.22 等差数列的前n项和(二)课件 新人教B版必修5.ppt

2 2 2等差数列的前n项和 二 课标要求 1 掌握等差数列与其前n项和sn有关的一些性质 能熟练运用这些性质解题 2 掌握可以转化为等差数列的数列求和问题 3 会用等差数列的相关知识解决简单的实际问题 核心扫描 1 掌握等差数列前n项和sn的有关性质 重点 2 熟练运用等差数列前n项和sn的性质及公式解决问题 难点 自学导引等差数列前n项和的性质 1 等差数列 an 的公差为d 前n项和为sn 那么数列sk s2k sk s3k s2k k n 是等差数列 其公差等于 2 若在等差数列 an 中 a1 0 d0 则sn存在 k2d 最大值 最小值 n an an 1 nd 2n 1 an 试一试 证明等差数列前n项和的性质 1 想一想 数列 an 为等差数列 则 an 仍为等差数列吗 提示不一定 若等差数列 an 满足an 0或an 0 则数列 an 仍为等差数列 若 an 中有正 有负 则数列 an 不是等差数列 2 等差数列 an 与数列 an 的前n项和等差数列各项取绝对值后组成的数列 an 的前n项和 可分为以下情形 1 等差数列 an 的各项都为非负数 这种情形中数列 an 就等于数列 an 可以直接求解 2 等差数列 an 中 a1 0 d0 这种数列只有前面有限项为负数 其余都为非负数 同样可以分成两段处理 总之 解决此类问题的关键是找到数列 an 的正负分界点 题型一等差数列前n项和的性质 例1 已知等差数列 an sm s2m s3m分别是其前m 前2m 前3m项和 若sm 30 s2m 100 求s3m 思路探索 用等差数列的 部分和 成等差数列这一性质 变式1 项数为奇数的等差数列 奇数项之和为44 偶数项之和为33 求这个数列的中间项及项数 2n 1 11 77 2n 1 7 即数列的中间项为11 这个数列共7项 题型二等差数列的实际应用 例2 某人用分期付款的方式购买一件家电 价格为1150元 购买当天先付150元 以后每月的这一天都交付50元 并加付欠款利息 月利率为1 若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月 则分期付款的第10个月该交付多少钱 全部贷款付清后 买这件家电实际花费多少钱 思路探索 属于构建数列模型求解的实际应用题 规律方法解决有关等差数列的实际应用题时 首先要搞清楚哪些量能成等差数列 然后转化为等差数列问题来解决 变式2 有两个加工资的方案 一是每年年末加1000元 二是每半年结束时加300元 如果在该公司干10年 问 1 选择哪一种方案好 选准了较好的方案 与另一方案相比 10年中多加薪多少元 2 如果第二方案中的每半年加300元改成每半年加a元 问a取何值时 总是选择第二方案比第一方案加薪多 解按第一种方案 每年加薪数形成等差数列 an 且a1 1000 d 1000 n 10 按第二种方案 每半年加薪数形成等差数列 bn 且b1 300 d 300 n 20 1 第10年的年末 依第一方案可得共加薪sn 1000 2000 3000 10000 55000 元 依第二方案可得共加薪tn 300 300 2 300 3 300 4 300 20 63000 元 因此在公司干10年 选择第二方案好 多加薪63000 55000 8000 元 题型三等差数列的绝对值 an 的前n项和 例3 已知二次函数f x x2 2 10 3n x 9n2 61n 100 1 设函数y f x 的图象顶点的横坐标构成数列 an 求证 数列 an 是等差数列 2 设函数y f x 的图象顶点到y轴的距离构成数列 bn 求数列 bn 的前n项和sn 审题指导本题主要借助函数的配方 考查等差数列的判定与等差数列的前n项和 题后反思 求等差数列 an 前n项绝对值的和 首先要搞清哪些项是正数哪些项是负数 正的直接去掉绝对值 负的变为原来的相反数 再转化为等差数列 an 的前n项和形式求解 变式3 数列 an 的前n项和sn 100n n2 n n 1 an 是什么数列 2 设bn an 求数列 bn 的前n项和 解 1 an sn sn 1 100n n2 100 n 1 n 1 2 101 2n n 2 a1 s1 100 1 12 99 101 2 1 数列 an 的通项公式为an 101 2n n n 又an 1 an 2为常数 数列 an 是首项为a1 99 公差d 2的等差数列 2 令an 101 2n 0 得n 50 5 n n n 50 n n 当1 n 50时 an 0 此时bn an an bn 的前n项和sn 100n n2 方法技巧方程思想在等差数列中的应用等差数列的通项公式及前n项和公式中都