高中数学（自主初探+核心归纳+案例展示）第四章 4.1.1 圆的标准方程课件 新人教A版必修2.ppt

第四章圆与方程4 1圆的方程4 1 1圆的标准方程 圆的标准方程及点与圆的位置关系1 圆的标准方程 x2 y2 r2 x a 2 y b 2 r2 圆心 半径 2 点与圆的位置关系设点p到圆心的距离为d 半径为r 则点在圆内 点在圆上 点在圆外 d r d r d r 判断 正确的打 错误的打 1 方程 x a 2 y b 2 m2一定表示圆 2 确定一个圆的几何要素是圆心与半径 3 若 x0 a 2 y0 b 2 r2 则说明点m x0 y0 在圆 x a 2 y b 2 r2的外部 提示 1 错误 当m 0时表示点 a b 当m 0时表示圆 2 正确 只要圆心与半径确定 则圆的方程也就确定 3 正确 由两点间的距离公式知 x0 a 2 y0 b 2 r2 即点m x0 y0 到圆心 a b 的距离大于半径 故点m x0 y0 在圆外 答案 1 2 3 知识点拨 1 对圆的标准方程的理解 1 圆的标准方程是由两点间的距离公式推导出来的 它是圆的定义的直观反映 是代数与几何结合的完美体现 2 由圆的标准方程可直接写出圆的圆心和半径 反之 已知圆的圆心和半径可以写出圆的标准方程 这一点体现了圆的标准方程的优越性 3 要确定圆的标准方程只需要找出圆心和半径即可 2 圆的标准方程中参数a b r的作用圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2中 有三个参数a b r 其中 a b 为圆心 r为半径 结合圆的定义可知 圆心 a b 在确定圆时起到定位作用 即影响圆的位置 而半径r在确定圆时起到定形作用 即影响圆的大小 类型一点与圆位置关系的判断 典型例题 1 2013 温州高二检测 点p 2 2 和圆x2 y2 4的位置关系是 a 在圆上b 在圆外c 在圆内d 以上都不对2 点 1 1 在圆 x a 2 y a 2 4的内部 则a的取值范围是 a a1b 1 a 1c 0 a 1d a 1 解题探究 1 圆上的点的坐标与圆的方程是什么关系 2 若点在圆的内部 点的坐标和圆的方程应满足什么关系 探究提示 1 圆上的点的坐标满足圆的方程 2 若点在圆的内部 则点到圆心的距离小于半径 由此可列不等式求解 解析 1 选b 将点p的坐标代入圆的方程的等号的左边 有 2 2 2 2 8 4 故点p在圆外 2 选b 由题意可知 1 a 2 1 a 2 4 解得a2 1 解得 1 a 1 互动探究 题2中 若点在圆外 则a的取值范围又是什么 解析 若点在圆外 则 1 a 2 1 a 2 4 解得a2 1 即a1 拓展提升 判断点与圆位置关系的两种方法 1 几何法 主要利用点到圆心的距离与半径比较大小 2 代数法 主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断 点p x0 y0 在圆c上 x0 a 2 y0 b 2 r2 点p x0 y0 在圆c内 x0 a 2 y0 b 2r2 变式训练 1 点p m2 5 与圆x2 y2 24的位置关系是 a 在圆内b 在圆外c 在圆上d 不确定 解析 选b 判断点与圆的位置关系 即寻求 po 与r的关系 设o为圆心 r为半径 则 po 2 m4 25 24 r2 所以点p在圆外 2 平面直角坐标系中有a 0 1 b 2 1 c 3 4 d 1 2 四点 这四点能否在同一个圆上 为什么 解析 能 设过a 0 1 b 2 1 c 3 4 的圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 将a b c三点的坐标分别代入有解得所以圆的方程为 x 1 2 y 3 2 5 将d 1 2 的坐标代入上式圆的方程左边 1 1 2 2 3 2 4 1 5 即d点坐标适合此圆的方程 故a b c d四点在同一圆上 类型二直接法求圆的标准方程 典型例题 1 2013 咸阳高一检测 圆心在y轴上 半径为1 且过点 1 2 的圆的方程为 a x2 y 2 2 1b x2 y 2 2 1c x 1 2 y 3 2 1d x2 y 3 2 12 2013 南昌高一检测 已知一圆的圆心为点 2 3 一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上 则此圆的方程是 a x 2 2 y 3 2 13b x 2 2 y 3 2 13c x 2 2 y 3 2 52d x 2 2 y 3 2 52 解题探究 1 已知半径及圆上一点如何确定圆心坐标 2 已知圆心及直径的两端点坐标如何求圆的半径 探究提示 1 可设出圆心坐标 利用两点间的距离公式求出圆心坐标 2 先设出直径端点坐标 再根据中点坐标公式求出端点坐标进而求出其半径 解析 1 选a 设圆心坐标为 0 b 则由题意知解得b 2 故圆的方程为x2 y 2 2 1 2 选a 设此直径的一个端点为 a 0 另一端点为 0 b 由于圆心坐标是 2 3 所以a 4 b 6 所以圆的半径从而所求圆的方程是 x 2 2 y 3 2 13 拓展提升 利用直接法求圆的标准方程的方法根据圆的标准方程的概念 只需求出圆心坐标和半径 就可直接写出圆的标准方程 求圆的半径时 可利用两点间的距离公式求解 变式训练 2013 中山高一检测 若圆的圆心 1 1 且经过点 2 5 则圆的方程为 解析 由题意知圆的半径为故所求圆的方程为 x 1 2 y 1 2 17 答案 x 1 2 y 1 2 17 类型三几何法求圆的标准方程 典型例题 1 2013 吉安高二检测 圆心为 1 1 且与直线x y 4相切的圆的方程是 a x 1 2 y 1 2 2b x 1 2 y 1 2 4c x 1 2 y 1 2 2d x 1 2 y 1 2 42 求过点a 1 1 b 1 1 且圆心c在直线x y 2 0上的圆的标准方程 解题探究 1 若圆与直线相切 则圆的半径应如何求 2 题2中的圆心位置如何确定 探究提示 1 当圆与直线相切时 圆心到直线的距离即为圆的半径 2 圆心位于弦的垂直平分线上 故弦ab的垂直平分线与直线x y 2 0的交点即为圆心坐标 解析 1 选a 由题意知 圆心到直线的距离即为圆的半径 即 故所求圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 2 ab的垂直平分线方程是x y 0 解方程组得即圆心c 1 1 则半径r ac 2 所以圆的标准方程是 x 1 2 y 1 2 4 拓展提升 求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程 关键是确定圆心坐标和半径 为此常用到圆的以下几何性质 1 弦的垂直平分线必过圆心 2 圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心 3 圆心与切点的连线长是半径长 4 圆心与切点的连线必与切线垂直 变式训练 2013 克拉玛依高二检测 已知圆c经过a 5 1 b 1 3 两点 圆心在x轴上 求圆c的方程 解题指南 先求出线段ab的垂直平分线方程 再求出圆心坐标和半径 进而求出圆的方程 解析 线段ab的垂直平分线方程为2x y 4 0 与x轴的交点 2 0 即为圆心c的坐标 所以半径为 cb 所以圆c的方程为 x 2 2 y2 10 易错误区 对圆的标准方程的结构形式认识不清而致误 典例 2013 湛江高一检测 已知a 0 5 b 0 1 则以线段ab为直径的圆的方程是 a x 3 2 y2 2b x2 y 3 2 4c x 3 2 y2 4d x 3 2 y2 2 解析 选b 圆的圆心是 0 3 半径是r 5 1 2 故圆的方程为x2 y 3 2 4 误区警示 防范措施 准确认识圆的标准方程圆的标准方程的特点是 等号左边是平方和的形式 右边是半径的平方而非半径 如本例中若注意不到这一点则易错选选项a或d 类题试解 过点a 1 1 b 1 3 且面积最小的圆的标准方程是 a x 2 2 y2 2b x 2 2 y2 4c x2 y 2 2 2d x2 y 2 2 4 解析 选c 由题意知 过两点且面积最小的圆是以ab为直径的圆 圆心 0 2 半径故圆的方程为x2 y 2 2 2 1 方程 x a 2 y b 2 0表示的图形是 a 以 a b 为圆心的圆b 以 a b 为圆心的圆c 点 a b d 点 a b 解析 选c 由题意知 需满足x a 0且y b 0 即x a且y b 故方程表示点 a b 2 下面各点在圆 x 1 2 y 1 2 2上的是 a 1 1 b 2 1 c 0 0 d 解析 选c 将各点坐标代入圆方程中 只有选项c符合要求 3 某圆的标准方程为x2 y 1 2 8 则此圆的圆心与半径分别为 a 1 0 4b 1 0 2c 0 1 4d 0 1 2 解析 选d 由圆的标准方程的概念可知 圆心坐标是 0 1 半径是 4 已知定点a 0 4 o为坐标原点 以oa为直径的圆c的方程是 a x 2 2 y2 4b x 2 2 y2 16c x2 y 2 2 4d x2 y 2 2 16 解析 选c 由题意知 圆心坐标为 0 2 半径r 2 其方程为x2 y 2 2 4 5 经过圆 x 1 2 y 1 2 2的圆心 且与直线2x y 0垂直的直线方程是 解析