河北省中考数学复习第二部分热点专题突破专题六运动问题试题（含解析）.docx

专题六运 动 问 题例1 (2018，唐山路北区二模，导学号5892921)把RtABC和RtDEF按如图摆放(点C与点E重合)，点B，C(E)，F在同一条直线上，ACBEDF90，DEF45，AC8 cm，BC6 cm，EF9 cm.如图，DEF从图的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向ABC匀速移动在DEF移动的同时，点P从ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA匀速移动，当DEF的顶点D移动到AC边上时，DEF停止移动，点P也随之停止移动，DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t s(0t4.5)例1题图解答下列问题：(1)当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？(2)连接PE，设四边形APEC的面积为y cm2，求y与t之间的函数关系式是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，请求出y的最小值；若不存在，请说明理由；(3)是否存在某一时刻t，使P，Q，F三点在同一条直线上？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由【思路分析】 (1)因为点A在线段PQ的垂直平分线上，所以APAQ，用含t的式子表示出这两条线段的长解方程即可得解(2)过点P作PMBC，将四边形APEC的面积表示为SABCSBPE即可求解(3)由相似三角形的性质即可求解 解：(1)点A在线段PQ的垂直平分线上，APAQ.DEF45，ACB90，DEFACBEQC180，EQC45.DEFEQC.CECQ.由题意，知CEt，BP2t.CQt.AQ8t.在RtABC中，由勾股定理，得AB10.AP102t.102t8t.解得t2.当t2时，点A在线段PQ的垂直平分线上(2)如答图，过点P作PMBE，交BE于点M.BMP90.在RtABC和RtPBM中，sin B，.PMt.BC6，CEt，BE6t.ySABCSBPEBCACBEPM68(6t)tt2t24(t3)2.a，抛物线开口向上当t3时，y最小.存在一个t值，且当t3时，四边形APEC的面积最小，最小面积为 cm2.(3)存在某一时刻t，使P，Q，F三点在同一条直线上如答图，过点P作PNAC，交AC于点N.ANPACBPNQ90. PANBAC，PANBAC.PN6t，AN8t.NQAQAN，NQ8tt.ACB90，B，C，E，F四点在同一条直线上，QCF90.QCFPNQ.FQCPQN，QCFQNP.解得t1.存在一个t值，且当t1时，P，Q，F三点在同一条直线上例1答图针对训练1 (2018，黄冈，导学号5892921)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一象限，C120，边长OA8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，点N从点A出发沿边ABBCCO以每秒2个单位长度的速度做匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于点P，交对角线OB于点Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动(1)当t2时，求线段PQ的长；(2)求t为何值时，点P与点N重合；(3)设APN的面积为S，求S与t之间的函数关系式及t的取值范围训练1题图【思路分析】 (1)解直角三角形求出PM，QM即可解决问题(2)根据点P，N的路程之和等于24，构建方程即可解决问题(3)分四种情况考虑问题即可解：(1)当t2时，OM2.在RtOPM中，易知POM60，PMOMtan 602.在RtOMQ中，QOMPOM30，QMOMtan 30.PQPMQM2.(2)当t4时，点P在OC上，点N在AB上，点P，N在边BC上相遇，t4.由题意，得8(t4)2t83.解得t.(3)当0t4时，S82t4t.当4t时，S8(t4)(2t8)46t40.当t8时，S(t4)(2t8)846t40.当8t12时，如答图，SS菱形ABCOSAONSABPSPNC32(242t)48(t4)4(t4)(2t16)t212t56.综上所述，S训练1答图针对训练2 (导学号5892921)如图，在RtABC中，C90，A30，AB4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动过点P作PDAC于点D(点P不与点A，B重合)，作DPQ60，边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t s.(1)用含t的代数式表示线段DC的长；(2)当点Q与点C重合时，求t的值；(3)设PDQ与ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式 训练2题图【思路分析】 (1)先求出AC的长，用三角函数求出AD的长，进而可得出结论(2)利用ADDQAC，即可得出结论(3)分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论解：(1)在RtABC中，A30，AB4，AC2.PDAC，ADPCDP90.在RtADP中，AP2t，DPt，ADAPcos A2tt.DCACAD2t(0t2)(2)在RtPDQ中，DPQ60，PQD30A.PAPQ.PDAC，ADDQ.点Q与点C重合，ADDQAC.2t2.t1.(3)当0t1时，SSPDQDQDPttt2.当1t2时，如答图，训练2答图CQAQAC2ADAC2t22(t1)在RtECQ中，CQE30，CECQtanCQE2(t1)2(t1)SSPDQSECQtt2(t1)2(t1)t24t2.S例2 (2018，邯郸模拟，导学号5892921)如图，在菱形ABCD中，AB6，ABC120.动点P从点B出发，沿BCCD边以每秒1个单位长度的速度运动，到点D时停止，连接AP，点Q与点B关于AP所在直线对称，连接AQ，PQ.设运动时间为t s.例2题图(1)菱形ABCD的对角线AC的长为 6 ；(2)当点Q恰在AC上时，求t的值；(3)当CP3时，求APQ的周长；(4)直接写出在整个运动过程中，点Q运动的路径长【思路分析】 (1)连接BD交AC于点O，依据在菱形ABCD中，AB6，ABC120，求出AO的长，即可得到菱形ABCD对角线AC的长(2)依据点Q与点B关于AP所在直线对称，可得AQPABP，进而得出PQPB，AQAB6，AQPABC120，进而可知CPQ90，CQ2PQ2PB2t，即可得到t的值(3)当CP3时，有两种情况：P是BC的中点；P是CD的中点分别依据APQ的周长ABP的周长ABBPAP，进行计算即可(4)点Q运动的路径为以点A为圆心，6为半径，圆心角为120的弧，进而得到点Q运动的路径长为4.解：(1)6(2)如答图.在菱形ABCD中，ABC120，BCD60.AC是菱形ABCD的对角线，ACB30.点Q与点B关于AP所在直线对称，AQPABP.PQPB，AQAB6，AQPABC120.CPQAQPACB90.在RtCPQ中，ACB30，CQ2PQ2PB2t，即662t.解得t33.(3)当CP3时，有两种情况当P是BC的中点时，如答图，过点A作AEBC，交CB的廷长线于点E.在RtABE中，ABE60，BEAB3，AEAB3.在RtAEP中，AE3，EP336，AP3.APQ的周长ABP的周长ABBPAP63393.当P是CD的中点时，如答图，连接BD，则BCD是等边三角形BPC90.在RtBPC中，BPCPtan C3.易证ABP90，由勾股定理可得AP3.APQ的周长ABP的周长ABBPAP633.综上所述，当CP3时，APQ的周长为93或633.(4)由题意，得点Q的运动路径为以点A为圆心，6为半径，圆心角为120的弧点Q运动的路径长为4.例2答图针对训练3 (2018，石家庄长安区模拟，导学号5892921)如图，正方形ABCD的边长为6，点P从点B出发沿边BCCD以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，以BP为边作等边三角形BPQ，使点Q在正方形ABCD内或边上，当点Q恰好在AD边上时，点P停止运动设运动时间为t s.(1)当t2时，点Q到BC的距离为 2 ；(2)如图，当点P在BC边上运动时，求CQ的最小值及此时t的值；(3)如图，当点Q在AD边上时，求出t的值；(4)直接写出点Q运动路线的长训练3题图【思路分析】 (1)先求出BP4，PBQ60，进而可得出结论(2)先判断出CQBQ时，CQ最小，再用含30角的直角三角形的性质即可得出结论(3)先判定RtBAQRtBCP，再由勾股定理建立方程即可得出结论(4)判断出点Q的运动路线长等于点P的运动路线长即可得出结论解：(1)2(2)当点P在BC边上运动时，有QBC60.根据垂线段最短，当CQBQ时，CQ最小如答图在RtBCQ中，QBC60，BCQ30.BQBC3.BPBQ3.CQBQtanQBC3，t.训练3答图(3)当点Q在AD边上时，CP2t6.BABC，BQBP，AC90，RtBAQRtBCP(HL)AQCP2t6.DQDP122t.BPPQ，在RtPDQ和RtBCP中，由勾股定理可得DQ2DP2QP2，BC2CP2BP2，2(122t)262(2t6)2.解得t193(不合题意，舍去)，t293.t93.(4)PBQ是等边三角形，点Q运动路线的长等于点P运动路线的长由(3)知，t93.点Q运动路线的长为2(93)186.针对训练4 (2017，河北，导学号5892921)平面内，如图，在ABCD中，AB10，AD15，tan A，P为AD边上任意一点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90得到线段PQ.(1)当DPQ10时，求APB的度数；(2)当tanABPtan A32时，求点Q与点B间的距离；(结果保留根号)(3)若点Q恰好落在ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积训练4题图【思路分析】 (1)按点Q，B与PD的位置关系讨论确定APB的度数(2)过点P作PHAB于点H，连接BQ，由三角函数值的比确定AH，BH，PH的长，再由勾股定理计算出QB的长(3)根据题意分类讨论点Q所在位置并画出满足题意的图形进而计算出扇形面积解：(1)当点Q与点B在PD异侧时，由DPQ10，BPQ90，得BPD80.APB180BPD100.当点Q与点B在PD同侧时，如答图，APB180BPQDPQ80.综上所述，当DPQ10时，APB的度数为80或100.训练4答图(2)如答图，过点P作PHAB于点H，连接BQ.tanABPtan A32，AHHB32.AB10，AH6，HB4.在RtPHA中，PHAHtan A8.PQPB4.在RtPQB中，QBPB4.(3)16或20或32.例3 (2018，石家庄裕华区一模，导学号5892921)如图，图，在O中，OA1，AB，将弦AB与弧AB所围成的弓形(包括边界的阴影部分)绕点B顺时针旋转(0360)，点A的对应点是A.(1)点O到线段AB的距离是（ ），AOB_120_，点O落在阴影部分(包括边界)时，的取值范围是_3060_；(2)如图，线段AB与弧ACB的交点是D.当ABA90时，说明点D在AO的延长线上；(3)当直线AB与O相切时，求的值并求此时点A运动路径的长度例3题图【思路分析】 (1)前两空利用垂径定理和特殊角的三角函数值解答第三空，当AB与OB重叠时，取最小值当弧AB绕点B顺时针旋转到过圆心O时得到的最大值(2)连接AD，利用圆周角定理进行证明(3)利用切线的性质求得的值，并利用弧长公式求得点A运动路径的长度解：(1)1203060(2)如答图，连接AD.例3答图ABA90，AD为直径AD过圆心O.点D在AO的延长线上(3)当AB与O相切时，OBA90，此时ABA9030120或ABA903060.120或300.当120时，点A运动路径的长度为.当300时，点A运动路径的长度为.针对训练5 (2018，石家庄长安区模拟，导学号5892921)在扇形AOB中，圆心角AOB120，半径OAOB8.(1)如图，过点O作OEOB，交弧AB于点E，再过点E作EFOA于点F，则FO的长是 4 ，FEO 60 ；(2)如图，设P为弧AB上的动点，过点P作PMOA于点M，PNOB于点N，点M，N分别在半径OA，OB上，连接MN.求点P运动的路径长；MN的长度是否是定值？(3)在(2)中的条件下，若点D是PMN的外心，直接写出点D运动的路径长训练5题图【思路分析】 (1)先求出AOE，即可得出结论(2)当点M与点O重合时，PMB30.当点N与点O重合时，PNA30.进而可求出点P运动路径所对的圆心角是120303060，最后用弧长公式即可得出结论先判断出P，M，O，N四点均在同一个圆上，进而可得出结论(3)先判断出PMN的外接圆的圆心的运动轨迹，最后根据弧长公式即可得出结论解：(1)460(2)点P在弧AB上运动，其路径也是一段弧由题意，可知当点M与点O重合时，PMB30；当点N与点O重合时，PNA30.点P运动路径所对的圆心角是120303060.点P运动的路径长为.如答图，连接PO，取PO的中点H，连接MH，NH.在RtPMO和RtPNO中，H是斜边PO的中点，MHNHPHOHPO4.根据圆的定义，可知P，M，O，N四点均在同一个圆，即H上MON120，PMOPNO90，MPN60.MHN2MPN120.过点H作HKMN，垂足为K.由垂径定理，得MKKNMN，MHK60.在RtHMK中，MH4，MK2.MN2MK4.MN的长度是定值(3)点D运动的路径长为.训练5答图例4 (2018，资阳模拟，导学号5892921)如图，ABC为等边三角形，且点A，B的坐标分别是(2，0)，(1，0)将ABC沿x轴正方向翻滚，翻滚120为一次变换如果这样连续经过2 018次变换后，等边三角形ABC的顶点C的坐标为_(2_016，0)_例4题图【解析】 由题意，得C1(0，0)，C2(0，0)，C3，C4(3，0)，C5(3，0)，C6，.3次为一组循环，2 01836722，67232 016，经过2 018次变换后，等边三角形ABC的顶点C的坐标为(2 016，0).针对训练6 (导学号5892921)如图，在扇形铁皮AOB中，OA20，AOB36，OB在直线l上将此扇形沿l按顺时针方向旋转(旋转过程中无滑动)，当OA第一次落在l上时，停止旋转，则点O所经过的路线长为( C )训练6题图A. 20 B. 22C. 24 D. 201010【解析】 点O所经过的路线长为24.针对训练7 (导学号5892921)如图，一个长为4 cm、宽为3 cm的矩形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板点A位置的变化为AA1A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30的角，则点A滚到点A2位置时走过的路径长为( B )训练7题图A. cm B. cmC. cm D. cm【解析】 矩形长为4 cm，宽为3 cm，其对角线长为5 cm.第一次是以点B为旋转中心，5 cm 为半径旋转90，此次点A走过的路径长是(cm)第二次是以点C为旋转中心，4 cm为半径旋转60，此次走过的路径长是(cm)点A走过的路径长是(cm).针对训练8 (导学号5892921)如图，在平面直角坐标系中，一半径为2的圆的圆心的初始位置在(0，2)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上以每秒的速度沿x轴正方向滚动，8 s后点P到x轴的距离为_3_训练8题图【解析】 如答图，设圆心为点O，作OAx轴于点A，PDx轴于点D，OFPD于点F.设优弧AP的圆心角为n.由题意，得.解得n240.POA120.OADFDAOFD90，四边形OADF是矩形DFOA2，FOA90.FOP30.在RtOPF中，PFOP1，PDPFDF123.点P到x轴的距离为3.训练8答图针对训练9 (2018，唐山三模，导学号5892921