创新设计高中数学用导数研究函数的单调性与极值ppt课件.ppt

第2讲用导数研究函数的单调性与极值 考点梳理 函数f x 在 a b 内可导 f x 在 a b 任意子区间内都不恒等于0 f x 0 f x 为 函数 f x 0 f x 为 函数 1 判断f x0 是极值的方法一般地 当函数f x 在点x0处连续时 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 1 函数的单调性 2 函数的极值 增 减 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 2 求可导函数极值的步骤 求f x 求方程f x 0的根 检查f x 在方程f x 0的根左右值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右两侧符号一样 那么这个根不是极值点 f x 0 f x 0 极大值 一个考情解读本讲内容是高考的必考内容 主要以解答题的形式考查利用导数研究函数的单调性 求函数的单调区间 求函数的极值 也有可能以解答题的形式考查导数与解析几何 不等式 三角函数等知识相结合的问题 综合题一般作为压轴题出现 难度较大 助学 微博 考点自测 2 函数y 3x2 6lnx的单调增区间为 单调减区间为 答案 1 0 1 3 若函数f x ax3 3x2 x恰有3个单调区间 则实数a的取值范围是 答案 3 0 0 解析f x 3x2 a 由f x 在 1 上是单调递增函数 得f x 0在区间 1 上恒成立 即3x2 a 0 x 1 恒成立 故实数a 3x2在 1 上的最小值 即a 3 答案 3 4 已知a 0 函数f x x3 ax在 1 上是单调递增函数 则a的取值范围是 5 2012 启东中学一模 若函数f x x3 x2 ax 4在区间 1 1 内恰有一个极值点 则实数a的取值范围是 答案 1 5 考向一利用导数解决函数的单调性问题 令g x ax2 x 1 a x 0 当a 0时 g x x 1 x 0 所以 当x 0 1 时 g x 0 此时f x 0 函数f x 单调递增 当a 0时 由f x 0 x 0 1 时 g x 0 此时f x 0 函数f x 单调递增 方法总结 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况 大多数情况下 这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论 在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论 在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论 1 求f x 的单调增区间 2 若f x 在定义域R内单调递增 求a的取值范围 解 1 f x ex ax 1 f x ex a 令f x 0 得ex a 当a 0时 有f x 0在R上恒成立 当a 0时 有x lna 综上 当a 0时 f x 的单调增区间为 当a 0时 f x 的单调增区间为 lna 训练1 已知f x ex ax 1 2 f x ex ax 1 f x ex a f x 在R上单调递增 f x ex a 0恒成立 即a ex x R恒成立 x R时 ex 0 a 0 当a 0时 f x ex f x 0在R上恒成立 故当a 0时 f x 在定义域R内单调递增 考向二利用导数解决函数的极值问题 由表得函数f x 的单调减区间为 0 1 及 1 e 单调增区间为 e 所以存在极小值为f e e 无极大值 方法总结 1 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯 可使问题直观且有条理 减少失分的可能 2 导函数的零点并不一定就是函数的极值点 所以在求出导函数的零点后一定注意分析这个零点是不是函数的极值点 2 若f x 为R上的单调函数 则f x 在R上不变号 结合 与条件a 0 知ax2 2ax 1 0在R上恒成立 因此 4a2 4a 4a a 1 0 a 0 解得0 a 1 所以a的取值范围为 0 1 例3 2011 江苏 已知a b是实数 函数f x x3 ax g x x2 bx f x 和g x 分别是f x 和g x 的导函数 若f x g x 0在区间I上恒成立 则称f x 和g x 在区间I上单调性一致 考向三利用导数求参数的取值范围问题 1 设a 0 若f x 和g x 在区间 1 上单调性一致 求b的取值范围 2 设a 0且a b 若f x 和g x 在以a b为端点的开区间上单调性一致 求 a b 的最大值 解f x 3x2 a g x 2x b 1 由题意知f x g x 0在 1 上恒成立 因为a 0 故3x2 a 0 进而2x b 0 即b 2x在 1 上恒成立 所以b 2 因此b的取值范围是 2 方法总结 若f x 在区间D上单调增 减 则对任意的x D 恒有f x 0 f x 0 由此可求出含参数的取值范围 另外 还可由a f x a f x 恒成立 a f x min a f x max 由f x 单调性求出f x 的最大 小 值 从而可确定参数a的取值范围 由于函数的单调性可以用来求最值 解不等式和求解恒成立问题 所以要灵活应用单调性解题 要善于将有关问题转化成单调性问题求解 比如分离参数 构造函数等 规范解答4函数的单调性及其应用 当x 0 1 时 g x 0 故 0 1 是g x 的单调减区间 当x 1 时 g x 0 故 1 是g x 的单调增区间 因此 x 1是g x 的唯一极值点 且为极小值点 从而是最小值点 所以最小值为g 1 1 4分 点评 本题主要考查导数的应用 即如何利用导数求函数的单调性和最值 1 2012 重庆卷改编 设函数f x 在R上可导 其导函数为f x 且函数y 1 x f x 的图象如图所示 则f x 的极值点分别为 高考经典题组训练 解析当x3 则f x 0 当 22时 1 x0 所以函数有极小值f 2 答案2或 2 又由f x ex 1 x知 当x 0 时 f x 0 所以f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 1 当a 1 b 2时 求曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 2 设x1 x2是f x 的两个极值点 x3是f x 的一个零点 且x3 x1 x3 x2 证明 存在实数x4 使得x1 x2 x3 x4按某种顺序排列后构成等差数列 并求x4 解 1 当a 1 b 2时 因为f x x 1 3x