高中数学 223对数函数的图象和性质课件 湘教版必修1.ppt

课标要求 2 2 3对数函数的图象和性质 掌握对数函数的概念 图象和性质 能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质 把握指数函数与对数函数关系的实质 了解反函数的概念 会求一些简单函数的反函数 了解互为反函数图象间的关系 1 2 3 两个函数描述的对应关系是一回事 自变量和函数值换了一个位置 我们说它们两个互为 inversefunction 为了保持用 表示自变量的习惯 自变量和函数值换位置的时候就把x和y也对调一下 要找寻函数y f x 的反函数 可以先把x和y 写成x f y 再试图把y解出来表成y g x 的形式 如果这种形式是唯一确定的 就得到了f x 的反函数 既然y g x 是从x f y 解出来的 必有f g x 这个等式也可以作为反函数的定义 自学导引 1 反函数 x 换位 g x x 若f x 和g x 互为反函数 则它们的图象关于直线 对称 两者中一个递增另一个也 一个递减另一个也 把由对数运算确定的函数 x 0 a 0 a 1 叫作 以a为底的 对数函数 logarithmicfunction 它是 以a为底的 指数函数 的反函数 当然 指数函数y ax也是对数函数 的反函数 这时 指数函数y ax的定义域r成了对数函数y logax的 而指数函数y ax的值域 却成了对数函数y logax的 因为对数函数是指数函数的反函数 它们的图象关于直线 轴对称 所以将指数函数的图象以直线 为对称轴作反射 就得到对数函数图象 由指数函数的增减性 也可以得到对数函数的 2 3 4 y x 递增 递减 y logax y ax y logax 值域 定义域 y x y x 增减性 0 1 0 递增 递减 logab的值在什么情况下是正数 在什么情况下是负数 提示当a和b都大于1或a和b都在 0 1 之间时 logab的值是正数 当a和b的值有一个大于1另一个在 0 1 之间时 logab的值是负数 自主探究 1 在对数函数y logax a 0 且a 1 中 底数a对其图象的影响是怎样的 提示无论a取何值 对数函数y logax a 0 且a 1 的图象均过点 1 0 且由于定义域的限制 函数图象穿过点 1 0 落在第一 四象限 随着a的逐渐增大 y logax a 0 且a 1 的图象绕 1 0 点在第一象限由左向右顺时针排列 也就是当a 1时 随着a的值增大 函数的图象越靠近x轴 当0 a 1时 a的值越小 函数的图象越靠近x轴 2 答案d 预习测评 答案d 已知函数y loga x 1 a 0 且a 1 的值域为r 则x的取值范围是 解析由已知得x 1 0 x 1 答案 1 答案 1 3 求单调区间解决与对数函数有关的函数的增减性问题的关键 一是看底数是否大于1 当底数未明确给出时 则应对底数a是否大于1进行讨论 二是运用复合法来判断其增减性 三要注意其定义域 比较大小比较对数的大小 一般遵循以下几条原则 1 如果两对数的底数相同 则由对数函数的增减性 底数a 1为增 0 a 1为减 比较 名师点睛 1 2 2 如果两对数的底数不同而真数相同 如y loga1x与y loga2x的比较 a1 0 a1 1 a2 0 a2 1 当a1 a2 1时 曲线y1比y2的图象 在第一象限内 上升得慢 即当x 1时 y1y2 而在第一象限内 图象越靠近x轴 对数函数的底数越大 当01时 y1y2 即在第四象限内 图象越靠近x轴的对数函数的底数越小 3 如果两对数的底数和真数均不相同 通常引入中间变量进行比较 题型一定义域问题 例1 典例剖析 点评 1 求与对数函数有关的定义域问题 首先要考虑 真数大于零 底数大于零且不等于1 若分母中含有x 还要考虑不能使分母为零 2 函数有意义的条件 可能有许多个 对每一个条件都不能丢掉 然后求解 对于像f x2 2 的复合函数 必须先求得函数f x 这时才能求f x 的定义域 以上所谈的两点 都是易犯错误的地方 解题时请予以特别注意 变式1 比较下列各组数中两个值的大小 1 log67与log76 2 log32与log20 8 3 log23与log0 50 2 4 log57与log67 解 1 因为log67 1 log76log76 2 因为log32 0 log20 8log20 8 题型二比较大小问题 例2 点评 1 应充分利用图象确定所要比较的值的大致范围 2 当不能直接比较时 可考虑借助适当的中介值 如0 1等 作为 桥梁 进行间接比较 3 当底数有某种联系或真数相同时 可考虑利用对数的运算法则或换底公式将其化为同底 4 当有三个或三个以上的数要比较大小时 可先比较其中的两个 然后再与其他的数比较 比较下列各组中两个值的大小 1 log0 52 7 log0 52 8 2 log34 log65 3 loga logae a 0且a 1 解 1 0log0 52 8 2 y log3x在 0 上是递增函数 log34 log33 1 y log6x在 0 上是递增函数 log65log65 变式2 3 当a 1时 y logax在 0 上是递增函数 e loga logae 当0e loga 1时 loga logae 当0 a 1时 loga logae 已知y lgx的图象 作出y lgx 和y lg x 的图象 并解答以下问题 1 对函数y lg x 的说法正确的是 a 是偶函数 在区间 0 上单调递增b 是偶函数 在区间 0 上单调递减c 是奇函数 在区间 0 上单调递增d 是奇函数 在区间 0 上单调递减 2 设函数y lgx 若0f b 证明 ab 1 题型三图象问题 例3 解分别作出y lg x 和y lgx 的图象如图 1 2 所示 1 从图象可以看出 选项b正确 2 若0f b abf b lga lgb lga lgbf b 相矛盾 综上可知ab 1 点评在研究函数的有关问题时 分析函数图象是不可缺少的一个思路 大家要提高运用数形结合思想解题的意识 变式3 解析 答案d 题型四反函数的概念 例4 点评新课程标准对反函数的概念要求降低了 仅要求知道指数函数是对数函数的反函数 不要求研究的太深 已知函数y ax与y logax a 0且a 1 下列说法不正确的是 a 两者的图象关于直线y x对称b 前者的定义域 值域分别是后者的值域 定义域c 两函数在各自的定义域内的增减性相同d y ax的图象经过平移可得到y logax的图象答案d 变式4 函数y logax a 0 且a 1 在 2 4 上的最大值与最小值的差是1 求a的值 误区警示因忽略底数对对数函数的单调性影响而出错 例5 错因分析此题错误是把y logax在 2 4 上直接变成了增函数 但底数a不定 所以函数的单调性也不定 应分类讨论才行 纠错心得在解决底数中包含字母的对数函数问题时 要注意对底数进行分类讨论 一般考虑a 1与00 且a 1 的单调性的影响就会出现漏解或错解 在对数函数y logax a 0 且a 1 中 底数a对其图象的影响无论a取何值 对数函数y logax a 0 且a 1 的图象均过点 1 0 且由于定义域的限制 函数图象穿过点 1 0 落在第一 四象限 随着a的逐渐增大 y logax a 0 且a 1 的图象绕 1 0 点在第一象限由左向右顺时针排列 且当01时 函数单调递增 比较两个对数值的大小 1 比较同底数的两个对数值的大小 例如 比较logaf x 与logag x 的大小 其中a 0 且a 1 课堂总结 1 2 若a 1 f x 0 g x 0 则logaf x logag x f x g x logaf x 0 g x 0 则logaf x logag x f x g x 2 比较同真数的两个对数值的大小 例如比较logaf x 与logbf x 的大小 其中a b 0 a 1 b 1 若a b 1 如图 当f x 1时 logbf x logaf x 当0logbf x 若1 a b 0 当f x 1时 logbf x logaf x 当1 f x 0时 logaf x logbf x 若a 1 b 0 当f x 1时 则logaf x 0 logbf x 当0 f x 1时 则logaf x 0 logbf x 指