高中数学 3.3.1,3.3.2随机数的含义与应用课件 新人教B版必修2.ppt

3 3 1几何概型3 3 2随机数的含义与应用 3 3随机数的含义与应用 课标要求 1 了解几何概型与古典概型的区别 2 理解几何概型的定义及其特点 3 会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率 4 了解随机数的意义 核心扫描 1 几何概型的特点及概念 重点 2 应用几何概型的概率公式求概率 难点 3 应用几何概型概率公式时需注意基本事件的形成过程 易错点 几何概型 1 几何概型的定义事件a理解为区域 的某一子区域a a的概率只与子区域a的几何度量 长度 面积或体积 成正比 而与a的位置和形状无关 满足以上条件的试验称为几何概型 其中 表示区域 的几何度量 a表示子区域a的几何度量 自学导引 1 2 几何概型的特点 无限性 试验中所有可能出现的结果 基本事件 有无限多个 等可能性 每个基本事件出现的可能性相等 3 古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的 但古典概型要求基本事件有有限个 几何概型要求基本事件有无限多个 随机数随机数就是在一定范围内随机产生的数 并且得到这个范围内的每一个数的机会一样 现在大部分计算器都能产生0 1之间的均匀随机数 2 随机数的产生 1 用函数型计算器产生随机数的方法 2 用计算机软件来产生随机数 scilab中用rand 函数来产生0 1的均匀随机数 每调用一次rand 函数 就产生一个随机数 3 如果要产生a b之间的随机数 可以使用变换rand b a a得到 3 1 几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗 提示几何概型的概率只与它的长度 面积或体积 有关 而与构成事件的区域形状无关 2 概率为0的事件一定是不可能事件吗 概率为1的事件也一定是必然事件吗 提示如果随机事件所在区域是一个单点 因单点的长度 面积 体积均为0 则它出现的概率为0 即p 0 但它不是不可能事件 如果随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点 则它出现的概率为1 即p 1 但它不是必然事件 几何概型概率的适用情况和计算步骤 1 适用情况 几何概型用来计算事件发生的概率适用于有无限多个试验结果的情况 每种结果的出现也要求必须是等可能的 而且事件发生在一个有明确范围的区域中 其概率与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 2 计算步骤 判断是否是几何概率 尤其是判断等可能性 比古典概型更难于判断 名师点睛 1 计算基本事件空间与事件a所含的基本事件对应的区域的几何度量 长度 面积或体积 这是计算的难点 利用概率公式计算 特别提示在使用几何概型中 事件a的概率计算公式p a 时 公式中分子和分母涉及的几何度量一定要对等 即若一个是长度 则另一个也是长度 一个若是面积 则另一个也必然是面积 同样 一个若是体积 另一个也必然是体积 几何概型的处理方法有关几何概型的计算的首要任务是计算事件a包含的基本事件对应的区域的长度 角度 面积或体积 而这往往很困难 这是本节难点之一 实际上本节的重点不在于计算 而在于如何利用几何概型 把问题转化为各种几何概型问题 为此可以参考以下办法 适当选择观察角度 原则是基本事件无限性 等可能性 把基本事件转化为与之对应的区域 把随机事件a转化为与之对应的区域 利用概率公式给出计算 如果事件a的对应区域不好处理 可以用对立事件概率公式逆向思考 2 题型一与长度有关的几何概型 如图a b两盏路灯之间的距离是30米 由于光线较暗 想在其间再随意安装两盏路灯c d 问a与c b与d之间的距离都不小于10米的概率是多少 思路探索 在a b之间每一位置安装路灯c d都是一个基本事件 基本事件有无限多个 且每一个基本事件的发生都是等可能的 因此事件发生的概率只与长度有关 符合几何概型条件 例1 规律方法将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点 该区域中每一点被取到的机会都一样 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点 这样的概率模型就可以用几何概型来求解 取一根长度为3m的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么剪得的两段长度都不小于1m的概率为多大 变式1 一只海豚在水池中自由游弋 水池为长30m 宽20m的长方形 求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率 思路探索 海豚在水池中自由游弋 其位置有无限个 且在每个位置是等可能的 故这是几何概型问题 海豚游弋区域的面积与水池面积之比就是所求的概率 题型二与面积有关的几何概型 例2 解如图所示 区域 是长30m 宽20m的长方形 图中阴影部分表示事件a 海豚嘴尖离岸边不超过2m 问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率 规律方法此类几何概型题 关键是要构造出随机事件对应的几何图形 利用图形的几何特征找出两个 面积 套用几何概型公式 从而求得随机事件的概率 在一个大型商场的门口 有一种游戏是向一个画满边长为5cm的均匀方格的大桌子上投直径为2cm的硬币 如果硬币完全落入某个方格中 则掷硬币者赢得一瓶洗发水 请问随机掷一枚硬币正好完全落入某个格子的概率有多大 变式2 在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子 从中随机取出10毫升 取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少 思路探索 病种子在这1升种子中的分布可以看作是随机的 取得的10毫升种子可视作构成事件的区域 1升种子可视作试验的所有结果构成的区域 可用 体积比 公式计算出其概率 题型三与体积有关的几何概型 例3 规律方法分清题中的条件 提炼出几何体的形状 并找出总体积是多少 以及所求的事件占有的几何体是什么几何体并计算出体积 答案b 变式3 如图所示 向边长为2的正方形内投飞镖 求飞镖落在中央边长为1的正方形内的概率 审题指导考查用随机模拟的方法求解 由于飞镖落在大正方形内的位置是随机的 有无限个 并且是等可能的 符合几何概型概率问题 题型四用随机模拟法估计几何概型 例4 规范解答 方法一用计算机随机模拟这个试验 步骤如下 1 利用计算器或计算机产生两组 0 1 上的均匀随机数a1 rand b1 rand 2分 题后反思 根据 无限性 与 等可能性 判定为几何概型 用模拟方法得到的事件a的概率与用几何概型计算得到的事件a的概率极其接近 说明模拟方法是一种非常有效而且广泛使用的方法 尤其是现实的试验难以实施或不可能实施的情况下 模拟方法可以给我们提供解决问题的方案 在长为12cm的线段ab上任取一点m 并以线段am为边作正方形 用随机模拟法估算该正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率 解因为正方形的面积只与边长有关 所以本题可转化为在线段ab上任取一点m使线段am的长度介于6到9之间 设事件a 正方形的面积介于36cm2与81cm2之间 则 1 利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数 a1 rand 2 经过伸缩变换 a a1 12 3 统计出试验总次数n和 6 9 内的随机数个数n1 即满足6 a 9的个数 变式4 方法技巧数形结合思想数形结合的思想的实质就是把抽象的数学语言 数量关系和直观的图形结合起来 包含 以形助数 和 以数辅形 两个方面 在本节中把几何概型问题利用坐标系转化成图形问题 或符合条件的点集问题 去解决 甲 乙两人约定在6时到7时之间在某处会面 并约定先到者应等候另一个人一刻钟 过时即可离去 求两人能会面的概率 思路分析甲 乙两人中每人到达会面地点的时刻都是6时到7时之间的任一时刻 如果在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间 y轴表示乙到达约会地点的时间 用0分到60分表示6时到7时的时间段 则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标 x y 就表示甲乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间 而能会面的时间由 x y 15所对应的图中阴影部分表示 由于每人到达的时间都是随机的 所以正方形内每个点都是等