（微电子学与固体电子学专业论文）子波在电路分析中的应用.pdf

摘要 随着集成电路设计和工艺技术的飞速发展， 电路芯片的集成度和工作频率不 断提高， 这对电路的分析和验证方法提出了新的挑战。为了解决这些问题， 子波 被引入到电路分析领域， 并在许多方面取得了一些初步的应用。 本文的工作就集 中于研究子波在线性电路的频域模拟和模拟电路的行为级建模两个方面的应用。 在线性电路的频域模拟方面， 本文提出了一种基于g mr e s的频域子波分析 方法f f wc m- g 。 我们将g m r e s 用于频域子波方法中的线性方程求解， 而且针 对子波配置方法的特点， 设计了g m r e s 方法初值选取的策略， 并选取了合适的 预条件矩阵。 f f wc m - g方法可以充分利用电 路系统矩阵的 稀疏特性， 具有接近 线性的时间复杂度，非常适合于大规模电路的快速模拟。 在基于子波分析的模拟电路行为级建模方面， 我们提出了一种新的自动压扩 技术， 可以根据电路模块输入输出关系的奇异性自 动生成压扩函数。 与己有方法 相比， 采用自 动压扩技术可以有效的控制模型误差并减少采用的基函数的个数， 从而可以达到更好的建模效果。 更为重要的是， 该方法具有通用性， 而不仅仅局 限于某些特定电路模块， 这使得采用子波方法自 动对模拟电路模块进行行为级建 模成为可能。 关键词:电路模拟，子波分析，频域模拟，行为级建模 一 i 一 ab s t r a c t wi t h t h e r e m a r k a b l e e v o l u t i o n o f v l s i d e s i g n a n d f a b r i c a t i o n t e c h n o l o g i e s , t h e i n t e g r a t i o n l e v e l a n d s ig n a l f r e q u e n c y o f i c c h i p s a r e c o n t i n u o u s l y i n c r e a s i n g , w h i c h p o s e g r e a t c h a l l e n g e s t o t o d a y s c i r c u i t a n a l y s i s a n d v e r i f i c a t i o n t o o ls . t o a d d re s s t h e s e i s s u e s , w a v e l e t a n a l y s i s w a s i n t r o d u c e d t o t h e f i e l d o f c i r c u i t s i m u l a t i o n , a n d h a s b e e n a p p l i e d t o m a n y p r a c t i c a l p r o b l e m s . t h i s t h e s i s w i l l f o c u s o n t w o a r e a s a m o n g t h e a p p l i c a t i o n s o f w a v e l e t i n c ir c u i t a n a l y s i s , n a m e l y , f r e q u e n c y d o m a i n s i m u l a t i o n o f l i n e a r c i r c u i t s , a n d b e h a v i o r a l m o d e l i n g o f a n a l o g c i r c u i t s . a n o v e l m e t h o d , f f c m- qi s p r o p o s e d f o r fr e q u e n c y d o m a i n s im u l a t io n o f l in e a r c ir c u i t s . i n t h i s m e t h o d , g mr e s t e c h n i q u e i s i n t e g r a t e d a s t h e i n t e rna l s o l v e r o f t h e f r e q u e n c y d o m a i n w a v e l e t a n a l y s i s . b y c o n s i d e r in g t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f w a v e l e t c o l l o c a t i o n m e t h o d , t h e t h e s i s p r o p o s e s a n i n i t ia l v a l u e p i c k in g s c h e m e a n d c h o o s e s a p r e c o n d i t i o n e r m a t r i x f o r g mr e s , w h i c h c a n f u rt h e r e x p e d i t e t h e s i m u l a t i o n p r o c e s s . b y f u l ly u t i l i z i n g t h e s p a r s e p r o p e rt y o f t h e s y s t e m m a t r i c e s , f f wc m- g c a n a c h i e v e a n e a r ly l i n e a r c o m p l e x i t y , w h i c h i s q u i t e p r e f e r a b l e f o r t h e a n a l y s i s o f l a r g e s c a l e c i r c u i t s . a s t o t h e a n a l o g b e h a v i o r a l m o d e l i n g b a s e d o n w a v e l e t a n a l y s i s , a n o v e l a u t o - c o m p a n d i n g t e c h n i q u e i s p r o p o s e d , w h i c h c a n a u t o m a t i c a l l y c o n s t r u c t t h e c o m p a n d i n g f u n c t i o n a c c o r d i n g t o t h e s in g u l a r i t i e s o f t h e i n p u t - o u t p u t r e l a t i o n s h i p o f t h e c i r c u i t b l o c k . c o m p a r e d w i t h e x i s t i n g a p p r o a c h e s , a u t o - c o m p a n d i n g c a n h e l p in c o n t r o l l i n g m o d e l i n g e r r o r a n d r e d u c i n g t h e n u m b e r o f b a s i s f u n c t io n s e m p l o y e d . mo r e i m p o rt a n t ly , t h e p r o p o s e d t e c h n i q u e i s a g e n e r a l p u r p o s e o n e , r a t h e r t h a n f o r s o m e s p e c i f i c t y p e o f c i r c u i t b l o c k s o n ly , w h i c h m a y e n a b l e t h e a u t o m a t i c m o d e l i n g o f a n a lo g c i r c u it s b y w a v e l e t a n a l y s i s . k e y w o r d s : c i r c u i t s i m u l a t i o n , w a v e l e t a n a l y s i s , f r e q u e n c y d o m a i n s i m u l a t io n b e h a v i o r a l mo d e l i n g u一 第一章绪论 随着高速深亚微米v l s i 技术的不断发展，电路模拟工具已经成为集成电路 设计软件中一个不可缺少的重要部分。 为了解决集成电 路工艺和设计不断发展给 模拟技术带来的一系列巨大挑战， 子波分析被引入到电路分析领域并取得了一些 初步成果， 本文的目的就在于研究子波在其中一些具体问题中的应用。 这一章中， 我们将介绍集成电路发展现状及其给电路模拟技术带来的挑战， 并回顾子波理论 的发展和在电路分析领域的应用， 最后介绍本文的主要创新工作，以及整个论文 的组织结构。 1 . 1集成电路的发展现状 1 9 4 7 年晶体管的发明和 1 9 5 9 年平面工艺集成电 路的发明， 被公认为可以 进 入二十世纪最具影响力的发明之列。 经过近半个世纪的不断发展， 集成电路已 成 为目 前信息产业的基础载体， 以 此为核心的电子信息产业已经成为全世界产业结 构中 最为重要 和发展最快的组 成部分 之一 i t r s 0 3 。 特别是最 近十年来， 随 着人 们对信息技术的要求不断提高， 现代通信、 计算机和互连网的飞速发展与电子产 业的发展相互促进，使得集成电路技术得到了飞速的发展。 根据国际微电子研究权威机构 i t r s于2 0 0 3年做出的预测，集成电路的发 展 在近期 将主要集中在以 下六个方面【 i t r s 0 3 : 口集成度: 每片集成电路上所能集成的晶体管数目，已经从上世纪六十年 代初的几个或十几个，发展到现在超过一亿个 ( i n t e l p e n t i u m m do t h a n ) . 口单位功能成本: 随着集成电路制造工艺和设计水平的不断进步， 实现单 位功能所需要的成本 ( n r e分摊成本和边际成本总和) 也在不断下降。 口时钟频率: 集成电路工作频率基本上也是按指数速度提高的， 例如微处 理器的时钟频率，从二十年前的几 mh z已经提高到现在超过 3 g h z ( i n t e l p e n t i u m 4 e p r e s c o t t ) . 第一章绪论 口 功耗: 近年来移动设备的市场需求飞速增长， 而电 池技术一直未取得突 破性进展， 于是对于降低集成电路功耗方面的研究已成为目 前设计和制 造技术发展的重点之一。 口体积: 从集成电路诞生以来， 体积就作为其主要优势之一， 但近年来移 动设各不断微型化的发展趋势使得对这一方面的要求日 益明显。 因此从 2 0 0 1 年开始，i t r s 将体积列为主要发展趋势之一。 口 功能: 对新的功能性产品的研究和开发一直在不断进行， 例如高速度非 挥发性存储器等。 同时集成电路工艺和设计技术的不断进步使得在单片 集 成电 路 上 进行 系 统集 成 成为 可能， 即 所谓s o c ( s y s t e m o n c h ip ， 片 上系统) 。 1 . 2集成电路的计算机模拟 随着集成电路技术的飞速发展， 计算机辅助设计软件己经成为集成电路设计 过程中必不可少的工具。 作为其中最为重要的部分之一， 电路的模拟和验证工具， 也面临着不断的挑战。 电 路 模拟的 最主 要的 作用是 保证设计的 正 确性 g i e i 0 0 , c h u a 7 5 。 一方 面， 目 前集成电 路的n r e ( n o n - r e c u r r i n g e n g i n e e r i n g ) 成本非常高， 例如0 . 1 8 p u n 工艺 下仅一套掩模版 ( m a s k )的价格就达到5 0 万美圆左右，因而应尽量避免通过多 次流片来验证系统功能和性能; 另一方面， 按照市场要求， 集成电路的典型设计 周期一般应在6 个月到9 个月之间， 如果因为重新设计等原因造成设计时间过长， 产品 将丧失 竞争力【 i t r s 0 3 。 将设 计错误带 入制 造阶段而引 起的 损失 将是巨 大的 甚至是无法挽回的，因此必须采用适当的电路模拟工具对电路设计进行验证。 随着集成电路集成度的不断提高和功能的不断复杂化， 电路系统的规模越来 越大， 直接在电路层面上对整个系统进行设计和验证己 经不可能实现( d u n l 9 7 o 目 前广泛采用的是自 顶向下的设计流程， 在图1 . 1 中给出的是这一流程的一个简 单示意 g ie 0 0 。可以 看出 ， 设计流 程的 每 个步 骤都要进行相应的 验证， 这是 为 了能在设计初期尽早地发现错误， 避免重新设计带来的损失。 不同层次的模拟具 有不同的方法和特点， 简单讲是在模拟速度和获得细节之间进行不同的折中: 越 第一 章绪 论 靠近项层的模拟方法， 得到的细节越少， 但模拟速度越快。 对于模拟层次的划分 ( 同时也是设计流程的层次划分) ，一般没有明确的标准，而且各个层次之间也 没有严格的界限， 在文献 g i e 1 0 0 中 将模拟分为以 下几个主要层次: 口功能级 ( f u n c t i o n l e v e l ) :基于模块行为的数学表示或功能描述，在系 统信号流图级别进行模拟。 口行为级 ( b e h a v i o r a l l e v e l ) :将模块行为以微分方程或非线性传输函数 表示而进行的模拟。 口单元级 ( m a r c o l e v e l ) :基于基本电路元件和线性或非线性等效源进行 的模拟。 口电 路级 (c i r c u i t l e v e l ) : 基于基本电 路元件 ( 电 容、电阻、电 感、晶 体管等) 进行的模拟。 口 后 版图 级 ( p o s t - l a y o u t l e v e l ) : 主要 指版图参 数提取后进行的 仿真， 许 多设计中这一级别的模拟是通过将提取得到的参数或模型代回上面级 别的模拟器而完成的。 s ys t e m m0 比c o e c rem 图1 . 1 设计流程示意图 g i e 1 0 0 集成电路技术的发展同时也给电路模拟技术带来了巨大的挑战， 这些挑战主 第一章绪论 要表 现在以 下一些 方面 d u n l 9 7 , g e 1 1 0 0 , i t r s 0 3 , s a n g 0 3 : a 信号行为复杂: 芯片工作频率的提高使得模拟工具需要分析的 信号更加 复杂而且变化更加快速，这会给算法收敛带来一定的困难。另一方面， 高频情况下， 器件和连线的一些高频效应将会对电 路行为产生不可忽略 的影响，因而必须在模拟中予以考虑。 口电路规模巨大: 市场驱动力要求开发周期必须控制在适当的时间长度之 内， 因而模拟t具必须具有较高的效率。 而随着集成度的不断提高， 模 拟工具必须处理越来越大规模的电路， 因此模拟方法的研究必须适应大 规模系统快速求解的需要。 口高层次抽象: 为了提高分析效率， 缩短设计周期， 必须开发高层次的模 拟工具， 而如何获得电 路或模块的高层次抽象描述， 在保持尽可能多的 细节信息的同时尽可能提高模拟速度， 一直是模拟工具面临的主要难题 之一。 1 .3子波分析及其在电路模拟中的应用 对子波 ( wa v e l e t ， 或称 “ 小波” )的早期研究可以 追溯到1 9 1 0 年h a a r 提出 的子 波规范正 交基， 以 及1 9 3 6 年l i t t l e w o o d 和p a l e y 对于多 尺 度分析的 初步 研究， 虽然当时并没有出 现“ 子波” 和“ 多 尺度分析” 这些名词。 此后几十年中， 数学 界对于f o u r i e r 变换、奇异算子积分理论、正交分解理论特别是s o b o l e v空间正 交基等方面的大量研究，为子波分析奠定了基础。1 9 8 1年，法国地质物理学家 m o r l e t 在分析地质数据时，为了解决加窗的f o u r ie r 变换不具有形状不变性的问 题， 基于群论首先提出了“ 子波” 和“ 子波分析” 的概念 c h u i 9 2 1 o 1 9 8 5 年， 法 国 数学家 m e y e r 首次 提出 了 通 过光滑函 数的二 进伸缩和平移而构成的光 滑子 波 正交基， 并在次年与其学生l e m a r i e 共同 提出了多尺度分析的概念。 此后， m e y e r 对于子波分析作了长期而深入的 研究，并作出了重要的贡献，他于 1 9 8 9 年完成 的 子波与 算子一书， 被普遍认为是子波理论作为一个学科而诞生的重要标志 之 一 c h u i 9 2 , u 9 7 1 - 除了m e y e r 之 外， 数学 家d a u b e c h i e s 于1 9 8 8 年 提出 的 以 其 名字命名的具有紧支性的光滑正交子波基， 和信号学家ma l l a t 提出的多分辨率分 析的概念以及快速子波算法f wt 等，都被认为是子波理论建立过程中最为重要 第一章绪论 的 成果之 一 c h u i 9 2 , b u r r 9 8 o 子波分析与f o u r i e : 分析具有很密切的联系。从本质上讲，子波是表示数据 的一种基本单位， 子波分析就是将数据集合用子波集合的形式替代， 利用子波的 一些特性而更有效地表示数据和更快地计算数据。 子波的最重要的特征之一就是 其紧支性 ( c o m p a c t s u p p o r t ，或称局域性， l o c a l s u p p o r t ) ，基于这一 特点构造出 的自 适应方法和快速子波变换算法， 使得子波在许多方面得到了广泛的应用。 这 是因为多数的数据集合 ( 例如声音、图象等) 在时间 ( 空间)上和频率上都具有 很强的相关性，而根据多分辨率分析的理论和子波在时间一频率上的局域性特 点， 子波分析可以通过少量子波而快速获得数据集合中的一些本质特征， 同时又 能够通过自 适应地增加子波而满足不同的要求。由于子波的这些特点，从2 0 世 纪 8 0 年代以来，子波己经在图象处理，语音识别、地震勘测等方面取得了广泛 的应用。 但是将子波引入到方程求解和电 路分析领域， 只有不到1 0 年的历史。1 9 9 6 年， 美国n o r th c a r o l i n a 大学数学系的w e i c a i 等人，构造了一种定义在有限区 间上的具有边界函数的子波基， 用于常微分方程和偏微分方程的求解 c a i 9 6 o 1 9 9 9 年， d i a n z h o u 和w e i c a i 合作，将子波首次引入到电路分析领域， 提出了 f wc m方法， 用于线性电 路和非线性电 路的时域快速模拟 z h o u 9 9 a , z h o u 9 9 b o 近年来， 一些相关研究陆续开展起来， 子波被逐步应用到电路分析的多 个领域中。 在线性电路模拟方面， 复旦大学的曾漩教授与黄最等人开展了将子波用于频 域模 拟的 研究， 并取 得了 一些成果 z e n g 0 2 , h u a n 0 2 a , h u a n 0 2 b 。 他们还 研究了时 域f w c m中的 子波系 数方程求 解问 题， 针对这一s y l v e s t e r 方程提出了 相 应的 快 速算法【 h u a n 0 2 b , z e n g o 3 。 此外， 针对一些特定结构的线性电路， 一些研究陆续 开展起来，例如李听等人在 2 0 0 1 年提出的用于树状时钟分布电路的快速模拟方 法【 l i 0 1 a , l i 0 2 a 。 在 非线性电 路模拟方面， 参考传统的 谐波平衡 法， 李听 等人 提 出 了 于 波平衡 法， 用于非 线性电 路的 稳态 模拟 l i 0 1 a , l i 0 1 b , l i 0 2 b 。 他们同 时 还 开展了 对非线性电路瞬态模拟的研究，在经典时域f wc m方法中加入了非线性 压 扩算 法， 用于控制 模拟误差分 布 l i 0 1 a , l i 0 1 c 。 除了 上 述的电 路级 模拟方面的 应用以外， 子波还被应用于电路的行为级模拟中。 李听等人首先将子波逼近方法 应用于模拟电路行为级建模和模拟， 并采用非线性压扩方法来改善误差分布和提 第一章绪论 高 模型 精度 l i 0 1 a , l i 0 1 d , l i 0 3 。 此后， 王伟和陶 俊等人 针对压扩函 数的 设计陆 续开展了一些研究，提出了一些自 动构造压扩函数的方法 w a n g 0 2 a , w a n g 0 2 b , t a o 0 3 . 这些研究成果表明， 子波己经在电路分析的一些领域取得了初步的应用。 利 用子波的多分辨率分析和自 适应方法， 可以用少量子波而快速获得信号的主要特 征， 同时又能进一步通过自 适应的增加子波满足不同的精度要求， 这使得子波特 别适于处理快速变化的复杂信号。 另一方面， 子波的局域性使得其系数矩阵一般 具有稀疏带状 ( 或块状) 的特点， 而利用多分辨率分析可以可逐一独立求解每个 子波子空间， 这些数值特性都有利于将子波用于大规模电路的分析。 随着电路工 作频率的不断提高， 电路规模的不断增大， 子波在电路分析领域将具有更广阔的 应用前景。 1 . 4本文的主要工作 由于能力所限， 本文不可能覆盖电路分析的各个层次和方面， 本文的工作主 要集中于子波在线性电路的频域模拟和模拟电路的行为级模拟两方面的应用上。 通过对已有研究工作进行分析， 针对其缺陷和不足之处， 进行改进或提出新的方 法， 从而促进子波方法在电路分析领域的应用和进一步实用化。 本文的主要工作和创新点如下: . 线性电路的频域模拟方面， 将g mr e s 方法应用到传统的频域子波分析方法 中， 提出了新的频域子波方法f f wc m- g ， 目标是能有效地处理大规模电路。 主要的创新点如下: 口 将g m r e s 方法用于频域子波方法中的线性方程求解， 充分利用了方程 系数矩阵的稀疏特性，使得整个 f f wc m- g方法具有近似线性的时间 复杂度，能更有效地处理大规模电路。 口针对子 波配置方法的特点， 设计了g mr e s 方法初值选取的策略， 有效 减少了g mr e s 法的迭代次数，从而加快了求解速度。 口 针对电路方程的稀疏特性， 选取了 合适的 预条件策略，以加速g m r e s 法的求解速度。 第一章绪论 今 针对子波在模拟电路行为级建模中的应用， 提出了根据电路模块的输入输出 关系的特性而自 动建立压扩函数的方法， 目 标是改善对复杂输入输出关系模 块的建模效果。主要的创新点如下: 口回顾了现有的行为级建模子波方法中的压扩函数设计及其不足之处， 通 过分析行为级建模方法和子波数值遭近方法的特点， 给出了压扩函数的 设计策略。 口 提出了一种根据电路模块的输入输出关系特性而自 动建立压扩函数的 通用方法。 采用自 动建立的压扩函数进行压扩， 可有效地降低模型误差， 并减少建模采用的子波基函数的个数。 口 研究了压扩函数的存储， 给出了几种可行的存储方法， 使得在对压扩结 果影响不大的情况下，可大幅度减少存储压扩函数所需要的空间。 口 将上述工作从一维情况推广到多维情况， 也即将上述方法推广以 应用于 多输入电路模块的自 动建模。 对于其中每个问题， 其具体的研究背景和动机， 以及研究结果的先进性， 将 在本文后面对应章节中详细给出。 1 . 5论文组织结构 本文后面部分的组织如下。 第二章中， 我们将简要介绍子波分析的基本原理 和主要方法， 并介绍本文中将要用到的c a i 子波。 在第三章中， 我们将回顾用于 线性电路模拟的经典时域子波方法和频域子波方法， 并针对其不足之处， 提出基 于g m r e s 法的频域子波方法f f wc m - g 。 在第四 章中， 我们回顾了 子波在行为 级建模和模拟方面的应用， 针对压扩函数生成的问题， 我们分析了压扩函数的设 计原则， 提出了一 种自 动建立压扩函数的方法。 最后在第五章中， 我们对全文的 工作进行总结，并针对可能的进一步工作进行了展望。 第二章子波分析简介 在1 . 3 节中，我们简要介绍了 对子波的研究和子波理论建立的历史。 经过近 一个世纪的发展，子波理论己 经较为成熟，并且在许多领域得到了广泛的应用。 在本章中， 我们将结合在电路分析方面的应用， 简要介绍涉及到的子波分析的理 论和方法。此外，我们还将介绍一组子波基-c a i 子波，这组子波被最早应用 于电 路分析领域中 c a i 9 b , z h o u 9 9 a , z h o u 9 9 b . 2 . 1子波变换 子波变换 ( 或称子波分析、 子波展开) 是指将信号投影到一组代表不同尺度 和 位置的正交基上 c h u i 9 2 , r a n 0 1 。由于实际应用中的多数子波均为二进子波 田 u r r 9 $ ， 我们在本 文中 所有的 分析 如未加专门 说明， 均针对二进子 波而言。 对 于二进子波，正交基的形式为: v j .k (x ) = 2 yr (2 x 一 、 ) ， a c z , 、 。 z (2 .1 ) 这 里r, ( . ) 应 满 足 如 下 条 件 ( 2 .2 ) 和 ( 2 .3 ) . r - 14 1 仙 】 ， c二. ar v th e n y r l , , c o r r e s p o n d in g to y r ; ,k q 一 。 n 认. , 且o .m以 fsrl .下几 e n d e n d f o r s o lv e c , , , 。f o r e a c h y r j , ,， m in。 s e t=(du o s e t j = j 十 i 刃4)习匀形司勿10)11) 1 2 ) u n t i l b 2 = 0 图2 . 1基于系数判断的自 适应策略 另 一 方 面 ， 上 述 过 程 是 从 低 阶 w i 空 间 向 高 阶 进 行 的 ， 而 将 这 一 过 程 反 过 来 从 高 阶向 低阶 进行， 即 为 离 散 子波 变换( d w t , d is c r e t e w a v e le t t r a n s f o r m ) 的 基 本思想。 有关 d w t的具体算法， 这里不再给出， 可参考文献田u r r 9 8 , c h u i 9 2 , r a n 0 1 , 自 适应策略使得子波在许多方面得到了广泛的应用， 这是因为多数的数据集 第二章子波分析简介 合 ( 例如声音、图象等) 在时间 空间) 上和频率上都具有很强的相关性， 而根 据m r a和自 适应方法， 我们可以 通过少量子波而快速获得数据集合中的一些本 质特征， 同时又能够通过自 适应地增加子波来满足不同的要求。 特别是在许多实 际信号分析问题中， 我们所关心的是信号 在局部范围中的特征， 例如图形识别的 边缘检测中关心的是信号突变部分的位置， 地震波记录中关心的反射波的位置和 类型。对这些应用，f o u r i e r 分析一般难以处理，而子波分析的优势就可以 通过 mr a和自 适应方法很好的体现出来。 2 .4多维子波分析 上 面 几 节 中 介 绍 的 子 波 分 析 理 论 都 是 针 对l 2 () 空 间 即 一 维 空 间 的 ， 下 面 我 们 将 介 绍 适 于 多 维 空 间 l 2 恤 0 ) 的 子 波 分 析 理 论 。 我 们 可 以 参 照 前 面 的 方 法 直 接 构 造 l z 恤 ) 上 的 子 波 基 函 数 ( 在 本 节 中 ， 所 有 多 维 函 数 或 多 维 子 空 间 均 加 顶 标 “ ” ” ) ,.k (x ) 一 2 ;r2 0 (2 x - k ) , j e z , k e z (2 .1 3 ) 这 里 、 = x i x 2 ， 二 ， - . 1, 是 多 维 空 间 的 自 变 量 。 但 是 这 种 方 法 比 较 复 杂 ， 一 些 具 体 的算法也还不够成熟， 因此在多维子波分析中， 我们常采用张量积方法构造可分 离的 子波 基函 数 m e y e 9 2 。 在这种情况下，子 波 基函 数 可表示为 o i,k x ) 二 f l vl j, k, (x i) =n 2 j,/2 v (2 二 一 、 ) ， j c z , k “ z ( 2 . 1 4 ) 其 中 j = = d j . ., j j r , k 一 k , , k , , k n r 。 这 实 际 上 等 价 于 在 每 个 维 度 方 向 上 取一个一维子波， 然后相乘。由于在各个维度方向之间是无关的， 我们称之为可 分离，这一特点使得相应的子波分析方法比较简单，子波系数的求解方法与2 1 节中的一维情况下的方法非常类似，这里不再详细给出。 下面我们将就点维情况下的mr a和自 适应方法做简要介绍， 给出的方法可 以很容易地推 到更高维的情况。 类似2 .2 节中的一维m r a ，二维情况下的m r a子空间可以如下构成: 汽= v , e y , ( 2 . 1 5 ) 第二章子波分析简介 小的子空间独立求解， 这些更小的 子空间即 为 式( 2 . 1 6 ) 或( 2 . 1 7 ) 中 的 每个张 量 积，也即图2 .2中的每个小格代表的子空间。但由于上面的原因，在自适应 算 法 中 这 些 子 空 间 必 须 以 一 定 的 顺 序 求 解 ， 对 于 w i 空 间 可 按 照 以 下 的 顺 序 : (v o o w i ) , ( w a ,- , 0 w ; ) . (w ; o v . ) , (w ; 0 w a ) , (w i 0 w ) 、 一 、 帆o w ) , (w i , 或 按 照 另 外 一 种 顺 序 : (w i 0 1r ) . (w j 0 w ) 、 (w i 0 w ) 、 “ (w i . w ,-,) 、 (v . 0 w .) 、 (w o . w , ) 、 (w . (d w j ) . ，、 (w i -. 0 w ) ti (w i 0 61; ) 这 是 为 了 保 证 ， 在 求 解 某 个 子 空 间 (w ;. o w i ) 时 ， 应 首 先 搜 索 所 有 可 能 向 该 空 间 增 加 子 波 的 子 空间 ( 最多为三个) ，找到这些子空间中系数大于给定阐值的子波，然后得 到 (w i o w 1 ) 中 所 有 自 适 应 加 入 的 子 波 ， 求 解 其 系 数 。 以上几节中，我们仅对子波分析的概念和一些基本方法做了一个简单的介 绍。 由于本文的主要目 的是讨论子波方法在电路分析特定领域中的应用， 而并不 是子波理论本身， 因此对于前文内容中涉及到的一些严格的数学证明和推导， 我 们没有具体给出。这部分内容的详细表述可参考文献 b u n r9 8 , c h u i 9 2 , l i 9 7 , me y e 9 2 , r a u 0 1 o 2 . 5 c a i 子波 1 9 9 6 年， w e i c a i 等人构造了 一组定义在有限区间上的具有边界函数的子波 基， 用于 常微分 方程和偏 微分方程的 求 解 c a i 9 6 . 1 9 9 9 年， d i a n z h o u 和w e i c a i 合作， 将这组子波用于线性电 路和非线性电 路的时域模拟， 这是子波被首次用于 电 路分 析和模 拟领域 z h o u 9 9 a , z h o u 9 9 b 。 下面 我们对这组子波基函 数的 具体形 式做一简单介绍。 对 于 一 个 有 限 区 间 上 的s o b o l e v 空 间 h 2 ( o , l ) , l c- z 且l _ 4 ， 可 定 义 如 下 的m r a子空间 ( j c= z 且j _ 0 ) : 第二章子波分析简介 v u 一 s p a n iw o,k (t ) ik e z , - i - k _ l - 3 (2 ,1 9 ) w . 一 sp a n v l.k (t) ik e z ， 一 ， k - n ， 一 2 1 , n j = 2 l (2 .2 0 ) 屹 + ， = 代。叽( 2 .2 1 ) 上 述 子 空 间 可 用 于 分 析h 恤 0 , l ) 上的 函 数， 但 要 求 该 函 数 在 边 界 上 的 函 数 值 和 一阶导数值均为零。 对于有边界条件的问题， 还需要定义用于处理边界条件的子 空间v b : v b 一 ill, k (t) ik 。 z , 0 、 、 _ 3 (2 .2 2 ) v b 空间中 的四 个 基函 数分 别 用 于处 理 两侧 边界的函 数 值和 一阶导 数 值， 在实 际 的mr a和自 适应过程中，可以做如下处理 砚 = v n 。 v b ( 2 .2 3 ) 用代 替 代 原 有 方 法 中 的 v o ， 进 行 分 析 即 可 。 上 述空间 中 用到 的 基函 数 定 义如 下。v b 空间 中 的四 个基函 数 为 1l b . (t ) = ( 1 一 t ) ( 2 .2 4 ) w 2 ( t ) = 2 t + 一 3 ， 2t 一 43 一 l); 去 (t一 2 ); ( 2 . 2 5 ) r1 b , 3 (t ) 一 。 b.2 (l 一 ， ) 17 6.4 (t ) = lk i (l 一 t ) ( 2 . 2 6 ) ( 2 . 2 7 ) 这里 犷t ? 0 o t h e r wi s e ( 2 . 2 8 ) 阶哎队一 - v a 中 的 边 界 尺 度 函 数( b o u n d a r y s c a l in g fu n c t i o n ) 为 3。 1 1， 3 ， _ 、 ， 3 , 1 ， ， 3 (0 n 一 (t ) = p l (t ) = 普 t, 一 _ t 3 十 (t 一 i y , 一 = (t 一 2 ); + = (t 一 3 ); r 0 , - v / r b v / 2 一 + 1 2个 2 “宁 4 ”下 6 p o . l - 3 t / = i 8 (1 . 一 t ) v o 中 的 内 部 尺 度 函 数( in t e r io r s c a lin g fu n c t io n ) 为 一 1 6 一 ( 2 .2 9 ) ( 2 . 3 0 ) 第二章子波分析简介 p o .k (t ) = 神一 劝 ， k 。 z 且 。 - k _ l 一 4 1 ， 2，_ 、 ， ，_ 、 、2，_ 、 ，1 ， p ( t ) = - t ; 一 - ( t 一 l ) , + ( t 一 2 ) + 一 - ( t 一 3 ) , + - ( t 一 4 ) + 6 3、 ， 、，3、， 6、 巩 中 的 边 界 子 波 函 数( b o u n d a r y w a v e l e t f u n c tio n ) 为 w i,-1(t ) 一 v 60 (2 j t) v i .0 ( t) = +y b 1(2 3 t y/ j.ni-3 (t) _ v b i(2 j (l 一 t) qf i.tt1- 2 (t ) = v b4 (2 (: 一 t) 其中 ( 2 . 3 1 ) ( 2 . 3 2 ) ( 2 _ 3 3 ) ( 2 . 3 4 ) ( 2 .3 5 ) ( 2 . 3 6 ) w b o ( t ) =- 1 4 y r ( t 梦甘 + 2 ) + y r ( t + 1 ) ( 2 .3 7 ) ， 、 1 8 1 ( 1v b i u 1 =一 下二i 1 乃 仁w o + 六 v (t 十 1)十 yr(t + 2 ( 2 . 3 8 ) w o 二 一 号 (o(2 t)+ q (2 t 一 1)一 号 ,p (2 1 一 2 ) 溅 中 的 内 部 子 波 函 数( in te r io r w a v e le t f u n c tio n ) 为 v i, (t) = v 份 r - k ) 1 、 。 z 且 1 : 、 _ n , 一 4 ( 2 . 3 9 ) ( 2 .4 0 ) 根 据 以 上 描 述 ， 砚 空 间 中 的 基 函 数 个 数 为 n 二 2 l + 3 a 采用c a i 子波进行函数展开时， 子波系数可以 通过2 . 1 节中的内 积方法求得， 也 可以 采 用 更为 简单 的 配置 法 c a i9 6 求 得。 所 谓 配置 法是 指选 取与 子 波 个数 相同 的配置点， 将子波系数作为未知数在配置点上列方程联立求解。 配置点的取法如 下: 对于v o : t _ l k 对于w i :气 一 、 = k + 2 ，k e z且一 1 _ k _ l 一 3( 2 .4 1 ) 1 k+1 . 5 = 2 j+ 2 tj ,k = 一 2 t j ,. j - 2 二 l - 2 j + 2 k z 且0 _ k n ， 一 3 对 于v b : t b ,i 二 0 . b .2 - 0 .5 , t b ,3 = l - 0 .5 f t b ,4 = l ( 2 . 4 2 ) ( 2 .4 3 ) 在 对 函 数武 o 进 行 展 开 时， 在 上 述 配 置 点 上 列 方 程 并 联 立， 可以 得 到 第二章子波分析简介 w c =f ( 2 . 4 4 ) v ( 0 w j o *v . ( t , ) lf i ( t z ) v 2 ( t 2 ) w n ( t z ) 为各子波基函数在各配置点上的值构成的 w j o v ( 0 二y,. ( t ) 1.十11.ee -一 w 中 其 矩 阵 ， c = 0 , c 2 ， 二 ， 。 。 rc y 为 子 波 系 数 向 量 ， f = lf (t i f (tz ), . . ., f (tj y 为 函 数 在 各配置点上的值。通过求解上式即可以得到子波系数。 需要 特别说明的是， 结合m r a和自 适应方法， 可以 采用配置法分别求解每 个 子 空 间 中 的 子 波 系 数 。 而由 于c a i 子 波 具 有 局 域 性， 在气 或同 一 个巩子 空 间 中， 每个子波基函数只在其本身对应的配置点及其两侧相邻 ( 如果存在) 的配置 点 上 有非零 值， 而 在其他配置点上的 值均为 零。 因 此， ( 2 .4 4 ) 式中的w矩阵将为 一 个 三 对 角 矩阵 ， 方 程 ( 2 .4 4 ) 可以 在 线 性 时 间口 伽 ) 内 解 出 。 例 如 图2 .4 中 给出 的 就是城子空 间 的w矩阵的 非零 元 示意 图( l 取1 0 ) . 10哪 ,5 s p a r s i t y m a t t 归 m 图2 .4子波值矩阵的非零元 此外，采用2 .4 节中的方法，可以构造基于c a i 子波的多维子波，用于多维 分析。 对于 c a i 子波的构造、性质，及其严格数学证明等，可参阅文献 c a i 9 b , z h o u 9 9 b e关于s o b o l e v 空间 及其性质， 可参阅文献 a d a m 7 5 o 第三章基于g m r e s 的频域子波分析方法 在本章中， 我们主要研究子波在线性电路模拟方面的应用。 通过分析传统的 时域f wc m方法 ( f a s t wa v e l e t c o ll o c a t i o n me t h o d )和频域f wc m方法，我们 提出 了 一 种 基 于g m r e s的 频 域 子 波分 析 方 法f f w c m - g ( f r e q u e n c y d o m a i n f w c m w