一元一次不等式竞赛辅导(附答案).docx

一元一次不等式（竞赛）（一）巧用不等式的性质例1 要使a5a3aa2a4成立，则a的取值范围是（ ） A.0a1 B. a1 C.1a0 D. a1分析：由3到24，是在3的两边都乘以，且0来实现的；在3两边都除以，得21，显然有1。故选D思路点拨：本题给出的条件是不等式，而且这个不等式的很有特点，观察指数分别是5,3,1,2,4,似乎不是什么有序的数，再观察发现，指数大小是从大到小再变大。而不等式方向却是不变，所以我们发现3与24 之间的联系（在发现这个联系时，可以去观察下选项，会有一定帮助），从而解出答案。当然，本题若是发现不了这些，完全可以通过特殊值法，从答案出发，解出答案。 点评：本题应用不等式的性质，抓住题目给出的一个不等式作为基础进行变形，确定a的取值范围。例2 已知610，则的取值范围是 。分析：在的两边都加上，可得，再由610可得930，即930思路点拨：观察题目我们发现，的范围是已知的，那么我们的基本思路就是想方设法用凑出c，那么后续题目就可以迎刃而解了。点评：本题应用不等式的基本性质，在的两边都加上后，直接用关于的不等式表示再根据610求出的取值范围。（二）由不等式的解集确定不等式中系数的取值范围例3 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 。分析：由得 ，解之得。由得 。因为原不等式组的解集为，所以，所以。思路点拨：本题比较常规，通过数轴的理解，可以秒杀。当然，若是能理清不等式之间的联系，那么完全可以不用数轴。点评：本题直接解两个不等式得到且。 若，则其解集为，若，则其解集为，而原不等式的解集为，所以，即。对此理解有困难的学生，可以通过在数轴上表示不等式的解集来帮助理解。例4 若不等式的解集是，则不等式的解集是 。分析：原不等式可化为。因为，所以由得 ，代入得 0，所以。由 得。把代入得 。思路点拨：对于此题，第一步自然是想办法用a，b解出，但当细心的同学在解的时候就会发现2a-b的符号未知。所以在观察题目条件，发现最后的不等号是。所以我们得出2a-b的符号是的。那么就可以列出方程，解出a，b关系以及a，b的正反性。那么后面题目自然就解出来了。（其实本题并不难，因为如果没有考虑到2a-b的同学在列方程时就会发现不等号不统一，那么自然而然就会发现2a-b了）点评：本题先由不等式解集的不等号方向判断0，从数值上判断，从而确定的关系及的符号。不等式系数的符号决定了不等式解集中的不等号的方向，其数值决定了取值范围的边界，因此，反过来可以通过不等式的解集来确定不等式中系数的符号及参数的取值范围。（三）利用不等式求代数式的最大值例5 设均为自然数，且，又，则的最大值是 。分析：均为自然数，且，所以在这七个数中，后面的一个数比前面的数至少大1，159=，所以的最大值为19。当取最大值时，140，所以的最大值为20。当、都取最大值时，120=，所以， 所以的最大值为22。所以的最大值是19+20+22=61。思路点拨：分析题目，除了两个式子以外，还有一个很重要的条件，那就是x的范围。观察这两个式子，很难有所作为。于是，本题的难点就是自然数性质的应用。在观察题目要求的答案，是最值问题，那么很自然得想到，需要通过放缩法。但是要注意的是，不一定是每个数都达到本来的最值。有可能其中两个是最值，而另一个却要通过那两个的最值再次判断范围。点评：本题根据已知条件先分别确定、的最大值，再求出的最大值。其关键在于利用自然数的特征，用放缩法建立关于、的不等式。例6 在满足，的条件下， 能达到的最大值是 。解法一分析：将转化为只含有一个字母的代数式，再根据条件求解。，。 ，。即故 能达到的最大值是6。思路点拨：以上是一种解法，关键是有方向的“凑”。解法二分析：整理上述不等式，我们得到y12x+32 x0y0这下灵感就来了，这可不可以放到坐标系里呢。显然是可以的。那么y12x+32就是y12x+32直线下方的任意点同理，x0就是在y轴右侧的任意点。 y0就是x轴上方的任意点。在坐标系中，把三个和在一起，我们得到一个三角形一样的范围。现在我们分析题目要求的量。是2x+y的最大值。那么我们设2x+y=n，是不是整理得到y=-2x+n，那么这不就是一条动线吗？把线画出来。那么n就是D点的最高点的纵坐标。因为这条线必须和三角形有交点，才能满足不等式，所以当C与B重合时，n达到最大。此时可以很快算出n=6.所以最大值为6点评：由字母的取值范围可以确定含字母的代数式的取值范围，从而可以确定代数式的最大值或最小值。本题的数形结合思维也是比较巧妙。例若整数满足不等式组 试确定的大小关系.分析：利用不等式的性质，原不等式组可化为，所以，即。所以。思路点拨：本题就是