三角函数的图像与性质ppt课件.ppt

第3节 函数y Asin x 的图象及其简单应用 1 会用 五点法 画函数y Asin x 的图象 理解A 的物理意义 2 掌握函数y Asin x 与y sinx图象间的变换关系 3 会由函数y Asin x 的图象或图象特征求函数的解析式 1 用五点法画y Asin x 一个周期内的简图时 要找五个特征点 如下表所示 0 A 0 A 0 x 0 2 函数y sinx的图象经变换得到y Asin x 的图象的步骤如下 各点的纵坐标变为原来的A倍 各点的纵坐标变为原来的A倍 以上两种方法的区别 方法一先平移再伸缩 方法二先伸缩再平移 特别注意方法二中的平移量 3 当函数y Asin x A 0 0 x 0 表示一个振动时 A叫做 叫做 叫做 x 叫做 叫做 振幅 周期 相位 初相 频率 4 三角函数模型的应用 1 根据图象建立解析式或根据解析式作出图象 2 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型 3 利用收集到的数据作出散点图 并根据散点图进行函数拟合 从而得到函数模型 题型一作y Asin x 的图象已知函数 1 求它的振幅 周期 初相 2 用 五点法 作出它在一个周期内的图象 3 说明的图象可由y sinx的图象经过怎样的变换而得到 1 由振幅 周期 初相的定义即可解决 2 五点法作图 关键是找出与x相对应的五个点 3 只要看清由谁变换得到谁即可 题型分类深度剖析 解 1 的振幅A 2 周期 X X 五点法作图 应抓住四条 化为y Asin x A 0 0 的形式 求出振幅A和周期T 列出一个周期内的五个特殊点 作出指定区间上的图象时 应列出该区间的特殊点 方法一把y sinx的图象上所有的点向左平移个单位 得到的图象 再把的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 得到的图象 最后把上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍 横坐标不变 即可得到的图象 方法二将y sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍 纵坐标不变 得到y sin2x的图象 再将y sin2x的图象向左平移个单位 得到的图象 再将的图象上每一点的横坐标保持不变 纵坐标伸长为原来的2倍 得到的图象 1 作三角函数图象的基本方法就是五点法 此法注意在作出一个周期上的简图后 应向两端伸展一下 以示整个定义域上的图象 2 变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移 对于后者可利用来确定平移单位 题型二求函数y Asin x b的解析式如图为y Asin x 的图象的一段 求其解析式 首先确定A 若以N为五点法作图中的第一个零点 由于此时曲线是先下降后上升 类似于y sinx的图象 所以A0 而可由相位来确定 解方法一以N为第一个零点 方法二由图象知A 1 与 是一致的 由 可得 事实上同样由 也可得 2 由此题两种解法可见 在由图象求解析式时 第一个零点 的确定是重要的 应尽量使A取正值 3 已知函数图象求函数y Asin x A 0 0 的解析式时 常用的解题方法是待定系数法 由图中的最大值或最小值确定A 由周期确定 由适合解析式的点的坐标来确定 但由图象求得的y Asin x A 0 0 的解析式一般不惟一 只有限定 的取值范围 才能得出惟一解 否则 的值不确定 解析式也就不惟一 4 将若干个点代入函数式 可以求得相关待定系数A 这里需要注意的是 要认清选择的点属于 五点 中的哪一个位置点 并能正确代入式中 依据五点列表法原理 点的序号与式子的关系是 第一点 即图象上升时与x轴的交点 为 x 0 第二点 即图象曲线的最高点 为 第三点 即图象下降时与x轴的交点 为 x 第四点 即图象曲线的最低点 为 第五点 为 x 2 1 如图是y Asin x 的图象的一段 试确定其解析式 知能迁移 因为A 0 T 16 所以y 2sin x 将N 6 0 视为 五点法 中的第一点 所以 6 0 所以y sin x 给出图象确定解析式 A由最值确定 由周期确定 由最高或最低点确定 当由平衡位置点确定时 根据变化趋势确定 五点中的第一点 简化运算 2 函数y Asin x A 0 0 的一段图象如图所示 1 求函数y f x 的解析式 2 将函数y f x 的图象向右平移个单位 得到y g x 的图象 求直线y 与函数y f x g x 的图象在 0 内所有交点的坐标 解 1 由题图知A 2 T 于是将y 2sin2x的图象向左平移个单位长度 得y 2sin 2x 的图象 题型三函数y Asin x 的图象与性质的综合应用 12分 在已知函数f x Asin x x R 其中A 0 0 0 的图象与x轴的交点中 相邻两个交点之间的距离为且图象上一个最低点为 1 求f x 的解析式 2 当时 求f x 的值域 易知T A 2 利用点M在曲线上可求 第 2 问由函数图象易解 关键是将 x 看成一个整体 解 1分 3分 5分 6分 认识并理解三角函数的图象与性质是解决此题的关键 图象与x轴的两个相邻交点间的距离即为半个周期 在求函数值域时 由定义域转化成 x 的范围 即把 x 看作一个整体 8分 10分 12分 方法与技巧1 五点法作函数图象及函数图象变换问题 1 当明确了函数图象基本特征后 描点法 是作函数图象的快捷方式 运用 五点法 作正 余弦型函数图象时 应取好五个特殊点 并注意曲线的凹凸方向 2 在进行三角函数图象变换时 提倡 先平移 后伸缩 但 先伸缩 后平移 也经常出现在题目中 所以也必须熟练掌握 无论是哪种变形 切记每一个变换总是对字母x而言 即图象变换要看 变量 起多大变化 而不是 角 变化多少 思想方法感悟提高 2 由图象确定函数解析式由函数y Asin x 的图象确定A 的题型 常常以 五点法 中的第一零点作为突破口 要从图象的升降情况找准第一零点的位置 要善于抓住特殊量和特殊点 3 对称问题函数y Asin x 的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心 经过该图象上坐标为 x A 的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴 这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期 或两个相邻平衡点间的距离 失误与防范1 由函数y sinx x R 的图象经过变换得到函数y Asin x 的图象 在具体问题中 可先平移变换后伸缩变换 也可以先伸缩变换后平移变换 但要注意 先伸缩 后平移时要把x前面的系数提取出来 2 函数y Asin x 的图象和性质是本节考查的重点 也是高考热点 复习时尽可能使用数形结合的思想方法 如求解对称轴 对称中心和单调区间等 3 注意复合形式的三角函数的单调区间的求法 函数y Asin x A 0 0 的单调区间的确定 基本思想是把 x 看做一个整体 在单调性应用方面 比较大小是一类常见的题目 依据是同一区间内函数的单调性 1 为了得到函数x R的图象 只需把函数y 2sinx x R的图象上所有的点 A 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 B 向右平移个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 C 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍 纵坐标不变 D 向右平移个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍 纵坐标不变 基础自测 解析将y 2sinx的图象向左平移个单位得到y 2sin的图象 将y 2sin图象上各点横坐标变为原来的3倍 纵坐标不变 则得到的图象 故选C 答案C 2 将函数y sin4x的图象向左平移个单位 得到y sin 4x 的图象 则 等于 A B C D 解析将函数y sin4x的图象向左平移个单位后得到的图象的解析式为 C 3 为了得到函数y sin 2x 的图象 可以将函数y cos2x的图象 D A 向左平移个单位长度B 向左平移个单位长度C 向右平移个单位长度D 向右平移个单位长度 y cos2x sin 2x sin 2 x 而y sin 2x sin 2 x 此时 x x 所以只需将y cos2x的图象向右平移 个单位长度 4 2009 山东文 3 将函数y sin2x的图象向左平移个单位 再向上平移1个单位 所得图象的函数解析式是 A y 2cos2xB y 2sin2xC D y cos2x解析将函数y sin2x的图象向左平移个单位 得到函数即的图象 再向上平移1个单位 所得图象的函数解析式为y 1 cos2x 2cos2x A 5 将函数的图象上各点的纵坐标不变 横坐标伸长到原来的2倍 再向右平移个单位 所得到的图象解析式是 A f x sinxB f x