高三数学二轮复习（核心自查++热点高考探究+方法专项突破+备选高效演练）定点、定值、最值问题课件 文.ppt

定点 定值 最值问题 一 主干知识1 定点问题 在解析几何中 有些含有参数的直线或曲线 不论参数如何变化 其都过某定点 这类问题称为定点问题 2 定值问题 在解析几何中 有些几何量 如斜率 距离 面积 比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关 这类问题统称为定值问题 3 最值问题的两大求解策略 解决圆锥曲线中的最值问题 一般有两种方法 一是几何法 特别关注用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值 二是代数法 将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题 即根据条件列出所求的目标函数 然后根据函数的结构特征直接或换元后选用基本不等式法 导数法 数形结合法等求最值 二 重要结论1 直线与圆锥曲线相交的问题 牢记 联立方程 把要求的量转化为根与系数的关系 2 有关弦长问题 牢记弦长公式 ab 及根与系数的关系 设而不求 有关焦点弦长问题 要牢记圆锥曲线定义的运用 以简化运算 3 涉及弦中点的问题 牢记 点差法 是联系中点坐标和弦所在直线的斜率的好方法 4 求参数范围的问题 牢记 先找不等式 有时需要找出两个量之间的关系 然后消去另一个量 保留要求的量 不等式的来源可以是 0或圆锥曲线的有界性或是题目条件中的某个量的范围等 5 牢记曲线f1 x y f2 x y 0 为参数 过曲线f1 x y 0与f2 x y 0的交点 1 2013 昆明模拟 已知直线x t与椭圆交于p q两点 若点f为该椭圆的左焦点 则取最小值时t的值为 解析 选b 椭圆的左焦点f 4 0 根据对称性可设p t y q t y 则所以又因为所以所以当时 取值最小 2 2013 重庆模拟 以抛物线y2 8x上的任意一点为圆心作圆与直线x 2 0相切 这些圆必过一定点 则这一定点的坐标是 a 0 2 b 2 0 c 4 0 d 0 4 解析 选b 由抛物线定义知该圆必过抛物线y2 8x的焦点f 2 0 3 2013 江西高考 已知点a 2 0 抛物线c x2 4y的焦点为f 直线fa与抛物线c相交于点m 与其准线相交于点n 则 fm mn 解析 选c 设直线fa的倾斜角为 因为f 0 1 a 2 0 所以直线fa的斜率为即tan 过点m作准线的垂线交准线于点q 由抛物线定义得 fm mq 在 mqn中可得即 4 2013 海淀模拟 抛物线y2 4x的焦点为f 点p x y 为该抛物线上的动点 又点a 1 0 则的最小值是 解析 选b 由题意可知 抛物线的准线方程为x 1 a 1 0 过p作pn垂直直线x 1于n 由抛物线的定义可知pf pn 连接pa 当pa是抛物线的切线时 有最小值 则 apn最大 即 paf最大 就是直线pa的斜率最大 设直线pa的方程为 y k x 1 所以消去y得 k2x2 2k2 4 x k2 0 所以 2k2 4 2 4k4 0 解得k 1 所以 npa 45 5 2013 上海模拟 已知椭圆 0 b 3 左 右焦点分别为f1 f2 过f1的直线l交椭圆于a b两点 则的最大值为 解析 如图所示 由椭圆的定义可知 所以当ab x轴时 把x c代入椭圆的方程得解得此时 则 当直线ab与x轴不垂直时 设直线ab的方程为y k x c a x1 y1 b x2 y2 联立消去y得到 b2 9k2 x2 18k2cx 9k2c2 9b2 0 所以 所以综上可知 只有当ab x轴时 取得最小值 此时取得最大值答案 热点考向1定点的探究与证明问题 典例1 1 已知点a x1 y1 b x2 y2 x1x2 0 是抛物线y2 4x上的两个动点 o是坐标原点 则直线ab过定点 2 2013 宣城模拟 如图 已知椭圆c a b 0 的离心率为以原点o为圆心 椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x y 0相切 求椭圆的标准方程 设p 4 0 a b是椭圆c上关于x轴对称的任意两个不同的点 连接pb交椭圆c于另一点e 证明动直线ae经过一定点 解题探究 1 由得y1y2为定值 当x1 x2时 直线ab的斜率kab 用y1 y2表示 直线ab的方程为 用y1 y2表示 当x1 x2时 直线ab的方程为x 2 由离心率为得a2 b2 由点到直线的距离求得b 证明动直线ae经过一定点的关键是什么 提示 关键选与直线pb有关的参数建立直线ae的方程 16 y1 y2 y 4 x 4 4 解析 1 因为所以x1x2 y1y2 0 y1y2 16 当x1 x2时 ab方程 y1 y2 y y12 y1y2 4x 4x1 y1 y2 y 4x 16 即 y1 y2 y 4 x 4 经过 4 0 当x1 x2时 x1 x2 4 即直线ab方程为x 4过点 4 0 答案 4 0 2 由题意知所以又因为以原点o为圆心 椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切 所以有所以故椭圆的方程为 由题意知直线pb的斜率存在 设直线pb的方程为y k x 4 由得 4k2 3 x2 32k2x 64k2 12 0 设点b x1 y1 e x2 y2 a x1 y1 则 直线ae的斜率所以直线ae的方程为令y 0 得将y1 k x1 4 y2 k x2 4 代入并整理得 将 代入 整理得所以 直线ae过定点 1 0 互动探究 若本例 1 中抛物线方程为y2 2px p 0 且弦ab的中点到直线x 2y 0的距离的最小值为且求抛物线方程 解析 设ab中点c x y 则若中点c到直线x 2y 0的距离为d 则 所以 当y1 y2 2p时 d有最小值由题设得所以p 2 此时抛物线方程为y2 4x 方法总结 动线过定点问题的两大类型及解法 1 动直线l过定点问题 解法 设动直线方程 斜率存在 为y kx t 由题设条件将t用k表示为t mk 得y k x m 故动直线过定点 m 0 2 动曲线c过定点问题 解法 引入参变量建立曲线c的方程 再根据其对参变量恒成立 令其系数等于零 得出定点 变式备选 如图 等边三角形oab的边长为且其三个顶点均在抛物线e x2 2py p 0 上 1 求抛物线e的方程 2 设动直线l与抛物线e相切于点p 与直线y 1相交于点q 证明以pq为直径的圆恒过y轴上某定点m 解析 方法一 1 依题意 ob boy 30 设b x y 则x ob sin30 y ob cos30 12 因为点在x2 2py上 所以解得p 2 故抛物线e的方程为x2 4y 2 由 1 知设p x0 y0 则x0 0 且l的方程为即 由所以设m 0 y1 令对满足的x0 y0恒成立 由得即 y12 y1 2 1 y1 y0 0 由于 式对满足的y0恒成立 所以解得y1 1 故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点m 0 1 方法二 1 同方法一 2 由 1 知设p x0 y0 则x0 0 且l的方程为即由所以 取x0 2 此时p 2 1 q 0 1 以pq为直径的圆为 x 1 2 y2 2 交y轴于点m1 0 1 或m2 0 1 取x0 1 此时以pq为直径的圆为交y轴于m3 0 1 或故若满足条件的点m存在 只能是m 0 1 以下证明点m 0 1 就是所要求的点 因为故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点m 0 1 热点考向2定值的探究与证明问题 典例2 2013 北京模拟 椭圆t的中心为坐标原点o 右焦点为f 2 0 且椭圆t过点 abc的三个顶点都在椭圆t上 设三条边 ab bc ac 的中点分别为m n p 1 求椭圆t的方程 2 设 abc的三条边所在直线的斜率分别为k1 k2 k3 且ki 0 i 1 2 3 若直线om on op的斜率之和为0 求证 为定值 解题探究 1 设椭圆t的方程为 a b 0 则a b 2 证明为定值的两关键点 表示 将中的量k1 k2 k3用 表示 化简 利用约束条件 化简得定值 2 动点m n p的坐标 kom kon kop 0 解析 1 设椭圆t的方程为由题意知 左焦点为f 2 0 所以2a ef ef 解得故椭圆t的方程为 2 设a x1 y1 b x2 y2 c x3 y3 m s1 t1 n s2 t2 p s3 t3 方法一 由x12 2y12 8 x22 2y22 8 两式相减 得到 x1 x2 x1 x2 2 y1 y2 y1 y2 0 所以即同理所以又因为直线om on op的斜率之和为0 所以 方法二 设直线ab y t1 k1 x s1 代入椭圆x2 2y2 8 得到 1 2k12 x2 4 t1 k1s1 k1x 2 t1 k1s1 2 8 0 化简得以下同方法一 方法总结 求解定值问题的两大途径 1 由特例得出一个值 此值一般就是定值 证明定值 将问题转化为证明待证式与参数 某些变量 无关 2 先将式子用动点坐标或动线中的参数表示 再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子 分母约分得定值 变式训练 2013 天津模拟 已知e 2 2 是抛物线c y2 2px上一点 经过点 2 0 的直线l与抛物线c交于a b两点 不同于点e 直线ea eb分别交直线x 2于点m n 1 求抛物线方程及其焦点坐标 2 已知o为原点 求证 为定值 解析 1 将e 2 2 代入y2 2px 得p 1 所以抛物线方程为y2 2x 焦点坐标为 2 设m xm ym n xn yn 方法一 因为直线l不经过点e 所以直线l一定有斜率 设直线l方程为y k x 2 与抛物线方程联立得到消去x 得 ky2 2y 4k 0 则由根与系数的关系得 直线ae的方程为 即令x 2 得同理可得 又所以 方法二 设直线l方程为x my 2 与抛物线方程联立得到消去x 得 y2 2my 4 0 则由根与系数的关系得 y1y2 4 y1 y2 2m 直线ae的方程为 即 令x 2 得同理可得 又 热点考向3与圆锥曲线有关的最值 范围 问题 典例3 1 2013 厦门模拟 已知直线l1 4x 3y 6 0和直线l2 x 1 抛物线y2 4x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 2 2013 昆明模拟 直线y kx 2与椭圆相交于a b两点 o为原点 在oa ob上分别存在异于o点的m n 使得o在以mn为直径的圆外 则直线斜率k的取值范围为 3 如图 在平面直角坐标系xoy中 已知椭圆e a b 0 的离心率a1 a2分别是椭圆e的左 右两个顶点 圆a2的半径为a 过点a1作圆a2的切线 切点为p 在x轴的上方交椭圆e于点q 求直线op的方程 求的值 设a为常数 过点o作两条互相垂直的直线 分别交椭圆e于点b c 分别交圆a2于点m n 记 obc和 omn的面积分别为s1 s2 求s1 s2的最大值 解题探究 1 关键 将动点p到直线l2 x 1的距离 转化为动点p到抛物线焦点f 的距离 进而数形结合知 当点f p及p在直线l1上的射影三点 时 和最小 2 关键 根据 构建关于k的不等式 组 求解 3 a2op xp xq 1 0 共线 o在以mn为直径的圆外 60 求最大值的三个步骤 引入变量 设直线om的方程为 构建函数 s1s2 求最值 根据s1 s2的结构特征 应选择用什么方法求其最值 提示 应分子 分母同除以k后 用基本不等式法求最值 y kx k 0 解析 1 选b 如图 因为抛物线的方程为y2 4x 所以焦点坐标f 1 0 准线方程为x 1 设p到准线的距离为 pb 则 pb pf p到直线l1 4x 3y 6 0的距离为 pa 所以 pa pb pa pf fd 其中 fd 为焦点到直线4x 3y 6 0的距离 所以 所以距离之和最小值是2 2 联立方程组消去y整理得 4k2 3 x2 16kx 4 0 因为直线与椭圆有两个交点 所以 16k 2 16 4k2 3 0 解得 因为原点o在以mn为直径的圆外 所以 mon为锐角 即而m n分别在oa ob上且异于o点 即 设a b两点坐标分别为a x1 y1 b x2 y2 则解得 综合 可知 答案 3 连结a2p 则a2p a1p 且a2p a 又a1a2 2a 所以 a1a2p 60 所以 a2op 60 所以直线op的方程为 由 知 直线a2p的方程为a1p的方程为联立解得 因为所以故椭圆e的方程为由所以 不妨设om的方程为y kx k 0 联立方程组解得所以用代替上面的k 得 同理可得 所以 因为当且仅当k 1时等号成立 所以s1 s2的最大值为 方法总结 1 与圆锥曲线有关的最值的两种解法 1 数形结合法 根据待求值的几何意义 充分利用平面图形的几何性质求解 2 构建函数法 先引入变量 构建以待求量为因变量的函数 再求其最值 常用基本不等式或导数法求最值 注意 有时需先换元后再求最值 2 与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法 1 数形结合法 利用待求量的几何意义 确定出极端位置后数形结合求解 2 构建不等式法 利用已知或隐含的不等关系 构建以待求量为元的不等式求解 3 构建函数法 先引入变量构建以待求量为因变量的函数 再求其值域 变式训练 2013 重庆高考 如图 椭圆的中心为原点o 长轴在x轴上 离心率过左焦点f1作x轴的垂线交椭圆于a a 两点 aa 4 1 求该椭圆的标准方程 2 取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点p p 过p p 作圆心为q的圆 使椭圆上的其余点均在圆q外 求 pp q的面积s的最大值 并写出对应的圆q的标准方程 解题提示 直接利用已知条件可求出椭圆的标准方程 设出q点的坐标 利用椭圆上的其余点均在圆q外可求 pp q的面积s的最大值以及圆的标准方程 解析 1 设椭圆的标准方程为 a b 0 由题意知点a c 2 在椭圆上 则从而 2 设q x0 0 又设m x y 是椭圆上任意一点 则 qm 2 x x0 2 y2 x2 2x0 x x02 x 2x0 2 x02 8 x 4 4 设p x1 y1 由题意 p是椭圆上到q的距离最小的点 因此 上式当x x1时取最小值 又因为x1 4 4 所以上式当x 2x0时取最小值 从而x1 2x0 且 qp 2 8 x02 由对称性知p x1 y1 故 pp 2y1 所以s 2y1 x1 x0 转化与化归思想 解决圆锥曲线中的定点 定值与最值问题 思想诠释 1 主要类型 1 动直线 曲线过定点问题的求解 转化为含参数二元一次或二次方程恒成立问题 2 与动点 动线有关式子为定值问题 转化为代数式的表示 化简 求值问题 3 与圆锥曲线有关的最值问题 转化为函数的最值问题求解 2 解题思路 常常引入适当的参变量 如动点坐标 动直线斜率等 根据题设条件 构建方程 不等式或函数 将几何问题转化为方程恒成立或代数式的化简及函数的最值 不等式的求解等问题解决 3 注意事项 1 恰当引入参变量 分清变量与常量 搞清量与量间的关系 将几何问题代数化 2 对一些参变量若取值情况不明确 如斜率 要准确分类讨论 典例 12分 2013 广州模拟 在平面直角坐标系xoy中 动点p在椭圆c1 上 且到椭圆c1的右焦点的距离与到直线x 2的距离之比等于椭圆的离心率 动点q是动圆c2 x2 y2 r2 1 r 2 上一点 1 设椭圆c1上的三点a x1 y1 c x2 y2 与点f 1 0 的距离依次成等差数列 线段ac的垂直平分线是否经过一个定点 说明理由 2 若直线pq与椭圆c1和动圆c2均只有一个公共点 求p q两点的距离 pq 的最大值 审题 分析信息 形成思路 1 切入点 求线段ac的中点 斜率 关注点 用好线段ac的垂直平分线 2 切入点 引入参变量 将 pq 用参变量表示 关注点 直线pq的斜率不明确 需说明存在情况 解题 规范步骤 水到渠成 1 椭圆c1 的离心率右焦点为 1 0 由题意可得因为2 bf af cf 所以即得x1 x2 2 2分 因为a c在椭圆上 故有两式相减 得 4分设线段ac的中点为 m