度高中数学 1.2.1 任意角的三角函数同步辅导与检测课件 新人教A版必修4.ppt

三角函数 1 2任意角的三角函数1 2 1任意角的三角函数 1 理解并掌握任意角的三角函数的定义及其表示 能熟练求三角函数的值 2 理解并掌握三角函数线的几何表示 能利用三角函数线确定三角函数值的取值范围或角的取值范围 3 体会单位圆在整个解题过程中的作用 基础梳理 一 任意角的三角函数1 单位圆 在直角坐标系中 以原点o为圆心 以单位长度为半径的圆称为 2 三角函数的定义 设角 的顶点与原点重合 始边与x轴非负半轴重合 在直角坐标系中 角 终边与单位圆交于一点p x y 则r op 1 那么 1 y叫做 记作sin 即y sin 2 x叫做 记作cos 即x cos 3 叫做 记作tan 即 tan x 0 一 1 单位圆2 1 的正弦 2 的余弦 3 的正切 正弦 余弦 正切都是以角为自变量 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 我们把它们统称为 练习1 已知角a的终边与单位圆的交点为p0 求角 的正弦 余弦和正切值 三角函数 思考应用 1 三角函数的值与点p在终边上的位置有关系吗 解析 利用三角形的相似性可知任意角 的三角函数值只与 有关 而与点p的位置无关 对于 角的终边上任意一点p 设其坐标为 x y 点p到原点的距离r 0 1 比值叫做 的正弦 记作sin 即sin 2 比值叫做 的余弦 记作cos 即cos 3 比值叫做 的正切 记作tan 即tan 点p在单位圆上是一种特殊情形 二 三角函数值在各个象限内的符号1 由三角函数的定义 以及各象限内的点的坐标的符号 可以确定三角函数在各象限的符号 sin 其中r 0 于是sin 的符号与y的符号相同 即 当 是第 象限角时 sin 0 当 是第 象限角时 sin 0 于是cos 的符号与x的符号相同 即 当 是第 象限角时 cos 0 当 是第 象限角时 cos 0 当 是第 象限角时 tan 0 二 四 一 二 三 四 一 四 二 三 一 三 2 根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1 sin 上正下负横为0 cos 左负右正纵为0 tan 交叉正负 形象的识记口诀2 一全正二正弦 三正切四余弦 练习2 已知角 的终边过点p0 3 4 求角 的正弦 余弦和正切值 思考应用 2 你知道形象的识记口诀的意思吗 解析 口诀 一全二正弦 三正切四余弦 意为 第一象限各个三角函数均为正 第二象限只有正弦为正 其余两个为负 第三象限正切为正 其余两个为负 第四象限余弦为正 其余两个为负 三 诱导公式一由定义可知 三角函数值是由角的终边的位置确定的 因此 终边相同的角的同一三角函数的值 这样就有下面的一组公式 诱导公式一 sin 2k sin cos 2k cos tan 2k tan k z 相等 思考应用 3 公式一中的角 一定是锐角吗 解析 公式一中的角 为任意角 公式一都成立 四 三角函数线1 有向线段 有向线段是规定了方向 即起点 终点 的线段 它是 的 在直角坐标系中 和坐标轴同向的有向线段为正 反向的为负 2 正弦线 余弦线 正切线 三角函数线是用来形象地表示三角函数值的有向线段 有向线段的 表示三角函数值的 有向线段的 表示三角函数值的绝对值的 三角函数线的作法如下 设角 的终边与单位圆的交点为p 过点p作x轴的垂线 垂足为m 则有向线段mp om就分别是 角的正弦线与余弦线 即mp y sin om x cos 四 1 有长度 有正负2 方向正负长度大小 过点a 1 0 作单位圆的切线 设这条切线与 角的终边 或终边的反向延长线 交于点t 则有向线段at就是 角的正切线 即at tan 3 填写下表中三角函数的定义域 值域 r 1 1 r 1 1 r 思考应用 4 三角函数线有哪些特征 应用三角函数线体现了什么数学思想方法 解析 1 三条有向线段的位置 正弦线为 的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段 余弦线在x轴上 正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上 三条有向线段中两条在单位圆内 一条在单位圆外 2 三条有向线段的方向 正弦线由垂足指向 的终边与单位圆的交点 余弦线由原点指向垂足 正切线由切点指向与 的终边的交点 3 三条有向线段的正负 三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值 与x轴或y轴反向的为负值 4 三条有向线段的书写 有向线段的起点字母在前 终点字母在后面 应用三角函数线解决问题体现了数形结合的思想方法 自测自评 1 若 0 则点q cos sin 位于 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解析 0 sin 0 故选d 答案 d 解析 点p是单位圆上一点 则cos x 故选b 答案 b 3 有下列四个命题 终边相同的角的同名三角函数的值相等 终边不同的角的同名三角函数的值不相等 若sin 0 则 是第一或第二象限角 若 是第二象限角 且p x y 是其终边上一点 则cos 其中 不正确命题的个数是 a 1b 2c 3d 4 解析 正确 不正确 不正确 例 也成立 不正确 故选c 答案 c 利用三角函数的定义求三角函数值 已知角 的终边过点p 3 2 求sin cos tan 的值 分析 本题考查角 的三角函数值 已知x 3 y 2 先求出r 然后根据三角函数的定义求解 跟踪训练 1 在平面直角坐标系中 若角 终边经过点p 3 4 则cos 的值为 2 已知角 的终边落在直线y 2x上 求sin cos tan 的值 分析 因为角 的终边是一条射线 故应分两种情况进行讨论 可在直线上取一特殊点转化成例1类似的问题 进而求解 应用诱导公式 一 进行化简 求值 求下列各三角函数的值 1 cos 1050 2 sin 点评 解答此类问题的方法是先把已知角化归到2k 0 2 k z 的形式 再利用诱导公式 一 化简求值 跟踪训练 判断三角函数值的符号问题 1 若角 分别是第二 三 四象限角 则点p sin cos 分别落在第 和 象限 解析 当角 是第二象限角时 sin 0 cos 0 则点p sin cos 在第二象限 答案 四 三 二 2 依据三角函数线 作出如下四个判断 其中判断正确的有 a 1个b 2个c 3个d 4个 序号 判断正确 答案选b 答案 b点评 此类问题的关键在于牢记各象限内的三角函数值的符号 尤其是以弧度制给出角时 判断角所在的象限位置特别重要 解析 在平面直角坐标系中作单位圆 依次作相关角的三角函数线 由图象可知 跟踪训练 4 判断下列各三角函数值的符号 sin3 cos4 tan5 解析 0 cos4 0 tan5 0 应用三角函数线解决不等式问题 下列表示sin1与cos1的大小关系中 表述正确的是 a sin1 cos1b sin1 cos1c sin1 opm mp om 故得sin1 cos1 答案选a 答案 a 点评 此类问题的解题思路在于将三角函数值化为单位圆中的某些线段 再用几何关系来判断大小 它的实质是数形结合的思想 跟踪训练 5 当x 时 求证 sinx x tanx 分析 本题可以分别利用单位圆中角x的正弦线 所对的弧长 正切线来表示sinx x和tanx 并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决 解析 如下图 设角x的终边与单位圆交于点p 单位圆与x轴交于点a 作pm x轴 垂足为m 作at x轴 交射线op于t 由三角函数定义知sinx mp tanx at x 弧ap的长 d b 1 利用三角函数定义求值常有两类题 一类是已知终边上一点的坐标 求三角函数值 终边上的已知点的坐标确定 三角函数值唯一 终边上的已知点的坐标以参数形式给出 需判断角所在