椭圆及其标准方程ppt课件.ppt

1 椭圆及其标准方程 2 思考1 取一条定长的细绳 把它的两端都固定在黑板的同一点处 套上笔 拉紧绳子 移动笔尖 这时笔尖画出的轨迹是 圆 思考2 如把细绳的两端拉开一段距离 分别固定在黑板的两点处 套上笔 拉紧绳子 移动笔尖 画出的轨迹是什么曲线 3 4 问题 笔尖滑动画椭圆的过程中 1 笔尖与两定点距离和有无变化 2 当两定点固定 对绳长有无要求 5 1 椭圆的定义 平面内到两个定点F1 F2的距离之和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 注意 1 M是椭圆上任意一点 且 MF1 MF2 常数 这个常数记为2a 焦距记为2c 且2a 2c 2 如果2a 2c 则M点的轨迹是线段F1F2 3 如果2a 2c 则M点的轨迹不存在 由三角形的性质知 6 O X Y F1 F2 M 如图所示 F1 F2为两定点 且 F1F2 2c 求平面内到两定点F1 F2距离之和为定值2a 2a 2c 的动点M的轨迹方程 解 以F1F2所在直线为X轴 F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系 则焦点F1 F2的坐标分别为 c 0 c 0 c 0 c 0 x y 设M x y 为所求轨迹上的任意一点 则 MF1 MF2 2a 7 O X Y F1 F2 M c 0 c 0 x y 两边平方得 a4 2a2cx c2x2 a2x2 2a2cx a2c2 a2y2 即 a2 c2 x2 a2y2 a2 a2 c2 因为2a 2c 即a c 所以a2 c2 0 令a2 c2 b2 其中b 0 代入上式可得 b2x2 a2y2 a2b2 两边同时除以a2b2得 a b 0 这个方程叫做椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在x轴上 8 O X Y F1 F2 M c 0 c 0 O X Y F1 F2 M 0 c 0 c 椭圆的标准方程的再认识 1 椭圆标准方程的形式 左边是两个分式的平方和 右边是1 2 椭圆的标准方程中三个参数a b c满足a2 b2 c2 3 由椭圆的标准方程可以求出三个参数a b c的值 4 椭圆的标准方程中 x2与y2的分母哪一个大 则焦点在哪一条轴上 9 椭圆的标准方程 定义 图形 方程 焦点 F c 0 F 0 c a b c之间的关系 c2 a2 b2 MF1 MF2 2a 小结 10 判定下列椭圆的焦点在哪个轴上 并指明a2 b2 写出焦点坐标 答 在X轴 3 0 和 3 0 答 在y轴 0 5 和 0 5 答 在y轴 0 1 和 0 1 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则 焦点在分母大的那个轴上 应用举例 11 应用举例 a 3 0 b 9 12 例1 填空 1 已知椭圆的方程为 则a b c 焦点坐标为 焦距等于 若CD为过左焦点F1的弦 则F2CD的周长为 5 4 3 3 0 3 0 6 20 F1 F2 C D 例题讲解 13 2 已知椭圆的方程为 则a b c 焦点坐标为 焦距等于 曲线上一点P到左焦点F1的距离为3 则点P到另一个焦点F2的距离等于 则F1PF2的周长为 2 1 0 1 0 1 2 14 例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程 1 满足a 4 b 1 焦点在X轴上的椭圆的标准方程为 2 满足a 4 c 焦点在Y轴上的椭圆的标准方程为 15 例3求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 两个焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上的一点P到两焦点距离的和等于10 变式 两个焦点的距离等于8 椭圆上的一点P到两焦点距离的和等于10 16 2 两个焦点的坐标分别是 0 2 0 2 并且椭圆经过点 变式 椭圆经过两点A B 17 例4 若方程4x2 ky2 1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆 求k的取值范围 解 由4x2 ky2 1 可得 因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆 所以 即 0 k 4 所以k的取值范围为0 k 4 18 三 小结 1 椭圆的定义 2 两种标准方程的比较 3 在求椭圆方程时 要弄清焦点在哪个轴上