度高中数学 1.3.2 球的体积和表面积同步辅导与检测课件 新人教A版必修2.ppt

空间几何体 1 3空间几何体的表面积与体积1 3 2球的体积和表面积 1 了解球的表面积和体积的计算公式 2 能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题 基础梳理 1 球的体积设球的半径为r 则球的体积v 练习1 一个球的半径是2 它的体积为 2 球的表面积设球的半径为r 则球的表面积s 即球的表面积等于它的大圆面积的 倍 练习2 一个球的半径是2 它的表面积是 练习3 一个球的表面积变为原来的一半 半径是原来的 倍 练习4 一个球的体积是36 它的表面积是 4 r2 4 16 36 1 用一个平面去截球体 截面是什么平面图形 试在球的轴截面图形中 展示截面图与球体之间的内在联系 思考应用 解析 可以想像 用一个平面去截球体 截面是圆面 在球的轴截面图中 截面圆与球的轴截面的关系如图所示 若球的半径为r 截面圆的半径为r oo d 在rt oo c中 oc2 oo 2 o c2 即r2 r2 d2 2 正方体的外接球和内切球的球心分别在正方体的什么位置 答案 都在正方体的中心 自测自评 1 若球的直径为1 则这个球的表面积为 a 4 b 2 c d 解析 球的半径为 球的表面积为4 2 答案 c2 两个球的半径之比为1 2 那么这两个球的体积之比为 a 1 2b 1 6c 1 8d 1 4解析 v1 v2 r13 r23 1 8 答案 c 3 两个半径为1的铁球 熔化成一个大球 这个大球的半径是 球的体积和表面积 把球的表面积扩大到原来的2倍 那么体积扩大为原来的 a 2倍b 2倍c 倍d 3倍解析 设改变前 后球的半径分别是r r 则由条件可知4 r 2 2 4 r2 r r v 答案 b 跟踪训练 1 若三个球的表面积之比是1 2 3 则它们的体积之比是 一个球内有相距9cm的两个平行截面 它们的面积分别为49 cm2和400 cm2 求球的表面积 解析 1 当截面在球心的同侧时 如图甲所示为球的轴截面 由球的截面性质知 ao1 bo2 且o1 o2分别为两截面圆的圆心 则oo1 ao1 oo2 bo2 设球的半径为r o2b2 49 o2b 7 cm o1a2 400 o1a 20 cm 设oo1 xcm 则oo2 x 9 cm 在rt oo1a中 r2 x2 202 在rt oo2b中 r2 x 9 2 72 x2 202 72 x 9 2 解得x 15 r2 x2 202 252 r 25 cm s球 4 r2 2500 cm2 球的表面积为2500 cm2 2 当截面在球心的两侧时 如图乙所示为球的轴截面 由球的截面性质知 o1a o2b 且o1 o2分别为两截面圆的圆心 则oo1 o1a oo2 o2b 设球的半径为r o2b2 49 o2b 7 cm o1a2 400 o1a 20 cm 设o1o xcm 则oo2 9 x cm 在rt oo1a中 r2 x2 400 在rt oo2b中 r2 9 x 2 49 x2 400 9 x 2 49 解得x 15 cm 不合题意 舍去 综上所述 球的表面积为2500 cm2 点评 球的轴截面 过球心的截面 是将球的问题 立体几何问题 转化为平面问题 圆的问题 的关键 因此在解决球的有关问题时 我们必须抓住球的轴截面 并充分利用它来分析解决问题 跟踪训练 2 用与球心距离为2的平面去截球 若球的体积为36 则所得截面圆的面积为 解析 设球的半径为r 则 r3 36 r 3 设截面圆的半径为r 则r2 32 22 5 截面圆的面积为5 答案 5 球的内接 外切几何体问题 有三个球 第一个球内切于正方体 第二个球与这个正方体各条棱相切 第三个球过这个正方体的各个顶点 求这三个球的表面积之比 解析 作出截面图 分别求出三个球的半径 设正方体的棱长为a 1 正方体的内切球球心是正方体的中心 切点是六个正方形的中心 经过四个切点及球心作截面 如图甲 所以有2r1 a r1 所以s1 4 r12 a2 2 球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点 过球心作正方体的对角面得截面 如图乙 所以有2r2 a r2 a 所以s2 4 r22 2 a2 3 正方体的各个顶点在球面上 过球心作正方体的对角面得截面 如图丙 所以有2r3 a r3 a 所以s3 4 r32 3 a2 综上可得s1 s2 s3 1 2 3 点评 解决与球有关组合体问题 可通过画过球心的截面来分析 下列结论常用 长方体的8个顶点在同一个球面 则长方体的体对角线是球的直径 球与正方体的六个面均相切 则球的直径等于正方体的棱长 球与正方体的8条棱均相切 则球的直径是正方体的面对角线 跟踪训练 3 一个六棱柱的底面是正六边形 其侧棱垂直于底面 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上 且该六棱柱的体积为 底面周长为3 则这个球的体积为 球的体积 表面积的综合应用 一个直径为32cm的圆柱形水桶中放入一个铁球 球全部没入水中后 水面升高9cm 则此球的半径为 cm 跟踪训练 4 半径为r的球o中有一内接圆柱 当圆柱的侧面积最大时 球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 1 若球的大圆周长是c 则这个球的表面积是 2 两个球的表面积之差为48 它们的大圆周长之和为12 这两个球的半径之差为 a 4b 3c 2d 1 解析 由4 r2