度高中数学 3.3.1 几何概型及其概率计算同步辅导与检测课件 新人教A版必修3.ppt

3 3几何概型3 3 1几何概型及其概率计算 概率 结合已学过两种随机事件发生的概率的方法 更进一步研究试验结果为无穷多时的概率问题理解几何概型的定义与计算公式 基础梳理 1 几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件 则称这样的概率模型为 简称为几何概型 例如 判断下列试验中事件a发生的概率是古典概型 还是几何概型 1 抛掷两颗骰子 求出现两个 4点 的概率 2 有一个时钟形转盘 甲乙两人玩转盘游戏 规定当指针指向数字12到数字6之间区域时 甲获胜 否则乙获胜 求甲获胜的概率 区域的长度 面积或体积 成比例几何概率模型例 1 古典概型 2 几何概型 2 在几何概型中 事件a概率计算公式为 p a 3 几何概型的特点 在一个区域内 只与该区域的 有关 4 几何概型与古典概型的区别 例如 一个人到单位的时间可能是8 00至9 00之间的任何一个时刻 那么他8 00到8 20到的概率是 思考应用 1 课本就平面的情形给出了几何概型 除此之外 几何概型还适用于哪些情形 解析 几何概型还适用于直线或空间的情形 只需将 面积 相应地改变为 长度 体积 几何概型并不限于向平面 或直线 空间 投点的试验 如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果 每个基本结果可以用平面 或直线 空间 中的一点来表示 而所有基本结果对应于一个区域 这时 与试验有关的问题即可利用几何概型来解决 2 几何概型有哪些基本特征 解析 几何概型的有两个基本特征 1 无限性 每次试验的结果有无穷多个 且全体结果可用一个有度量的区域来表示 2 等可能性 每次试验的各种结果是等可能的 几何概型的试验中 事件a的概率只与子区间域a的几何度量 长度 面积或体积 成比例 而与a的位置和形状无关 3 几何概型与古典概型有何区别 如何求得几何概型中事件a发生的概率 解析 古典概型具有有限性和等可能性 而几何概型则是在试验中出现无限多个结果 且仅与事件的区域长度有关 几何概型的概率计算公式 自测自评 1 如下图所示将一圆四等分 向圆盘内随机撒两粒小米 则两粒米都落在阴影部分的概率是 2 如下图所示在500ml的水中有一个草履虫 现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察 则发现草履虫的概率 a 0b 0 002c 0 004d 1 c 4 取一个边长为2a的正方形及其内切圆 如下图 随机向正方形内丢一粒豆子 豆子落入圆内的概率为 3 在区间 1 3 内的所有实数中 随机取一个实数x 则这个实数是不等式2x 5 0的解的概率为 a 与长度 角度有关的几何概型 1 如下图有两个转盘 转盘上每个扇形的面积都相等 甲 乙两人玩转盘游戏 规定当指针指向a区域 阴影部分 时 甲获胜 否则乙获胜 在两种情形下甲获胜的概率分别是多少 2 取一根长度为3米的绳子 拉直后在任意位置剪断 求剪得两段的长都不小于1米的概率 解析 1 在玩转盘时 指针指向转盘上任一位置都是随机的等可能的 也就是说试验的所有可能的结果 基本事件 有无限多个 而且每个基本事件的发生都是等可能的 因而甲获胜的概率只与字母a所在扇形区域的圆弧的长度有关 而与字母a所在区域的位置无关 只要字母a所在扇形区域的圆弧长度不变 不管这些区域是相邻还是不相邻 甲获胜的概率都是不变的 2 从每一个位置剪断绳子 都是一个基本事件 剪断位置有无穷多点 则基本事件有无限多个 而且每一个基本事件都是等可能的 因此事件发生的概率只与剪断的绳子的长度有关 设事件a 剪成两段的长都不小于1米 把绳子三等分 当剪断位置处在中间一段上时 事件a发生而中间一段长度 a 1 又 3 故 跟踪训练 1 公共汽车站每隔5min有一辆汽车通过 乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的 求乘客候车不超过3min的概率 分析 时间是连续型的 是无限的 在题设条件下这是几何概型 问题是 和a各是什么 解析 设a 候车时间不超过3min x表示乘客来到车站的时刻 那么每一个试验结果可表示为x 假定乘客到达车站后开来一辆公共汽车的时刻为t 据题意 乘客必然在 t 5 t 内来到车站 故 x t 5 x t 欲乘客候车时间不超过3min 必有t 3 x t 所以a x t 3 x t 点评 几何概型应用广泛 其难点是确定几何度量 本例中 设定乘客到站后开来一辆公共汽车的时刻t后 就容易写出 a 这里设 t 是关键 与面积有关的几何概型 如右下图在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板 上面画了小 中 大三个同心圆 半径分别为2cm 4cm 6cm 某人站在3m远向此板投镖 设投镖击中线上或没有击中木板时都不算 可重投 问 1 投中大圆内的概率是多少 2 投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少 3 投中大圆之外的概率是多少 解析 投中正方形木板上每一点 投中线上或没投中不算 都是一个基本事件 这一点可以是正方形木板上任意一点 因而基本事件有无限多个 且每个基本事件发生的可能性都相等 所以 投中某一部分的概率只与这部分的几何度量 面积 有关 这符合几何概型的条件 设事件a 投中大圆内 b 投中小圆与中圆形成的圆环 c 投中大圆之外 s正方形 162 256cm2 a s大圆 62 36 cm2 b s中圆 s小圆 42 22 12 cm2 c s正方形 s大圆 256 36 cm2 跟踪训练 2 如下图所示 在半径为1的半圆内 放置一个边长为0 5的正方形abcd 向半圆内任投一点 求该点落在正方形内的概率 与体积有关的几何概型 在1l高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子 从中随机取出10ml 含有小麦锈病种子的概率是多少 解析 由于带锈病的种子在1l小麦种子中的位置是随机的 所以随机取出10ml时 取到带锈病种子的概率只与所取种子样品的体积有关 这符合几何概型的条件 设事件a 取出的10ml麦种含有带小麦锈病的种子 a 10 ml 1 l 1000 ml 跟踪训练 3 有一杯2升的水 其中含有一个细菌 用一个小杯从这杯水中取出0 1升水 求小杯水中含有这个细菌的概率 分析 这个细菌所在的位置有无限个 属于几何概型 解析 判断这个细菌所在的位置看成一次试验 设小水杯中含有这个细菌为事件a 则事件a构成的区域体积是0 1l 全部试验结果构成的区域体积是2l 所以p a 0 05 点评 如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为几何体的体积 这种概率称为体积型的几何概型 则可按下列公式来计算其概率 转化为几何概型的概率问题 已知函数f x ax2 2bx a a b r 1 若a从集合 0 1 2 3 中任取一个元素 b从集合 0 1 2 3 中任取一个元素 求方程f x 0恰有两个不相等实根的概率 2 若b从区间 0 2 中任取一个数 a从区间 0 3 中任取一个数 求方程f x 0没有实根的概率 解析 1 a取集合 0 1 2 3 中任一个元素 b取集 0 1 2 3 中任取一个元素a b取值的情况是 0 0 0 1 0 2 1 0 1 1 1 2 2 0 2 1 2 2 3 0 3 1 3 2 0 3 1 3 2 3 3 3 其中第一个数表示a的取值 第二个数表示b的取值 即基本事件总数为16 设 方程f x 0恰有两个不相等的实根 为事件a 当a 0 b 0时 方程f x 0恰有两个不相等实根的充要条件为b a且a不等于零 当b a时 a b取值的情况有 1 2 1 3 2 3 即a包含的基本事件数为3 方程f x 0恰有两个不相等实根的概率 2 b从区间 0 2 中任取一个数 a从区间 0 3 中任取一个数 则试验的全部结果构成区域 a b 0 a 3 0 b 2 这是一个矩形区域 其面积s 2 3 6 设 方程f x 0没有实根 为事件b 则事件b所构成的区域为 a b 0 a 3 0 b 2 a b 其面积由几何概型的概率计算公式可得 方程f x 0没有实根的概率 跟踪训练 4 平面上画了一些彼此相距2a的平行线 把一枚半径r a的硬币任意掷在这个平面上 求硬币不与任何一条平行线相碰的概率 解析 把 硬币不与任一条平行线相碰 的事件记为事件a 为了确定硬币的位置 由硬币中心o向靠得最近的平行线引垂线om 垂足为m 如图所示 这样线段om长度 记作om 的取值范围就是 0 a 只有当r om a时硬币不与平行线相碰 所以所求事件a的概率就是 1 在古典概型中利用等可能性的概念 成功地解决了某一类问题的概率 不过 古典概型要求可能结果的总数必须有限 我们希望能把这种做法推广到无限多结果而又有某种等可能性的场合 得到随机事件的概率 这便是几何概型所能解决的问题 对于一个随机试验 如果我们将每个基本事件理解为从某特定的几何区域内随机地取一点 则这个区域就是基本事件空间对应的区域 如果该区域内的每一个点被取到的机会都一样 而事件a的发生则可以理解为恰好取上述区域内的某个指定区域内的点 这里的区域可以是线段 也可以是平面图形 立体图形 这样我们就把随机事件与几何区域联系在一起了 如右图 事件a理解为区域 的某一子区域a 事件a的概率只与子区域a的几何度量 长度 面积与体积 成正比 而与a的位置和形状无关 满足上述条件的试验称为几何概型 2 几何概型作为一种概率模型有两个特点 无限性和等可能性 几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的 都属于 比例算法 即随机事件a的概率可以用 事件a所包含的基本事件所占的图形的长度 面积或体积 与试验的基本事件空间所占的总长度 面积或体积 的比来表示 它的特征是在一区域内均匀分布 其概率只与区域的大小有关 而与区域的位置与形状无关 如果随机事件所在区域是一个点 由于单点的长度 面积 体积都是0 则它发生的概率为0 但它不是不可能事件 如果随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点 则它发生的概率为1 但它不是必然事件 这是几何概型与古典概型的重要区别 我们在解决几何概率问题时和古典概型的基本思路 步骤是一致的 计算方法上主要搞清 1 与长度有关的几何概型 2 与面积有关的几何概型 3 与体积有关的几何概型 3 计算几何概率就要先计算基本事件空间与事件a所包含的基本事件对应区域的几何度