度高中数学 2.3.3 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质同步辅导与检测课件 新人教A版必修2.ppt

2 3直线 平面垂直的判定及其性质2 3 3直线与平面垂直 平面与平面垂直的性质 点 直线 平面之间的位置关系 理解直线与平面垂直的性质定理 平面与平面垂直的性质定理 并能利用性质定理解决有关问题 了解直线与平面 平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系 基础梳理 1 直线与平面垂直的性质定理 平行 a b 练习1 正方体ac1中 求证ac 平面bb1d1d 证明 由正方体的性质可知ac bd bb1 平面ac 所以bb1 ac 因为bd与bb1相交 所以ac 平面bb1d1d 2 平面与平面垂直的性质定理 2 一个平面内交线垂直a a l线面 练习2 直线与平面不垂直 那么该直线与平面内的所有直线都不垂直对吗 错 思考应用 1 垂直于同一平面的两平面平行吗 解析 不一定 可能平行 也可能相交 如相邻的墙面与地面都垂直 但两墙面相交 2 两个平面垂直 其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直吗 解析 不一定 只有垂直于两平面的交线才能垂直于另一个平面 自测自评 1 若直线a 直线b 且a 平面 则有 a b b b c b d b 或b 2 两个平面互相垂直 一个平面内的一条直线与另一个平面 a 垂直b 平行c 平行或相交d 平行或相交或直线在另一个平面内 d d 3 若直线l 平面 直线m 平面 有下列四个命题 l m l m l m l m 其中正确的命题是 a b c d d 4 如图 adef的边af垂直于平面abcd af 2 cd 3 则ce 线面垂直性质的应用 如图 已知pa 矩形abcd所在平面 m n分别是ab pc的中点 1 求证 mn cd 2 若 pda 45 求证 mn 平面pcd 证明 1 取pd的中点e 连接ne 又n为pc中点 则ne cd ne cd 又 am cd am cd am綊ne 四边形amne为平行四边形 mn ae mn cd 2 当 pda 45 时 rt pad为等腰直角三角形 则ae pd 又mn ae mn pd 又pd cd d mn 平面pcd 点评 线面垂直是空间垂直关系的核心 是联系线线垂直 面面垂直 线面 面面平行的相互转化的桥梁 跟踪训练 1 已知 如图 直线a 直线b 且ab a ab b 平面 c 求证 ab c 证明 过点b引直线a a a 与b确定的平面设为 a a ab a ab a 又ab b a b b ab b c b c a c a c 又a a a c 由 可得c 又ab ab c 面面垂直性质的应用 如图 平面pab 平面abc 平面pac 平面abc ae 平面pbc e为垂足 1 求证 pa 平面abc 2 当e为 pbc的垂心时 求证 abc是直角三角形 证明 利用线面垂直的判定 面面垂直的性质来解 1 在平面abc内取一点d 作df ac于f 平面pac 平面abc 且交线为ac df 平面pac pa 平面pac df ap 作dg ab于g 同理可证dg ap dg df都在平面abc内 且dg df d pa 平面abc 2 连接be并延长交pc于h e是 pbc的垂心 pc be 又已知ae是平面pbc的垂线 pc ae 又 be ae e pc 平面abe pc ab 又 pa 平面abc pa ab ab 平面pac ab ac 即 abc是直角三角形 点评 证明线面垂直 面面垂直 线线垂直不要局限于一个方面 有时需考虑多种情况的综合 跟踪训练 2 2012 广东高考理 如图所示 在四棱锥p abcd中 底面abcd为矩形 pa 平面abcd 点e在线段pc上 pc 平面bde 1 证明 bd 平面pac 2 若pa 1 ad 2 求二面角b pc a的正切值 综合应用 如图所示 在四棱锥pabcd中 底面abcd是 dab 60 且边长为a的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 求证 ad pb 2 若e为bc边的中点 能否在棱上找到一点f 使平面def 平面abcd 并证明你的结论 解析 1 证明 设g为ad的中点 连接pg pad为正三角形 pg ad 在菱形abcd中 dab 60 g为ad的中点 bg ad 又bg pg g ad 平面pgb pb 平面pgb ad pb 2 当f为pc的中点时 满足平面def 平面abcd 取pc的中点f 连接de ef df 在 pbc中 fe pb 在菱形abcd中 gb de 而fe 平面def de 平面def ef de e pb 平面pgb gb 平面pgb pb gb b 平面def 平面pgb 由 1 得pg 平面abcd 而pg 平面pgb 平面pgb 平面abcd 平面def 平面abcd 点评 空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则 解题时要抓住几何图形自身的特点 如等腰 边 三角形的三线合一 中位线定理 菱形的对角线互相垂直等等 还可以通过解三角形 产生一些题目所需要的条件 对于一些较复杂的问题 注意应用转化思想解决问题 跟踪训练 3 如图 在三棱锥pabc中 pab是等边三角形 pac pbc 90 1 证明 ab pc 2 若pc 4 且平面pac 平面pbc 求三棱锥p abc的体积 解析 证明 1 因为 pab是等边三角形 所以pb pa 因为 pac pbc 90 pc pc 所以rt pbc rt pac 所以ac bc 如图 取ab中点d 连接pd cd 则pd ab cd ab 又因为pd cd d 所以ab 平面pdc 所以ab pc 2 作be pc 垂足为e 连接ae 因为rt pbc rt pac 所以ae pc ae be 由已知 平面pac 平面pbc 故 aeb 90 因为 aeb 90 peb 90 ae be ab pb 所以rt aeb rt bep 所以 aeb peb ceb都是等腰直角三角形 由已知pc 4 得ae be 2 aeb的面积s 2 因为pc 平面aeb 所以三棱锥p abc的体积v s pc 1 若直线a与平面 不垂直 那么在平面 内与直线a垂直的直线 a 只有一条b 有无数条c 是平面 内的所有直线d 不存在 解析 找到a在平面 内的射影 在平面 内有无数条直线与射影垂直 也与a垂直 答案 b 2 在正方体abcd a1b1c1d1中 若e是a1c1的中点 则直线ce垂直于 a acb bdc a1dd a1d1 解析 bd ac bd cc1 ac cc1 c bd 平面a1acc1 bd ce 答案 b 1 1 直线与平面垂直的性质 定义 若a b 则a b 性质定理 a b 则a b a a 则 2 平面与平面垂直的性质 性质定