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三峡升船机船厢防撞梁动力问题研究 摘要 为防止船和船队在进入升船机的时候碰撞船厢的端门，必须在船厢中设置防撞装 置。设计上一般采用在防撞梁两端设置缓冲油缸和直接设置简支粱的措施来吸收能量， 达到消减撞击力保护通航设施的目的。在三峡大坝升船机船厢中，采用设置油缸会加重 船厢负担，所以采用设置防撞梁的办法。 前人在此类问题上多用静力学方式解决，即将船对防撞梁的冲击等效为一个集中静 力的加载，这种方式的好处是计算简单明了，但是并不与实际情况相符合。在三峡工程 中，船进出船厢是个动态的过程，对梁的破坏也应该从动力学的角度考虑。 本文算例在采用塑形静力模型的时候，采用切线刚度，逐步加载，在弹性范围内结 果与弹性求解结果致。本文先后建立了两个模型，首先以较小速度求解塑形动力模型， 当速度接近零时，计算结果与静力结果基本一致。在此基础上，本文又添加了对碰撞一 接触的考虑，采用了碰撞接触模型，给出因为过船速度不同而造成的梁的损伤，使之更 加接近三峡升船机船厢实际情况，具有一定的工程意义。 用这两卜模型进行计算，结果表明，采用静力分析模型的弹塑性简支梁设计是偏于 危险的，建议采用弹塑性动力模型或者碰撞接触模型。 关键词：防撞梁塑性变形动力学模型碰撞接触 三峡升船机船厢防掩粱动力问题研究 a b s t r a e t c o n t a c t i m p a c tp h e n o m e n aa r ei n e v i t a b l y e n c o u n t e r e db e t w e e ns h i p sa n dc a b i n so f s h i p l i f t e ri nt h et h r e eg o r g e sp r o j e c ta st h es h i p sa r ep a s s i n gi na n do u to ft h ec a b i n s i n o r d e rt op r o t e c tt h ee q u i p m e n t s a n t i c o l l i s i o ne q u i p m e n t sa r eo f t e nn e c e s s a r yt om i n i m i z et h e a d v e r s ee f f e c t sc a u s e db yt h ec o l l i s i o n s i np r a c t i c e ，a n t i c o l l i s i o ng i r d e rw i t hc u s h i o ni a r s f i x e da ti t se n d so rs i m p l es u p p o r t e da n t i - c o l l i s i o ng i r d e ra r eu s u a h ya d o p t e dt oa b s o r bt h e k i n e t i ce n e r g y a n d t o r e d u c e t h e i m p a c t f o r o e d t l e t o t h e l i m i t a t i o n o f t h e l i f t i n g w e i g h t o f t h e l i f l e r , t h el a t t e rf o r r ni sa d o p t e d i nt h et l l r e eg o r g e sp r o j e c ts h i p l i f t e r t r a d i t i o n a l l y , t h e c o l l i s i o nb e h a v i o rw a s s i m p l y c o n s i d e r e d b ya p p r o x i m a t i n gt h e c o l l i s i o np r o c e s sa sa ne q u i v a l e n tp o i n ts t a t i cf o r c ei m p o s e do nt h ea n t i c o l l i s i o n g i r d e r , h o w e v e r ，i no r d e rt o o b t a i nam o r ep r e c i s ea n a l y s i sr e s u l tw h i c hm e e t st h er e a l p r a c t i c a l p r o b l e m sb e t t e r , d y n a m i cm o d e l st a k i n gi n t oa c c o u n t t h ei n e r t i ae f f e c t ss h o u l db ec o n s i d e r e d u s i n gt h ed y n a m i cm o d e li n v o l v i n g t h e p l a s t i cd e f o r m a t i o n ，t h i sp a p e rp r e s e n t s t l l e n u m e r i c a ls i m u l a t i o no ft h er e s p o n s e so ft h ea n t i c o l l i s i o ng i r d e ro ft h et h r e eg o r g e ss h i p 1 i f t e r s t h er e s p o n s eo ft l ea n t i c o l l i s i o ng i r d e rw h e nt h ei n i t i a lv e l o c i t yo ft h es h i pi sa l m o s t z e r oa r ec a l c u l a t e da n dc o m p a r e dt h e mw i 血t h o s eu s i n gs t a t i ca n a l y s i sm e t h o d s i na d d i t i o n ， t h ee v a l u a t i o n so ft h ea n t i c o l l i s i o ng i r d e r sd a m a g e sc a u s e db vm ec o l l i s i o na r ed i s c u s s e d b a s e do nt h er e s p o n s e so ft h ea n t i c o l l i s i o ng i r d e r0 b t a i n e du n d e rd i f f e r e n ti n i t i 8 lv e l o e i t yo f t h es h i p ，w h i c hs e e mt ob em u c hm o r ew o r t h i h e s sf o rp r a c t i c e t h er e s u l t ss h o wt h a te l a s t o p l a s t i cd e s i g no ft h es i m p l es u p p o r t e db e a mi sd a n g e r o u s u s i n gt h e s t a t i ca n a l y t i cm o d e l t h ed y n a m i cm o d e ls h o u l db eu s e di 1 1t 1 1 ep r o j e c t k e y w o r d s ：a n t i - c o l l i s i o ng i r d e r p l a s t i cd e f o r m a t i o n d y n a m i c a l m o d e l s l l 三峡升船帆船厢防撞粱动力问题研究 1 前言 本课题属于三峡升船机课题中的子问题。在三峡升船机中，承船厢是一个具有前后 端门、双侧面和底面都封闭的矩形方箱子。船只和船队进入船厢时，尽管速度很慢，仍 有失控撞击船厢端门的危险，因此在船厢两端门前要设置防撞梁。现有设计思想是简支 梁防撞，液压油缸缓冲吸能。文献【1 给出了一个弹塑性梁吸能并且防撞的设计思想。采 用这方案可以取消缓冲油缸系统，并使防撞梁的升降更简单、方便和有效。然而对弹 塑性的吸能和防撞能力的估算上采用的是静力模型。 本文阻线弹性动力模型、弹塑性动力模型和碰撞模型分别估算了防撞梁的吸能和防 撞能力，给出了一些对防撞梁设计有参考价值的结果。 1 1 三峡升船机整体介绍 三峡工程升船机是三峡工程中的重要通航建筑物，它与双线五级船闸一起构成了三 峡工程通航建筑物的整体，并且与葛洲坝工程的两线三闸相配套口”。随着三峡二期工 程的结束，1 3 5 米蓄水顺利实现，五级船闸按原计划将在2 0 0 3 年6 月1 5 同试通航。由 于设计船闸过坝时间为2 小时4 0 分钟( 还不包括排队等候的时间) ，客船和旅游船暂时 都采用公路转运过坝方案。三峡升船机是船只过坝的快速通道，设计升降速度1 2 米，分 钟，当上下游水位差为最大的1 1 3 米时，采用升船机，过坝时间只需1 0 分钟，当然这 不包括船只等候和进出船厢的时间。三峡工程升船机是三期工程中的主要工程建筑物， 目前，其基本方案已经确定，f 在做详细的工程设计。 升船机，有一矩形承船厢，比设计过坝船只略大，两边有活动闸门供船只进出。船 只进入承船厢后关闭闸门，开动升船机构，把承船厢连同厢内的水和船只一起提升或降 落，当与上游库区或下游河道相接时，就打开闸门让船只驶出承船厢，达到快速通航的 目的。 目前国内外在这方面的研究很少，就国外而言，建成规模且正在使用的升船机有比 利时、德国等国家，但遗憾的是，比利时有关方面的资料不公开，所以也无从得知。国 内方面，上海交通大学和华中理工大学都做过一些研究，但有些思想不够成熟。随着三 峡工程的进展，此项目必须得到很好的研究，同时也必将得到国内外学者的关注。根掘 三峡水利枢纽1 7 5 米分期蓄水方案升船机及金属结构可行性研究报告( 水利电力部 长江流域规划办公室枢纽设计处) ，现在国内外已建成和正在建设中的垂直升船机有： 1 9 7 5 年，德国吕内堡，易北河支运河，双线平衡垂直升船机，规模1 0 0 米1 2 米 3 5 米，总提升重量5 7 0 0 吨，船1 3 0 0 吨，提升高度3 8 米，提升方式为齿轮齿轨爬升。 1 9 8 8 年，比利时斯特勒比一蒂厄，中央运河，双线平衡垂直升船机，规模1 1 2 米 1 2 米x 3 5 4 3 米，总提升重量7 5 0 0 8 8 0 0 吨，船1 3 0 0 吨，提升高度7 3 米，提升方式为 钢丝绳卷扬。 在建，中国湖北三峡，长江，平衡垂直升船机，规模 2 0 米x1 8 米3 5 米，总提 兰峡升船机船厢防撞梁动力问题研究 升重量1 1 5 0 0 吨，船3 0 0 0 吨，提升高度1 1 3 米。 按照三峡升船机功能和结构特点以及接1 3 条件弱的原则，可把三峡升船机主要分成 四个大子系统：平衡重子系统，主体升子系统，船厢子系统，和塔柱子系统，见图卜l ： 图卜1 三峡升船机系统化分幽 f i g 1 - 1t h es u b s y s t e me f t h es h i p l i f t e r 1 2 问题的提出和前人的研究 1 2 1 问题的提出 掘葛洲坝船闸运行记录，几乎每年都会发生若干次船只撞击闸门的事件。在船只进 入升船机船厢时，也有可能意外地撞击船厢端门。如果撞击导致船厢漏水，则会发生严 重的事故，所以在船厢端门前设置防撞装置是必须的。该防撞装置不仅必须有效抵挡船 只可能的碰撞，还要方便地下降到船厢底部以保证船只通行，使用时，再将其升到水面 上用以防撞。 在已往的升船机防撞梁设计上，多采用油缸设备，前设简支梁，当船与简支梁碰撞， 梁挤压油缸，油从油缸后部小孔喷出，用以吸收船施加在防撞梁上的动能，如图所示， 例1 - 2 防撞粱缓冲油缸示意图 f i g 1 - 2s k e t c h m a p o f t h es y s t e m o f a n t i c e l l i s i o n g i r d e ra n d b u m p e r 采用油缸形式的好处是，用油缸的压力变化来吸收船的动能，整个过程安全可靠， 而且已经有许多工程实例的证明。但是在三峡工程中，升船机总提升重量达到1 1 8 0 0 吨， 需要尽量减少提升重量。防撞梁的提升和降落需要用到液压油缸，这就造成一个防撞装 置需要两套油缸设备，一套用于提升和降落，另一套用于吸收船冲击的动能。这样的装 三峡升船机船腼防撞粱动力问题研究 置造成重复和浪费，而且在设计上也带来了麻烦，长江设计院工程师廖乐康m 提出，可 以考虑将缓冲油缸去掉，仅靠防撞梁的塑性变形能吸收船的动能。 1 2 2 前人的研究 大量的文献对防撞梁的可行性进行了论述，如贾福音、魏华、范鸣洛1 2 】等在】9 9 6 年发表觞文章缓冲装置、托罐装置及防撞粱的研究中对过卷过放缓冲装置、托罐装 置的现状、防撞梁的性能和特点进行了分析，从理论上分析了提升系统过卷制动的力学 模型，并根据我国矿井的情况设计了满足新煤矿安全规程要求的整套装置。实践表 明，整套装置的选型是可靠的，作为立井提升常备后备保护其性能是十分理想的，主要 优点有，托罐装置结构简单动作灵活可靠，柔性托罐安装方便；防撞梁为组装式，安 装方便，用时少，不影响原提升系统；过卷过放缓冲装置性能可靠，调力准确方便，防 水防锈性好。 在朱真才、葛世荣、尚彦军1 3 11 9 9 8 年发表的文章摩擦提升设置防撞梁及托罐装置 的探讨中对多绳摩擦提升设置防撞粱及托罐装置的必要往、防撞梁荷载、托罐装置荷 载进行了探讨，并对完善摩擦提升防过卷安全设施提出了几点建议。 1 9 9 9 年，廖维恒、周新生、樊银辉f 4 1 在文章多绳摩擦轮绞车提升容器起吊装置 中提出一种思想，即利用煤矿井下常用回柱绞车和井塔防撞梁，组合成提升容器起吊装 置，安全可靠，操作方便，为提升系统的检修工作创造了必要条件。 随着三峡问题的深入，防撞梁的研究和计算逐渐完善，比较有代表性的是余友安、 廖乐康1 在1 9 9 8 年的文章通航设施防撞梁的塑性吸能原理与应用。在该文中，作者 提到内河船队过船闸或升船机时不可避免地会碰撞船闸或承船厢体，故须在通航设_ 玉每上 设置防撞装置。根据塑性动力学原理，利用控制在一定范围内的塑性变形来承受碰撞所 产坐的位移，这种设想是可行的。同时，作者依据船舶及防撞梁的动力与结构特性，提 出船只碰撞停止时间、移动距离、碰撞力和塑性铰吸能的简明公式，以工程算例说明了 具体的应用步骤。这种新的分析研究方法为解决大吨位船队过闸的碰撞问题，提供了具 有实际应用价值的途径。 在其他文献中5 h 7 1 ，还提到了一些吸能方式，如飞轮、柔索等等，大多都是根据塑 性变形能吸收动能，与防撞梁的基本思想是一致的。 1 3 本文的主要工作 升船机船厢的防撞梁，既要在船只进入船厢时起到防止船撞到前端厢门的作用，还 要在船只通过时方便地沉入船厢底部，以不妨碍船只通行。 带有缓冲油缸的防撞梁设计比较简单可靠，可以较为准确地估算出碰撞力的大小。 然而连同缓冲油缸一起升降，又显得太笨重，而且在大型水利工程中会使整个结构的稳 定性有所降低。因此产生了一种新思想，就是去掉油缸，靠弹塑性梁的塑性变形能吸收 能量。但是没有了缓冲油缸，碰撞力大小的确定就成了难点问题。防撞梁的两端，固定 三峡升船机冉恃厢防撞梁动力问题研究 在船厢两侧壁上，而船厢本身又作为弹性体与升船机升降导轨相连，这是一个非常麻烦 的工程实体。但由于船厢是弹性体而非刚体，所以，船对于防撞梁的作用可以简化为集 中质量与两端简支梁作用。这个简支梁是作为一个子结构模式以两端为出口点与船箱连 接的，船箱由1 9 2 根钢丝绳悬吊在塔柱上并有导轨限制水平移动并与支撑塔柱连接。本着 解决这些难点的原则，本文先后做了两次假设，从而得到两种动力模型 1t 3 1 第一次假设及其动力模型 根据材料力学相关知识，当物体与目标进行碰撞时，产生的动载荷要远远大于静载 荷。在三峡工程中，船对防撞梁的作用并不局限于准静态的接触，因为船的质量相对于 梁很大，其惯性成为破坏梁的不可忽略的因素。 本文首先采用碰撞后船和防撞梁不分离的假定，把船看成梁上撞击点处具有初速度 的集中质量，这样问题就简化为，一段简支梁，中间存在集中质量( 集中质量包含船 的质量和附连水质量，这是长委设计院工程师的观点，不妨采用) ，集中质量具有初速 度，也就是船与防撞梁接触时的速度。这个假定由于船质薰远远大于梁质量，所以在船 与梁接触后与其一起运动，两者不分离，应该比较接近实际情况。而且验证的结果表明， 尽管碰撞速度很小( 不超过1 ，0 m s ) ，还是应该考虑动力效应，否则设计偏于危险。 1 3 2 第二次假设及其动力模型 在动力分析中，判断船与附加质量加载在防撞梁上的瞬态等效载荷也是一大难点， 同时无法较为准确地判断出船和防撞梁的接触时间。在第一次假设中假设船和防撞粱接 触之后不分离，是否真的与实际情况相符合，这些问题就促使本文做了第二次假设，即 假设在三峡工程实际问题中，船对于防撞梁的作用是一个接触一碰撞的过程。本文在前 人的基础上，根据碰撞冲击的基本原理，对防撞梁的设计提出新的理论依据。 从力学分析的角度来看，接触是一类边界条件高度非线性的复杂问题，属于带单侧 约束条件的变分问题。这类问题所共有的特点是物体受力变形前往往无法确定接触区域 的大小，雨需要通过变分来确定。目前关于接触问题的变分提法有两种：变分不等式提 法和变分等式提法。在变分不等式提法中，描述力学系统的基本控制方程、边界条件、 初始条件和接触条件被统一的表述为一变分不等式，该提法的数学表达式十分紧凑，而 且对于一些特殊问题已经证明了解的存在性和唯一性。通常情况下，在数值上求解变分 不等式问题时都要将它化为一等价的约束优化模型，进而采用数学规划中的最优化方法 求解。然而由于一些复杂接触问题( 如摩擦接触问题) 的变分不等式找不到与之等价的 约束优化模型，因而在数值计算上变分不等式提法受到问题规模和复杂性的限制。相反， 理论基础不太完善的变分等式提法却成功的被用来求解各类大规模、复杂非线性问题。 本文利用大型力学有限元软件a n s y s ，对此接触一碰撞问题作了计算，通过调整前 处理中网格的密度、选取合适的单元类型，使计算结果收敛较好，能充分模拟船与防撞 梁碰撞的结果。同时能看到接触面处梁的破坏情况，这是静力学分析和弹塑性动力学分 4 三峡升船机船厢防掩梁动力问题研究 析所不能达到的。 1 4 本章小结 文章主要介绍了三峡升船机的整体结构，对前人在防撞梁的计算作了简单介绍。本 文采用有限元方法【9 】，对防撞梁进行了计算。利用程序对静力载荷下的防撞梁求解，而 且防撞粱分别用梁单元”0 1 和壳单元两种单元形式进行计算。并将结果与解析结果相比 较，数值解与理论解拟合得很好。第二步将船简化成质点模型，使之分布在防撞梁几个 节点上震动，首先在线弹性范围内求解，然后在弹塑性范围内求解。第三步采用碰撞接 触的基本理论 1 2 1 ，将船体简化为块体，以一定初速度与防撞梁碰撞，因为块体与防撞梁 接触只能发生在面与面之间，而梁单元是二维单元，不能进行动接触计算，由于接触 碰撞问题计算的难度较大，是现今力学界比较热门的问题，所以采用了大型有限元软件 a n s y s 进行计算，模拟实际情况。实践证明，在此类问题上，壳单元与梁单元的计算 结果是吻合的。 在下面的章节中，将对弹塑性相关概念和解决本问题的有限元计算方法进行详细的 介绍，并在最后的算例中给出三种计算方法的比较，论证了前人仅仅采用静力学的方法 来设计防撞梁偏于危险，是不可行的，而如果船的质量和与梁接触时的速度有一定限度 的话，采用弹塑性动力分析方法是完全可行的，但是船的速度比较大，或者不能保证以 多大的速度与梁接触，就一定要采用接触一碰撞的分析方法，这样才能确保过船的安全。 三峡升船机船厢防撞梁动力问题研究 2 基本理论概念与方法 2 1 塑性静力学的基本概念与一般计算方法 2 1 1 材料弹塑性行为的描述 弹塑性材料进入塑性的特征是当载荷卸去以后存在不可恢复的永久变形，因而在涉 及卸载的情况下，应力应变之间不再存在位移的对应关系，这是区别于非线性弹性材料 的基本属性】。以材料的单向受力情况为例，只是加载时应力应变里非线性关系，还不 足以判定材料是非线性弹性还是弹塑性，但是一经卸载立即发生两者的区别。非线性弹 性材料将延原路径返回，而弹塑性材料将依据不同的加载历史卸载后产生不同的永久变 形。 1 。单调加载 对于大多数材料来说，存在一个比较明显的极限( 屈服) 应力盯。应力低于仃。时， 材料保持为弹性。而当应力到达仃。以后，则材料开始进入弹塑性状态。如继续加载， 而后再卸载，材料中将保留永久的塑性变形。如果应力到达盯。以后，不再增加，而材 料的变形可以继续增加，即变形处于不定的流动状态，则称材料为理性弹塑性材料。反 之如果应力到达叮。以后，再增加变形，应力也必须增加，则称材料是应变硬化的。这 时候应力口。( 下标表示应力已经进入弹塑性状态) 是塑性应交s 。的函数，可解析地表 示为： 吒= 吼( s 。)( 2 - 1 ) 这硬化性质还表现为如果再某个应力值盯，( o s 。) 卸载，然后再加载，材料重新进入塑 性地应力值将不是原来的初始屈服应力仃。，一般情况下将等于卸载时的应力町。 2 反向加载 对于硬化材料，在一个方向( 例如拉伸) 加载进入塑性以后，在o - = 仃，时卸载，, 并反向( 压缩) 加在，真至进入新的塑性。这新的屈服应力盯，通常在数值上既不等于 材料的初始屈服应力o - 。，也不等于卸载时的应力仃胪如果l o s i = o r ，则称材料为各 向同性硬化的：如果盯。一o a ，= 2 0 ，则称材料为运动( 随动) 硬化的。如果处于上述 情况之间，即i 以i | 2 d o ，则称材料是混合硬化的。 还应指出，材料在反向进入塑性以后，应力应变曲线在一般情况下不同于原来在正 向进入塑性以后的盯，= 盯，( 吒) 。因此通常需要根据材料实验的结果，定义新的 盯。= 盯，( s 。) 来描述材料从卸载并在反向再进入塑性后的弹塑性行为，而且。常常应是 从新的屈服点盯。，开始计算的。 3 循环加载 循环加载是指在上述反向进入塑性变形以后，载荷再反转，即进入正向，又一次到 达新的屈服点和进入新的塑性变形，如此反复循环。称每次从载荷反转点盯。( f 代表 应力反转的次数) 开始，沿此方向加载到新的屈服应力a 。后，继续塑性变形直至下一 6 峡升船机船厢防撞粱动力问题研究 个载荷反转点盯，为一个加载分支。般说来，每一个加载分支的材料应力应变曲线 是不同的。但是，材料实验结果表明，通常情况下，除第一个分支( 初始单调加载至 第一个应力反转点盯。) 和第二个分支( 第一次应力反转点盯。到第二个应力反转点盯，) 的曲线形状有明显的区别。从第二个分支开始，以后各个分支都是相似的，也即它们 之间的变化是有规律的。通常在等幅应变控制的循环加载条件下，材料呈现循环硬( 软) 化特性，即材料硬( 软) 化性质不断增强，直至最后趋于稳定。在不等幅应变控制的 循环加载条件下，材料呈现循环松弛特性。即循环过程中平均应力不断减小，并通常 以趋于0 为极限。而在不等幅应力控制的循环加载条件下，材料呈现循环蠕变特性， 即平均应变不断递增，这种特性又称棘轮效应。 2 1 2 塑性力学的基本法则 1 初始屈服条件 此条件规定材料开始塑性变形的应力状态。对于初始各向同性材料，在一般应力 状态下开始进入塑性流动的条件是， f oe f o ( 0 - 0 ) ( 2 - 2 ) 其中盯。表示应力张量分析，f 。( 0 - 0 ) 的几何意义可以理解为九维应力空间的一个超 曲面。 对于金属材料，通常采用的屈服条件是， ( 1 ) v m i s e s 条件 耿，= 扣。一孚= 。 其中是盯。材料的初始屈服应力。 s = 一仃。毛是偏斜应力张量分量 k r o n e c k e r 常数，并且有以下关系， ( 2 3 ) o m ：1 ( q 。q - o 2 2 + 盯。) 是平均正应力，气是 j 1于2 2 了刮z ( 2 4 ) 其中于是等效应力， 是第二应力不变量。 在三维主应力空间，v m i s e s 屈服条件可以表示为， f 。( ) = 去吗) 2 + ( 仃：一q ) 2 + ( 毋1 ) 2 一j 1 0 。2 = o ( 2 - 5 ) 其中q ，是三个主应力，上式的几何意义是以0 - ，= 盯：= q 为轴线的圆柱面。 在过原点o 、并垂直于直线盯= 0 - ：= 0 - 3 的平面万上，屈服函数的轨迹是半径为0 - 。的一 圆周。而在= 0 的平面上( 即0 - ，口2 子空间) 屈服函数的轨迹是一椭圆，它的长半轴 为2 盯一短半轴为为盯。 三峡升船机船厢防撞粱动力问题研究 ( 2 ) t r e s c a 条件 f a ( 盯。) = ( 盯；一口，) 2 一叮三 ( a ：一盯，) 2 一仃三 ( d ：一a ，) 2 一盯三 ( 2 - 6 3 它的主应力空间是以盯。= 盯：= 0 3 为轴线并内接v m i s e s 圆柱面的正六棱柱面， 在石平面上的屈服轨迹是内接m i s e s 屈服轨迹的正六边形，同样，在q ，子空间t r e s c a 屈服轨逊也是内接m i s e s 屈服轨迩的六边形。 比较上述两个屈服条件可见t r e s c a 条件偏于安全，但两者相差不大，从数学的角 度上看t r e s c a 屈服函数在棱边处( 或屈服轨迹在六边形的角点处) 的导数是不存在的。 所以在使用上不如m i s e s 屈服函数方便，因此在有限元分析中通常只采用v m i s e s 届 服条件。 2 流动法则 流动法则规定塑性应变增量的分量和应力分量以及应力增量分量之间的关系。 v m i s e s 流动法则假设塑性应变增量可从塑性势导出，即 d g , j r ：d 罢( 2 - 7 ) 口。口 其中d 彰是塑性应变增量的分量，d 2 是一正的待定有限量，它的具体数值和材料硬化 法则有关。g 是塑性势函数，一般说它是应力状态和塑性应变的函数。对于稳定的应变 硬化材料，q 通常取和后继屈服函数相同的形式，称之为和屈服函数相关联的塑性势。 对于关联塑性情况，流动法则表示为， 蟛= d 罢 ( 2 8 ) u 口u 从微分学知识知道，a f a 定义的向量正是沿应力空间内后继屈服面f = 0 的法线方 向，所以m i s e s 流动法则又称法向流动法则。 3 硬化法则 硬化法则规定材料进入塑形变形后的后继屈服函数( 又称加载函数或者加载曲面) 。 一般说来加载函数能采用以下形式， ，( 吒，譬，k ) = 0 ( 2 _ 9 ) 其中k 是硬化参数，它依赖于变形的历史。现时的塑性应变醪不一定显式地出现在 加载函数中，可能通过k 隐式地包含在f 当中。 对于理想弹塑性材料，因无硬化效应，显然后继屈服函数和初始屈服函数一致，即， f ( ，七) = f o ( ) = o ( 2 一l o ) 三峡升船机船月i j 防撞梁动力问题研究 对于硬化材料，通常采用以下几种硬化法则： ( 1 ) 各囱同性硬化法魁 此法则规定材料在进入塑性变形以后，加载曲面在各方向均匀向外扩张，而其形状、 中心及其在应力空间的方位均保持不变。例如对于0 3 = 0 的情况，初始屈服轨迹和后继 屈服轨迹如图所示。如采用m i s e s 屈啦条 牛。则各向同性硬化的后继屈服函数可以表示 为， f ( ，k ) = ，一七：0 f ：姜铲u ( 2 - 1 1 ) 七= 扛( 矿) 其中盯，是现时的弹塑性应力，它是等效塑性应变矿的函数。 虿9 = i d y ”= ( ；d d 5 ( ：一，z ) q ( 扩) 可从材料的单轴拉伸试验盯一占曲线得到，定义， 9 = 万d o s ( 2 - 1 3 )a 5 为材料塑性模量，又称硬化系数。它和弹性模量e 以及切线模量e = d 0 - d s 的关系是， e ”= 面e e i ( 2 - 1 4 )e e 需要指出，各向同性硬化法则主要适合用于单调加载情况，如果用于卸载情况，它 只适合反向屈服应力o s 等于应力反转点o r 。的材料，而通常材料不具有这种性质，因此 塑性力学中还发展了其他硬化法则。 ( 2 ) 运动硬化法则 此法则规定材料在进入塑性以后，加载曲面在应力空间作一刚体移动，而其形状、 大小和方位均保持不变。后继屈服函数可表示为， f ( ，) = o ( 2 1 5 ) 其中是加载曲面的中心在应力空间中的移动张量。它与材料硬化特性以及变形历史 有关。根据其具体规定不同，运动硬化法则又有两种形式， ( i ) p r a g e r 运动硬化法则 三峡升船机船厢防撞梁动力问题研究 规定加载曲面中心的移动是在表征现时应力状态的应力点的法线方向。如采用 m i s e s 屈服条件，则p r a g e r 运动硬化法则的后继屈服函数是， f ( ，) = f - k o = o ( 2 1 6 ) 其中，= 圭( 一) ( 一) ，= ； 因为规定是沿现时应力点的法向方向，所以， d c t , ) = c d 譬= 甜a 羔= c d ( 矗一) ( 2 - 1 7 ) 根据应力点应保持在移动后的屈服曲面上的条件，即， 旦一( 峨一毗) = o (218)0( 7 _ 口， 、 并考虑初始加载时运动硬化法则和备向同性硬化法则等效，则可证明， c = ；熹= 2 _ ，e 4 ( 2 - 1 9 )f 了茄23 。 将上式代入( 2 - 1 7 ) ，则可得， d 口f = e 9 d a ( s o - c t o ) ( 2 2 0 ) 以上各式中，= 胁，材料处于初始状态时，吩：o 。 应当指出，p r a g e r 运动法n - 般说只能应用于九维应力空问，因为在此情况下，初 始屈服曲面和后继屈服曲面保持形式上的一致性。而在各个子应力空间，常常不具有这 种一致性。例如平面应力状态的初始屈服曲面是在盯；，仃，三维子空间，而根据p r a g e r 运动硬化法则，移动张量是在0 ，0 ，最，四维子空间，因此无法在q ，c r y ，子空间 描述后继屈服面。这种不一致性使p r a g e r 运动法则的应用发生了困难，因此z e i g l e r 提 出了适用于应力子空间的修正运动硬化法则。 ( i i ) z e i g l e r 修正运动硬化法则 规定加载益面沿联结其中心和观时应力点的向量方向移动，这时后继屈服函数是， f ( o - f ，) _ 厂一= 0 ( 2 2 1 ) 其中，厂= 圭( 屯一毛) ( 呀一啄) ，= 3 0 - 啄是移动张量的偏斜分量，即， 西4 = c cu a 。6 q 1 口。：；( d 。+ 吃：+ 口。) 2 - 2 2 而移动方向如上述所规定，所以 d = d 卢( 仃f 一毛) ( 2 - 2 3 ) 三坡升船机船厢防撞粱动力问题研究 其中是有待确定的常数。用和导出( 2 1 9 ) 类似的步骤，可以得到， 9 d , u = 詈e 9 d 2( 2 - 2 4 ) 代入( 2 - 2 3 ) 可得， d = 专e ”d 2 ( g o 一毛) ( 2 2 5 ) 比较( 2 2 0 ) 与( 2 2 5 ) ，可以看到这两种运动硬化法则的差别仅在于加载曲面移动的方 向。p r a g e r 法则中移动张量的增量和一成比例，其几何意义是加载曲面沿现时应力 点的连线方向移动；而z e i g l e r 法则中移动张量的增量和吒一成比例，其几何意义是 加载曲面沿其中心和现时应力点的连线方向移动。两者的比例系数都是2 3 e p d a 。至于 这两种法则的后继屈服函数( 2 1 6 ) 年i ( 2 2 1 ) 式在九维应力空间实际上是完全相同的。这是 因为在p r a g e r 运动硬化法则中d = c d 2 ( s g a u ) ，所以口。= 0 ，导致毛= 嘞，因此( 2 1 6 ) 式中的厂也可以表示成和( 2 2 1 ) 式的厂相同的形式。实际上，在子应力空间内，只要此 子空间内包括三个正应力，或不包括任何正应力，这两种法则也是完全相同的。例如一 般三维问题、平面应变问题、轴对称问题都属于前一种情况，扭转问题则属于后一种情 况，这时都不需要区分两种运动硬化法则。而对于一般的子应力空间，例如平面应力的 子空间，这两种法则是有区剐的。正因为z e i g l e r 法则中规定了加载曲露的移动沿够， 方向，使得在子应力空间内后继屈服函数才能保持和初始屈服函数在表达形式上的致 性。 关于运动硬化法则的应用可以指出：如用于单调加载情况，它应该和各向同性硬化 法则相等价。如用于单调加载情况，它适合于仃，。- - o 。= 2 f f 。的材料。在反向进入屈服 以后，( 2 1 9 ) 与( 2 2 4 ) 式中的塑性模量e ，应该从第二个加载分支的材料应力应变曲线导 出，其中塑性应变应该从反向屈服点仃。，起计算。以上做法可以推广用于每一个反转应 力盯。和下一个进入屈服的应力吒，的差值为2 盯。的循环加载情况a 上述差值实际上就是 加载面的直径。 4 加载、卸载准则 该准则用以判别从一塑性状态出发是继续塑性加载还是弹性卸载，这是计算过程中 判定是否继续塑性变形以及决定是采用弹塑性本构关系所必须的。这准则可表述如下， j ， ( 1 ) 若f = 0 ，；l d 皿 0 ，则继续塑性加载； o o - 0 , 。 ( 2 ) 若肚o 盖峨 o ，则由塑性觯蝴载 三峡升船机船厢防撞梁动力问题研究 ( 3 ) 若f i 。，盖峨_ o ，则应区分， ( i )对于理想弹塑性材料，此情况是塑性加载，因为在此条件下可以继续 塑性流动。 ( i i )对于硬化材料，此情况是中性变载，即仍保持在塑性状态，但不发生 新的塑性流动( d 酽= 0 ) 。 以上诸式中o f a 盯。，则按不同材料特性而采用的屈服函数形式而定a 对于理想塑 性材料和采用各向同性硬化法则的材料， 岳鸹 ( 2 - 2 6 ) a 仃 。 、。 对于采用运动硬化法则和混合硬化法则的材料， i o f = 3 4一瓦4(2-27) 8 0 - !u 2 i 3 应力应变关系 首先以服从各向同性硬化法则的材料为例，推导它的应力应变关系。 微分( 2 1 1 ) 式，可得， 羔一三3 吒鲁d = 。8 巧。j 9 式中， 盖鸹 堕：e p d 矿 ：( 嘭) “瑚b 盖剖“= 弘 在小应变的情况下，应变增量可以分为弹性和塑性两部分，即， d u = d 3 + d z 于是利用弹性应力关系，可将d 盯f 表示为， d = 。缸，d 吒= ( d 一d 硝) = 矗一d a 害 ( 2 - 2 8 ) ( 2 - 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) ( 2 - 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 三峡升船机船厢防撞梁动力问题研究 其中， 2 2 g l 氏乞，+ i 岛毛) ( _ 3 4 ) ( 2 - 3 3 ) 式中的g e l 实际上可以看成初应变。将此式以及( 2 - 2 9 ) 、( 2 - 3 0 ) 等式- - 并代入( 2 - 2 8 ) 式，经整理可得， d 五= 而瓦碡( 3 f 鬲& r o 而) d 知百d g 丽, ( 2 - 3 5 )肌2 而瓦丽丽历习可而歹 将上式再代回至( 2 3 3 ) 式，则可得到应力应变的增量关系式， d o - , j ：d 茹d ( 2 - 3 6 ) 其中d 品= 一，嘞称为塑性矩阵，它的一般表达式是， d | k t = ( 2 - 3 7 ) 对于九维厦力空间，利用 的表达式( 2 。3 4 ) 、( 2 3 5 ) ：f 1 1 ( 2 3 7 ) 口j 以间化为， 伽赤烈 以2 积苏翻 3 8 = 薄豁 对于各向同性硬化材料，利用( 2 2 9 ) 式代入，则最后得到， 伽丽赫 p 4 0 ) 2 砜霸褥可 p 4 u 应当指出，关于d 和的一般表达式( 2 3 5 ) 或( 2 3 8 ) ；掰1 1 ( 2 3 7 ) 或( 2 ，3 9 ) 式对于其他硬 4 9 溯j t g 是适用的，此结论可以用相同的推导步骤加以验证。由此可以得到各种硬化材 料在九维应力空间中的具体表达式。 对于理想材料，o f a 盯，= ，盯，= o - e 9 = o 所以有， 扯琢 ( 2 _ 。2 ) ，歹垒p塑啪堕魄尘 塑胁描 三峡5 1 船机船厢防撞梁动力问题研究 磁，2 孑s 两i j s k l 对于运动硬化材料，o f o o o = j 口一，盯。= 盯。所以有 d 五= ( 2 0 - ：鱼o 9 二g 堕) ( 3 1 g 堕+ e p ) = 尚器为 2 2 解决塑性静力问题的一般方法 2 2 1 弹塑性问题的增量方程 ( 2 - 4 3 ) ( 2 - 4 4 ) ( 2 4 5 ) 由于材料和结构的弹塑性行为与加载以及变形的历史有关。在进行结构的弹塑性分 析时，通常将载荷分成若干个增量，然后对于每一载荷增量，将弹塑性方程线性化，从 而使弹塑性分析着一非线性问题分解成一系列线性问题】【1 ”。 假定对于时刻r 的载荷和位移条件( 霉在v 内；霉在砖上；。砭在& 上) 的位移u 。、 应变。矗和应力盯，已经求得，当时间过渡到r + a t ( 在静力分析且不考虑时间效应的情 况下，t 和f + f 都只表示载荷的水平) ，载荷和位移条件有一增量，即， 在v 内， “j ；= 霉+ 龋 ( 2 4 6 a ) 在墨上，“霉= 。f + 霉( 2 - 4 6 b ) 在咒上，“巧= 巧+ 砭 现在要求解f + 出时刻的位移、应变和应力， 它们应满足的方程和边界条件是 平衡方程， h 址“j = + “， t “s q 2 l q + a g o t 也o q = j o 0 七厶oq 在y 内， ，+ a c t 。+ 7 霉+ 。霉= 0 应变和位移的关系， 1 4 陀一4 7 ) f 2 4 8 ) 三峡升船机船厢防撞粱动力问题研究 在v 内， 应力和应变关系， 边界条件 征& 上 在鼠上 e o + a 毛= 2 1k i , j + u j , i ) + i ( a u i , j + a u j d ) ( 2 - 4 9 ) a e r v = 7 d 州e p ( t r t + a t ) r + z = z + f “、+ a u = 瓦+ a 瓦 ( 2 5 0 ) ( 2 - 5 1 ) ( 2 - 5 2 ) 上式中， 慕麓q 陋s s ， 在小变形的弹塑性分析中，除应力应变关系而外，其他方程和边界条件都是线性的， 所以( 2 4 8 ) 到( 2 5 2 ) 式中除( 2 5 0 ) 式而外都未作进步简化。如果，e o 和已精确地 满足时刻的各个方程和边界条件，则可以从上列方程和边界条件中消去它们。现在仍保 留它们是出于按照数值求解的结果，它们不一定精确地满足方程和边界条件。这样相当 于进行一次迭代，可避免解的漂移。 2 2 2 增量有限元格式 首先建立增量形式的虚位移原理如下，如果r + a t 时刻的应力。+ a c t # 和体积载荷 f + 缱及边界载荷霉+ 霉满足平衡条件，则此力系在满足几何协调条件的虚位移 占( q ) ( 在矿内，占( 勺) = 寺占( 坼，+ a u 。) ：在最上，占( 峨) = o ) 上的总虚功等于o 。 蜘+ q 黔勺) 肌们+ 蚯) 她) ( 2 1 5 4 ) 一l ( 霉+ 霉) j ( 致) 豳= o 。 i g ( 2 5o ) 代入，得， 7 踞占( 毛) 肌蜗她) 肌乖( 毪泗 亿5 5 1 = 一l q 占( 嘞) d 矿+ 。昂( 觇) d y l 乖( 琏) 嘏 、。 上式实际上就是增量形式的最小势能原理。其左端和全量的最小势能原理的表达式在形 式上完全相同。只是将全量改为增量。上式的右端是考虑o i 和f ，于可能不精确满足 三峡升船机船厢防撞粱动力问题 口f 究 平衡而引入的校正项，也可理解为不平衡力势能( 相差一负号) 的变分。 基于增量形式虚位移原理有限元表达格式的建立步骤和一般全量形式的完全相同， 首先将各单元内的位移增量表示成节点位移增量的插值形式， a u = n a a 8( 2 - 5 6 ) 再利用几何关系，得， a g = b a a 8 r 2 5 7 ) 将以上两式带入( 2 5 5 ) ，并由虚位移的任意性，就得到有限元的系统平衡方程， 7 k 。a a = q ( 2 - 5 8 ) 其中，7 k 矿a a 、q 分别是系统的弹塑性刚度矩阵，增量位移向量和不平衡力向量。 它们分别由单元的各个对应量集成，即， 7 如= 7 a a = a a 8 ( 2 。5 9 ) q = “q 一q j = “饼一研 并且， 17 = b 7 d o , b a y 卜“饼= n ”“忍y + n 7 “于勰( 2 - 6 0 ) l 。研= c b r , a d v 其中。q 、。q j 分别代表外加载荷向量和内力向量，称q 为不平衡力