高考数学 第三章 第七节正弦定理和余弦定理课件 理.ppt

第七节正弦定理和余弦定理 1 正弦定理 1 正弦定理内容 r是 abc外接圆的半径 2 正弦定理的变形公式 a b c sina sinb sinc 2rsina 2rsinb 2rsinc a b c 3 正弦定理解决的问题 已知两角和任一边 求其他两边和另一角 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 即时应用 1 思考 在 abc中 sina sinb是a b的什么条件 提示 充要条件 因为 2 在 abc中 b 30 c 120 则a b c 解析 a 180 30 120 30 由正弦定理得 a b c sina sinb sinc 1 1 答案 1 1 2 余弦定理 1 余弦定理在 abc中 有a2 b2 c2 2 变形公式 3 解决的问题 已知三边 求各角 已知两边和它们的夹角 求第三边和其他两个角 b2 c2 2bccosa c2 a2 2cacosb a2 b2 2abcosc 即时应用 1 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍 那么它的顶角的余弦值为 2 在 abc中 已知a2 b2 bc c2 则角a为 解析 1 设底边边长为a 则由题意知等腰三角形的腰长为2a 故顶角的余弦值为 2 由已知得b2 c2 a2 bc 又 0 a a 答案 1 2 3 三角形中常用的面积公式 1 s ah h表示边a上的高 2 s bcsina 3 s r a b c r为三角形的内切圆半径 即时应用 1 在 abc中 a 60 ab 1 ac 2 则s abc的值为 2 在 abc中 ac ab cosa 则s abc 解析 1 2 在 abc中 cosa sina 答案 热点考向1利用正 余弦定理解三角形 方法点睛 解三角形中的常用公式和结论 1 a b c 2 0 a b c sin a b sinc cos a b cosc tan a b tanc 3 三角形中等边对等角 大边对大角 反之亦然 三角形中任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 例1 根据下列条件解三角形 1 在锐角 abc中 a b c分别为角a b c所对的边 又c b 4 且bc边上的高h 2则角c 2 在 abc中 已知a b c 且a 2c b 4 a c 8 则a c 3 2012 福建高考 已知 abc的三边长成公比为的等比数列 则其最大角的余弦值为 规范解答 1 由于 abc为锐角三角形 过a作ad bc于d点 则c 60 2 由正弦定理又a 2c 所以即 由已知a c 8 2b及余弦定理 得 整理得 2a 3c a c 0 a c 2a 3c a c 8 3 设三边为 a 0 则最大边为2a 最大角的余弦值为答案 1 60 2 3 互动探究 本例中的 1 条件不变 若求a 则a 解析 由余弦定理可知c2 a2 b2 2abcosc 则即a2 4a 5 0 所以a 5或a 1 舍去 因此a边的长为5 答案 5 变式备选 2012 厦门模拟 在 abc中 已知a 2 b 6 a 30 解三角形 解析 由正弦定理得 sinb 又a b 则a b 故b 60 或120 当b 60 时 c 90 当b 120 时 c 30 c a 2 所以b 60 c 90 c 4或b 120 c 30 c 2 热点考向2利用正 余弦定理判断三角形形状 方法点睛 三角形形状的判断 1 判断三角形的形状 就是利用正 余弦定理等进行代换 转化 寻求边与边或角与角之间的数量关系 从而作出正确判断 边与边的关系主要看是否有等边 是否符合勾股定理等 角与角的关系主要是看是否有等角 有无直角或钝角等 2 判定三角形形状通常有两种途径 一是通过正弦定理和余弦定理 化边为角 利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断 二是利用正弦定理 余弦定理 化角为边 通过代数恒等变换 求出三条边之间的关系进行判断 提醒 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一 并注重挖掘隐含条件 另外 在变形过程中要注意a b c的范围对三角函数值的影响 例2 在 abc中 acos a bcos b 判断 abc的形状 解题指南 此题主要是利用正弦定理转化成边或角 做出判断即可 规范解答 方法一 acos a bcos b asina bsinb 由正弦定理可得 a2 b2 a b abc为等腰三角形 方法二 acos a bcos b asina bsinb 由正弦定理可得 2rsin2a 2rsin2b 即sina sinb a b a b 不合题意舍去 故 abc为等腰三角形 反思 感悟 化角为边的具体方法 1 通过正弦定理实施边角转换 2 通过余弦定理实施边角转换 3 通过三角变换找出角之间的关系 4 通过三角函数值符号的判断以及正 余弦函数有界性的讨论 变式训练 在 abc中 1 已知a b ccosb ccosa 判断 abc的形状 2 若b asinc c acosb 判断 abc的形状 解析 1 由已知结合余弦定理可得整理得 a b a2 b2 c2 0 a b或a2 b2 c2 abc为等腰三角形或直角三角形 2 由b asinc可知由c acosb可知整理得b2 c2 a2 即三角形一定是直角三角形 a 90 sinc sinb b c abc为等腰直角三角形 热点考向3与三角形面积有关的问题 方法点睛 三角形面积公式 1 已知一边和这边上的高 2 已知两边及其夹角 3 已知三边 4 已知两角及两角的共同边 5 已知三边和外接圆半径r 则 例3 1 已知 abc中 a 8 b 7 b 60 则c s abc 2 2012 新课标全国卷 已知a b c分别为 abc三个内角a b c的对边 求a 若a 2 abc的面积为求b c 规范解答 1 方法一 由正弦定理得 cosa sinc sin a b sinacosb cosasinb 由得c1 5 c2 3 s abc 方法二 由余弦定理得b2 c2 a2 2cacosb 72 c2 82 2 8 ccos60 整理得 c2 8c 15 0 解得 c1 3 c2 5 s abc ac1sinb 6或s abc ac2sinb 10答案 3或56或10 2 由正弦定理得 a 30 30 a 60 a2 b2 c2 2bccosa b c 4 解得 b c 2 变式训练 在 abc中 bc a ac b a b是方程x2 2x 2 0的两个根 且2cos a b 1 求 1 角c的度数 2 ab的长度 3 abc的面积 解析 1 cosc cos a b cos a b c 120 2 由题设 c2 a2 b2 2abcos120 a2 b2 ab a b 2 ab 2 2 2 10 即ab 3 变式备选 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 1 求sinc的值 2 求 abc的面积 解析 1 因为角a b c为 abc的内角 且所以于是 2 由 1 知又因为b b 所以在 abc中 由正弦定理得于是 abc的面积 1 2012 上海高考 在 abc中 若sin2a sin2b sin2c 则 abc的形状是 a 锐角三角形 b 直角三角形 c 钝角三角形 d 不能确定 解析 选c 由正弦定理得原式变为a2 b2 c2 又结合余弦定理所以角c为钝角 2 2013 莆田模拟 锐角 abc中 若a 2b 则的取值范围是 a 1 2 b c d 解析 选d abc为锐角三角形 且a 2b 且sina sin2b 2sinbcosb 3 2012 湖北高考 设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 若 a b c a b c ab 则角c a 30 b 45 c 60 d 120 解析 选d 由 a b c a b c ab 可知a2 b2 c2 ab 又所以c 120 4 2011 福建高考 如图 abc中 ab ac 2 点d在bc边上 adc 45 则ad的长度等于 解析 在 abc中 由余弦定