高考数学 第六章 第四节基本不等式课件 理.ppt

第四节基本不等式 1 基本不等式 1 基本不等式公式成立的条件是 2 等号成立的条件是 当且仅当 时取等号 3 其中称为正数a b的 称为正数a b的 a 0 b 0 a b 算术平均数 几何平均数 即时应用 判断下列不等式是否正确 请在括号中填写 或 1 a2 b2 2ab a b r 2 ab 2 a b r 3 a b r 4 a b均不为零 解析 1 由 a b 2 0得a2 b2 2ab 0 即a2 b2 2ab 故 1 正确 2 由 1 可知a2 b2 2ab 即a2 b2 2ab 4ab 即 a b 2 4ab 即ab 2 故 2 正确 3 由故 3 正确 4 若a b异号 如a 1 b 1 则 2 2 故 4 错 答案 1 2 3 4 2 利用基本不等式求最值 1 两个正数的和为定值时 它们的积有最大值 即若a b为正实数 且a b m m为定值 则ab 等号当且仅当 时成立 简记 和定积最大 2 两个正数的积为定值时 它们的和有最小值 即若a b为正实数 且ab p p为定值 则a b 等号当且仅当 时成立 简记 积定和最小 a b a b 即时应用 1 已知x 3y 2 x y为正实数 则xy的最大值为 2 已知x y 0 且x 2y 1 则的最小值为 3 函数f x 的最大值为 4 已知m 0 n 0且mn 81 则m n的最小值为 解析 1 由2 x 3y 等号当且仅当x 1 y 时取得 2 由x y 0 x 2y 1得等号成立的条件是 3 x 0 当x 0时 f 0 0 当x 0时 当且仅当即x 1时取等号 所以f x 的最大值为 4 m 0 n 0 mn 81 9 m n 2 18 故m n的最小值为18 答案 1 2 3 4 18 热点考向1利用基本不等式求最值 方法点睛 应用基本不等式求最值应注意的问题 1 若能直接应用基本不等式 则可直接应用 若不能则需创造条件对式子进行恒等变形 如构造 1 的代换等 并注意等号成立的条件 2 若应用基本不等式等号不成立 则可考虑利用函数的单调性 同时要特别注意当连续多次应用基本不等式时要注意等号需同时成立才行 例1 1 2012 浙江高考 若正数x y满足x 3y 5xy 则3x 4y的最小值是 2 若x 3 则的最小值为 规范解答 1 选c 由x 3y 5xy可得所以3x 4y 3x 4y 当且仅当x 1 y 时取等号 故3x 4y的最小值是5 2 由x 3得x 3 0 又等号成立的条件是答案 互动探究 若将本例 2 中x 3去掉 而求的取值范围又将如何求解 解析 分情况讨论 由题意得x 3 1 当x 3时 由例题可知 2 当x0 等号成立的条件是x 故的取值范围是 变式备选 若正实数x y满足2x y 6 xy 则xy的最小值是 解析 xy 2x y 6 2 6 令xy t2 t 0 可得注意到t 0 解得t 故xy的最小值为18 答案 18 热点考向2基本不等式的实际应用 方法点睛 基本不等式实际应用题的特点 1 问题的背景是人们关心的社会热点问题 如 物价 销售 税收 原材料 等 题目往往较长 解题时需认真阅读 从中提炼出有用信息 建立数学模型 转化为数学问题求解 2 当运用基本不等式求最值时 若等号成立的自变量不在定义域内时 就不能使用基本不等式求解 此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解 例2 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池 池的深度一定 平面图如图所示 如果池四周围墙建造单价为400元 米 中间两道隔墙建造单价为248元 米 池底建造单价为80元 米2 水池所有墙的厚度忽略不计 1 试设计污水处理池的长和宽 使总造价最低 并求出最低总造价 2 若由于地形限制 该池的长和宽都不能超过16米 试设计污水池的长和宽 使总造价最低 并求出最低总造价 解题指南 1 由题意设出未知量 构造函数关系式 变形转化利用基本不等式求得最值 得出结论 2 先由限制条件确定自变量的范围 然后判断 1 中函数的单调性 利用单调性求最值 得出结论 规范解答 1 设污水处理池的宽为x米 则长为米 则总造价f x 400 248 2x 80 162 1296x 12960 1296 x 12960 1296 12960 38880 元 当且仅当x x 0 即x 10时取等号 当长为16 2米 宽为10米时总造价最低 最低总造价为38880元 2 由限制条件知 x 16 设由函数性质易知g x 在 16 上是增函数 当x 时 此时 16 g x 有最小值 即f x 有最小值1296 12960 38882 元 当长为16米 宽为米时 总造价最低 为38882元 反思 感悟 1 应用基本不等式解实际应用题时定义域是关键 因而在实际解题时要密切注意定义域的取值范围 它可直接决定最值能否取到 2 本例 2 中由于条件限制应用基本不等式结果不成立 从而转化为应用函数的单调性求解 这也是此部分内容的常规解法 变式训练 某种汽车 购车费用为10万元 每年的保险费 养路费 汽油费约为0 9万元 年维修费第一年是0 2万元 以后逐年递增0 2万元 这种汽车使用多少年时 它的年平均费用最少 解析 由于 年维修费第一年是0 2万元 以后逐年递增0 2万元 可知汽车每年维修费构成以0 2万元为首项 0 2万元为公差的等差数列 因此 汽车使用x年时总的维修费用为万元 设汽车的年平均费用为y万元 则有 当且仅当 即x 10时 y取得最小值 答 汽车使用10年时 它的年平均费用最少 热点考向3基本不等式与其他知识的综合应用 方法点睛 基本不等式应用的广泛性以函数 方程 立体几何 解析几何 数列等知识为载体提供条件而后转化为基本不等式求最值 是本部分中常见题型 且在高考中也时常出现 其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式 同时要注意范围的变化影响 例3 1 设x y r a 1 b 1 若ax by 4且a b 2 则的最大值为 2 已知函数f x log2 k x 4 2 1恒过一定点p 且点p在直线 a b r 上 则3a 2b的最小值为 解题指南 1 用a b表示x y代入后 再利用基本不等式可求 2 求得p点坐标代入直线方程 再用 1 的代换转化为基本不等式求解 规范解答 1 由ax by 4得x loga4 y logb4 故又 a 1 b 1 a b 2 故 等号当且仅当a b x y 4时取得 2 由函数f x log2 k x 4 2 1可知 当x 4时 f x 2 即p点坐标为 4 2 又p在直线 a b r 上 故 3a 2b 3a 2b 等号当且仅当3a2 4b2 即时取得 答案 1 2 8 4 互动探究 若本例 2 中函数改为f x 2k x 1 1 其余条件不变 又将如何求解 解析 由f x 2k x 1 1可知图象恒过定点p 1 2 依题意 p在直线上 故即 3a 2b 3a 2b 等号当且仅当时取得 所以3a 2b的最小值为 反思 感悟 与其他章节知识综合的基本不等式题目 其难点在于如何从已知条件中寻找基本关系 本例 1 中其关键是构建x y与a b的关系得到x loga4 y logb4 从而将成功转化为a b的关系 再利用基本不等式求解 而对本例 2 中其关键点是确定图象过的定点 确定了这一定点后问题便会迎刃而解 变式备选 设x y满足约束条件若目标函数z abx y a 0 b 0 的最大值为8 则a b的最小值为 解析 已知x y满足约束条件其可行域是一个四边形 四个顶点是 0 0 0 2 0 1 4 易见目标函数z abx y a 0 b 0 在 1 4 取最大值8 所以 8 ab 4 即ab 4 a b 当且仅当a b 2时 等号成立 所以a b的最小值为4 答案 4 1 2012 福建高考 下列不等式一定成立的是 a lg x2 lgx x 0 b sinx 2 x k k z c x2 1 2 x x r d 1 x r 解析 选c 2 2011 福建高考 若a 0 b 0 且函数f x 4x3 ax2 2bx 2在x 1处有极值 则ab的最大值等于 a 2 b 3 c 6 d 9 解析 选d 由题意得f x 12x2 2ax 2b 函数f x 在x 1处有极值 f 1 0 12 2a 2b 0 即a b 6 又 a 0 b 0 由基本不等式得 故ab的最大值是9 3 2013 漳州模拟 对于使f x m成立的所有常数m中 我们把m的最小值叫f x 的上确界 若a b 0 且a b 1 则f a b 的上确界为 解析 选b 当且仅当时取 号 f a b 即m的最小值为故选b 4 2013 泉州模拟 爬山是一种简单有趣的野外运动 有益于身心健康 但要注意安全 准备好必需物品 控制好速度 现有甲 乙两人相约爬山 若甲上山的速度为v1 下山的速度为v2 v1 v2 乙上山和下山的速度都是 甲 乙两人中途不停歇且下山时按原路返回 则甲 乙两人上下山所用的时间t1 t2的关系为 a t1 t2 b t1 t2 c t1 t2 d 不能确定 解析 选a 设上山路程为h 同理下山路程为h 则依题意有 5 2013 福州模拟 若a