高考数学 第二章 第二节函数的单调性与最值课件 理.ppt

第二节函数的单调性与最值 1 增函数 减函数一般地 设函数f x 的定义域为i 区间d i 如果对于任意x1 x2 d 且x1 x2 则都有 1 f x 在区间d上是增函数 2 f x 在区间d上是减函数 f x1 f x2 f x1 f x2 即时应用 1 判断下列函数是否是区间 0 2 上的递增函数 请在括号中填 是 或 否 y y x y y x2 4x 1 y 2 x y 2 已知函数f x 为r上的减函数 若m n 则f m f n 若f x f 1 则实数x的取值范围是 3 若函数y ax与y 在 0 上都是减函数 则y ax2 bx在 0 上是 函数 填 增 或 减 解析 1 函数 在 0 2 上递减 在 0 2 上递增 2 由减函数的定义知 若mf n 若f x 1 得 x 1或x 1 3 由y ax在 0 上是减函数 知a 0 由y 在 0 上是减函数 知b 0 y ax2 bx的对称轴x 0 又 y ax2 bx的开口向下 y ax2 bx在 0 上是减函数 答案 1 否 否 是 否 是 是 2 x x 1或x 1 3 减 2 单调性 单调区间若函数y f x 在区间d上是 或 则称函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间d叫做y f x 的单调区间 增函数 减函数 即时应用 1 思考 函数的单调性反映在其函数图象上有何特征 提示 函数的单调性反映在图象上是在某一区间上是上升的或下降的 2 函数y 的单调减区间为 解析 画出函数y 的图象可知 其单调减区间为 0 0 答案 0 和 0 3 函数的最大值 最小值一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在m r 且存在x0 i 使得f x0 m 1 对于任意的x i m是函数y f x 的最大值 2 对于任意的x i m是函数y f x 的最小值 f x m f x m 即时应用 1 函数y f x 的图象如图所示 那么函数f x 的定义域是 最大值是 最小值是 2 函数f x 在 2 4 上的最小值是 最大值是 解析 1 由图象可知 函数的定义域为 3 0 2 3 最大值为5 最小值为1 2 因为f x 在 2 4 上为单调增函数 所以f 2 f x f 4 所以f x max f 4 f x min f 2 答案 1 3 0 2 3 51 2 热点考向1确定函数的单调性或单调区间 方法点睛 研究函数单调性及单调区间的常用方法及流程 1 能画出图象的函数 用图象法 其思维流程为 2 由基本初等函数通过加减运算或复合运算而成的函数 用转化法 其思维流程为 3 能求导的用导数法 其思维流程为 4 能作差变形的用定义法 其思维流程为 提醒 确定函数的单调性 区间 一定要注意定义域优先原则 例1 1 函数f x log5 2x 1 的单调增区间是 2 2013 福州模拟 试讨论函数f x x 1 1 的单调性 其中a 0 解题指南 本例为判断函数的单调性或求函数的单调区间 1 转化为基本初等函数的单调性去判断 2 可用定义法或导数法 规范解答 1 函数f x 的定义域为 令t 2x 1 t 0 因为y log5t在t 0 上为增函数 t 2x 1在 上为增函数 所以函数f x log5 2x 1 的单调增区间为 答案 2 方法一 定义法 设x1 x2 1 1 且x1 x2 则f x1 f x2 1 x1 x2 1 x2 x1 0 x12 1 0 x22 1 0 1 x1x2 1 x1x2 1 0 因此当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 此时函数在 1 1 上为减函数 当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 此时函数在 1 1 上为增函数 方法二 导数法 f x 当a 0时 f x 0 当a 0时 f x 在 1 1 上为减函数 当a 0时 f x 在 1 1 上为增函数 互动探究 若将本例 1 中函数变为f x x2 4x 3 则结果又如何 解析 先作出函数y x2 4x 3的图象 把x轴下方的部分翻折到上方 可得函数f x x2 4x 3 的图象 如图所示 由图可知 函数的增区间为 1 2 3 变式备选 已知函数f x 对于任意x y r 总有f x f y f x y 且当x 0时 f x 0 f 1 1 求证 f x 在r上是减函数 2 求f x 在 3 3 上的最大值和最小值 解析 1 方法一 函数f x 对于任意x y r 总有f x f y f x y 令x y 0 得f 0 0 再令y x 得f x f x 在r上任取x1 x2 则x1 x2 0 f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 又 x 0时 f x 0 而x1 x2 0 f x1 x2 0 即f x1 f x2 因此f x 在r上是减函数 方法二 在r上任取x1 x2 不妨设x1 x2 则f x1 f x2 f x1 x2 x2 f x2 f x1 x2 f x2 f x2 f x1 x2 又 x 0时 f x 0 而x1 x2 0 f x1 x2 0 即f x1 f x2 因此f x 在r上是减函数 2 f x 在r上为减函数 f x 在 3 3 上也为减函数 f x 在 3 3 上的最大值为f 3 最小值为f 3 f 3 f 1 2 f 1 f 2 f 1 f 1 1 f 1 f 1 f 1 3f 1 2 0 f 0 f 3 3 f 3 f 3 f 3 f 3 2 因此 f x 在 3 3 上的最大值为2 最小值为 2 热点考向2应用函数的单调性 方法点睛 利用函数的单调性可求解的问题 例2 1 2012 上海高考 已知函数f x e x a a为常数 若f x 在区间 1 上是增函数 则a的取值范围是 2 已知函数y f x 是偶函数 y f x 2 在 0 2 上是单调减函数 试比较f 1 f 0 f 2 的大小 规范解答 1 由函数的图象性质得函数的图象关于x a对称 且在区间 a 上单调递增 所以要使函数f x 在区间 1 上是增函数 则需要 a a 1 答案 1 2 方法一 y f x 2 的图象可由y f x 的图象向右平移2个单位而得到 而y f x 为偶函数 其图象关于直线x 0对称 函数y f x 2 的图象关于直线x 2对称 又y f x 2 在 0 2 上单调递减 函数y f x 2 在 2 4 上单调递增 因此 y f x 在 0 2 上单调递增 又f 1 f 1 0f 1 f 0 方法二 由方法一可得函数y f x 在 2 2 上图象的大致形状为由图象知f 2 f 1 f 0 变式备选 已知函数f x 对于任意a b r 总有f a b f a f b 1 并且当x 0时 f x 1 1 求证 f x 在r上是增函数 2 若f 4 5 解不等式f 3m2 m 2 3 解析 1 设x1 x2 r 且x1 x2 则x2 x1 0 f x2 x1 1 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 1 f x1 f x2 x1 1 0 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 在r上是增函数 2 f 4 f 2 2 f 2 f 2 1 5 f 2 3 不等式f 3m2 m 2 3即为f 3m2 m 2 f 2 又 f x 在r上是增函数 3m2 m 2 2 解得 1 m 因此不等式的解集为 m 1 m 热点考向3求函数的最值 方法点睛 求函数最值 值域 常用的方法及流程 1 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求最值 2 图象法 先作出函数的图象 再观察其最高点 最低点 求出最值 3 基本不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后用基本不等式求出最值 4 导数法 先求导 然后求出在给定区间上的极值 最后结合端点值 求出最值 5 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求最值 例3 1 已知函数f x a 0 x 0 则f x 在 2 上的最大值为 最小值为 2 函数y x x 0 的最大值为 3 2012 龙岩模拟 用min a b c 表示a b c三个数中的最小值 设f x min 2x x 2 10 x x 0 则f x 的最大值为 解题指南 1 可用单调性法 2 选用换元法 转化为二次函数求解最值 3 画出图象求解 规范解答 1 f x 在 2 上为减函数 f x min f 2 f x max f 2 2 令 t t 0 则y t t2 t 2 当t 时 ymax 3 由题意知函数f x 是三个函数y1 2x y2 x 2 y3 10 x中的较小者 作出三个函数在同一直角坐标系下的图象 如图实线部分为f x 的图象 可知a 4 6 为函数f x 图象的最高点 则f x max 6 答案 1 2 3 6 互动探究 若将本例 2 中函数变为y x 0 则y的最大值为多少 解析 令 t t 0 则y 8t2 6t 1 8 t 2 当t 时 ymax 反思 感悟 求函数的最值常结合解析式的特点而选取适当的方法 1 单调性法 若所给函数在某个区间上单调性已知或能确定 则该函数在这个区间上的最值一般在端点处取得 2 基本不等式法 当函数的解析式是分式形式且分子分母不同次幂时可用此法 3 导数法 当函数解析式较复杂时 可考虑用此法 4 数形结合法 所给函数易画出其图象时 可结合图象求最值 5 对于一些根式 分式 高次式等常先用换元法 转化为以上四种情况中的某种再求最值 变式备选 已知函数f x x 1 1 当a 时 求函数f x 的最小值 2 若对任意x 1 f x 0恒成立 试求实数a的取值范围 解析 1 当a 时 f x x 2 f x 在区间 1 上为增函数 f x 在区间 1 上的最小值为f 1 2 方法一 在区间 1 上 f x 恒成立 x2 2x a 0恒成立 设y x2 2x a x 1 y x2 2x a x 1 2 a 1在 1 上递增 当x 1时 ymin 3 a 当且仅当ymin 3 a 0时 函数f x 0恒成立 故a 3 方法二 f x x 2 x 1 当a 0时 函数f x 的值恒为正 当a0时 函数f x 0恒成立 故a 3 1 2013 福州模拟 已知函数y f x 的图象关于x 1对称 且在 1 上单调递增 设b f 2 c f 3 则a b c的大小关系为 a c b a b b a c c b c a d a b c 解析 选b 由题意知f x f 2 x 则又f x 在 1 上单调递增