高考数学总复习 第九章 第四节用样本估计总体课件 文.ppt

第四节用样本估计总体 第九章算法初步 统计与统计案例 概率 考纲要求 1 了解分布的意义和作用 会列频率分布表 会画频率分布直方图 频率折线图 茎叶图 理解它们各自的特点 2 理解样本数据标准差的意义和作用 会计算数据标准差 3 能从样本数据中提取基本的数字特征 如平均数 标准差 并作出合理的解释 4 会用样本的频率分布估计总体分布 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征 理解用样本估计总体的思想 5 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想 解决一些简单的实际问题 课前自修 知识梳理 一 统计1 统计图表包括条形图 折线图 扇形图 茎叶图 2 刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数 中位数 众数 刻画一组数据离散程度的统计量有极差 方差 标准差 3 平均数的计算方法 1 如果有n个数据x1 x2 xn 那么 x1 x2 xn 叫做这n个数据的平均数 读作 x拔 2 当一组数据x1 x2 xn的各个数值较大时 可将各数据同时减去一个适当的常数a 得到x1 x1 a x2 x2 a xn xn a 那么 a 3 加权平均数 如果在n个数据中 x1出现f1次 x2出现f2次 xk出现fk次 f1 f2 fk n 那么 叫做这n个数据的加权平均数 4 方差的计算方法 1 对于一组数据x1 x2 xn 则s2 x1 2 x2 2 xn 2 叫做这组数据的方差 方差的算术平方根s 称为标准差 2 方差计算简化公式 s2 x x x n2 3 当一组数据x1 x2 xn中的各数较大时 可以将各数据减去一个适当的常数a 得到x1 x1 a x2 x2 a xn xn a 则s2 x x x n 2 二 总体分布1 总体 在数理统计中 通常把被研究的对象的全体叫做总体 2 频率分布的概念 频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小 一般用频率分布直方图反映样本的频率分布 3 画频率分布直方图的一般步骤 1 计算一组数据中最大值与最小值的差 即求极差 2 决定组距与组数 3 将数据分组 4 列频率分布表 5 画频率分布直方图 4 频率分布直方图中每个小矩形的宽度为 xi 分组的宽度 高为 小矩形的面积为相应的频率fi 5 频率折线图 在频率分布直方图中 按照分组原则 再在左 右两边各加一个区间 从所加的左边区间的中点开始 用线段依次连接各个矩形的顶端中点 直至右边所加区间的中点 所得到的折线称为频率折线图 6 总体分布 从总体中抽取一个个体 就是一次随机试验 从总体中抽取一个容量为n的样本 就是进行了n次试验 试验连同所出现的结果叫随机事件 所有这些事件的概率分布规律称为总体分布 7 总体密度曲线 样本容量越大 所分组数越多 各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率 设想样本容量无限增大 分组的组距无限缩小 那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线 这条曲线叫做总体密度曲线 它反映了总体在各个范围内取值的概率 根据这条曲线 可求出总体在区间 a b 内取值的概率等于总体密度曲线 直线x a x b及x轴所围图形的面积 8 总体密度曲线函数y f x 的两条基本性质 f x 0 x r 由曲线y f x 与x轴围成面积为1 基础自测 1 2011 长沙市模拟 如图是2011年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上 七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图 去掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据的众数和中位数分别为 a 84 85b 84 84c 85 84d 85 85 答案 a 2 2012 广东执信中学期末 甲 乙 丙 丁四人参加奥运会射击项目选拔赛 四人的平均成绩和方差如下表所示 从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛 最佳人选是 a 甲b 乙c 丙d 丁 解析 乙和丙的平均数最大 丙的方差最小 所以最佳人选是丙 故选c 答案 c 3 2012 韶关市调研 某班50名学生在一次百米测试中 成绩全部介于13秒与18秒之间 将测试结果分成五组 每一组 13 14 第二组 14 15 第五组 17 18 下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好 则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是 人 解析 依题意所求人数为 0 16 1 0 38 1 50 27 答案 27 4 2012 龙岩市模拟 10名工人某天生产同一零件 生产的件数分别是10 12 14 14 14 15 15 16 16 17 设这10个数的中位数为a 众数为b 则a b 解析 这10个数的中位数是a 14 5 众数是b 14 所以a b 0 5 答案 0 5 考点探究 考点一 频率分布直方图的绘制与应用 例1 我国是世界上严重缺水的国家之一 城市缺水问题较为突出 某市政府为了节约生活用水 计划在本市试行居民生活用水定额管理 即确定一个居民月用水量标准a 用水量不超过a的部分按平价收费 超出a的部分按议价收费 如果希望大部分居民的日常生活不受影响 那么标准a定为多少比较合理呢 为了较为合理地确定出这个标准 现采用抽样调查的方式得到100位居民某年的月均用水量如下表 请画出该样本的频率分布直方图 并确定标准a的值 附 100位居民某年的月均用水量 解析 现在来画该样本的频率分布直方图 其步骤为 1 计算一组数据中最大值与最小值的差 即求极差 如表中的一组数据中最大值是4 3 最小值是0 2 则这组样本数据的极差是 4 3 0 2 4 1 2 决定组距与组数 当样本容量不超过100时 按照数据的多少 常分成5 12组 如表中的一组数据 如果取组距0 5 那么组数 极差 组距 4 1 0 5 8 2 因此可以将数据分成9组 这个组数是较合适的 于是取组距为0 5 组数为9 3 将数据分组 以组距为0 5将数据分组 可以分以下9组 0 0 5 0 5 1 1 1 5 4 4 5 4 列频率分布表 100位居民月均用水量的频率分布表各组的频率是 该组的频数 样本容量 5 画频率分布直方图 根据频率分布表画频率分布直方图 图中 横轴表示月均用水量 纵轴表示 小长方形的面积 组距 频率 所以各小长方形的面积表示相应各组的频率 这样 分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小 由频率分布直方图可以看出 用水量在2 2 5 t 的居民最多 故确定a 2 5为宜 点评 频率分布直方图的特征 1 从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势 2 从频率分布直方图得不出原始的数据内容 把数据表示成直方图后 原有的具体数据信息就被抹掉了 变式探究 1 2012 山东卷 如图是根据部分城市某年6月份的平均气温 单位 数据得到的样本频率分布直方图 其中平均气温的范围是 20 5 26 5 样本数据的分组为 20 5 21 5 21 5 22 5 22 5 23 5 23 5 24 5 24 5 25 5 25 5 26 5 已知样本中平均气温低于22 5 的城市个数为11 则样本中平均气温不低于25 5 的城市个数为 考点二 条形统计图 频率分布表的应用 例2 为了解学生身高情况 某校以10 的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查 测得身高情况的统计图如下 1 估计该校男生的人数 2 估计该校学生身高在170 185cm之间的概率 3 从样本中身高在180 190cm之间的男生中任选2人 求至少有1人身高在185 190cm之间的概率 解析 1 样本中男生人数为40 由分层抽样比例为10 估计全校男生人数为400 2 由统计图知 样本中身高在170 185cm之间的学生有14 13 4 3 1 35人 样本容量为70 所以样本中学生身高在170 185cm之间的频率f 0 5 故由f估计该校学生身高在170 185cm之间的概率p1 0 5 3 样本中身高在180 185cm之间的男生有4人 设其编号为 样本中身高在185 190cm之间的男生有2人 设其编号为 从上述6人中任取2人的树状图为 故从样本中身高在180 190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15 至少有1人身高在185 190cm之间的可能结果数为9 因此 所求概率p2 变式探究 2 2012 安徽卷 甲 乙两人在一次射击比赛中各射靶5次 两人成绩的条形统计图如图所示 则 a 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数b 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数c 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差d 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 解析 由条形图易知甲的平均数为甲 6 中位数为6 所以方差为s2甲 2 极差为8 4 4 乙的平均数为乙 6 中位数为5 所以方差为s2 2 极差为9 5 4 比较得甲 乙 甲的极差等于乙的极差 甲 乙中位数不相等且s2乙 s2甲 答案 c 考点三 茎叶图的应用 例3 甲 乙两篮球队各10名队员的身高如下 单位 cm 甲组 182185183176190184186180187186乙组 182183185189179180191189178173用茎叶图表示两队队员的身高 并判断哪个队的身高更整齐一些 思路点拨 学会用茎叶图表示数据的方法 并会进行统计推断 解析 用茎叶图表示两队队员的身高如下图 由上图可知甲队身高较集中 即甲队身高更整齐一些 点评 对各数据是二 三位数 且数据量不是很大时 用茎叶图表示较为方便 也便于进行统计推断 否则 应改用其他方法 变式探究 3 2012 肇庆市期末 左下图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图 第1次到12次的考试成绩依次记为a1 a2 a12 右下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图 那么算法流程图输出的结果是 解析 算法流程图输出的结果是 分数大于或等于90分的次数 从茎叶图中可知共有9次分数大于或等于90分 答案 9 考点四 用样本的数字特征估计总体的数字特征 例4 为了解a b两种轮胎的性能 某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试 下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程数 单位 1000km 轮胎a 96112971081001038698轮胎b 10810194105969397106 1 分别计算a b两种轮胎行驶的最远里程的平均数 中位数 2 分别计算a b两种轮胎行驶的最远里程的极差 标准差 3 根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定 思路点拨 比较性能的稳定应比较极差和标准差 解析 1 a轮胎行驶的最远里程的平均数为 100 中位数为 99 b轮胎行驶的最远里程的平均数为 100 中位数为 99 3 由于b轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小 所以b轮胎性能更加稳定 点评 对统计的基本量平均数 中位数 极差和标准差反映什么内容要清楚 变式探究 4 1 甲 乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下表 单位 t hm2 根据这组数据估计产量比较稳定的水稻品种是 2 某医院急诊中心关于病人等待急诊的时间记录如下 单位 min 用上表分组资料计算病人平均等待时间的估计值是 解析 1 甲品种的样本平均数为10 样本方差为 9 8 10 2 9 9 10 2 10 1 10 2 10 10 2 10 2 10 2 5 0 02 乙品种的样本平均数也为10 样本方差为 9 4 10 2 10 3 10 2 10 8 10 2 9 7 10 2 9 8 10 2 5 0 244 因为0 244 0 02 所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定 2 等待时间在 0 5 内的4个人的等待总时间的估计值为 4 10 等待时间在 5 10 内的8个人的等待总时间的估计值为 8 60 同理 其余三个时间段等待总时间的估计值分别为62 5 35 22 5 所以病人平均等待时间的估计值为 9 5 答案 1 甲 2 9 5 1 频率分布 用样本估计总体 是研究统计问题的基本思想方法 样本中所有数据 或数据组 的频数和样本容量的比 就是该数据的频率 所有数据 或数据组 的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布 可以用样本频率表 样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示 2 在频率分布直方图中 小长方形的面积 组距 频率 组距 频率 所以各小长方形的面积表示相应各组的频率 这样 分布直方图就可以面积的形式反映数据落在各个小组的频率的大小 频率分布直方图的特征 1 从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势 2 从频率分布直方图得不出原始的数据内容 把数据表示成直方图后 原有的具体数据信息就被抹掉了 3 利用频率分布直方图估计数字特征 1 众数在样本数据的频率分布直方图中 就是最高矩形的中点的横坐标 2 在频率分布直方图中 中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 由此可以估计中位数的值 3 平均数是频率分布直方图的 重心 等于频率分布直方图中每个小直方图的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 感悟高考 品味高考 1 2012 陕西卷 从甲 乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机 对其销售额进行统计 统计数据用茎叶图表示 如图所示 设甲 乙两组数据的平均数分别为甲 乙 中位数分别为m甲 m乙 则 甲 乙 m甲 m乙甲乙 m甲 m乙甲 乙 m甲 m乙 解析 甲的数据为 5 6 8 10 10 14 18 18 22 25 27 30 30 38 41 43 乙的数据为 10 12 18 20 22 23 23 27 31 32 34 34 38 42 43 48 计算 甲 5 6 8 10 10 14 18 18 22 25 27 30 30 38 41 43 乙 10 12 18 20 22 23 23 27 31 32 34 34 38 42 43 48 显然甲 乙 又m甲 20 m乙 29 m甲 m乙 故选b 答案 b 2 在某次测验中 有6位同学的平均成绩为75分 用xn表示编号为n n 1 2 6 的同学所得成绩 且前5位同学的成绩如下 1 求第6位同学的成绩x6 及这6位同学成绩的标准差s 2 从前5位同学中 随机地选2位同学 求恰有1位同学成绩在区间 68 75 中的概率 解析 1 由 70 76 72 70 72 x6 75 解得x6 90 标准差s 2 前5位同学中随机选出的2位同学记为 a b a b 1 2 3 4 5 且a b 则基本事件有 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 共10种 这5位同学中 编号为1 3 4 5号的同学成绩在区间 68 75 中 设a表示随机事件 从前5位同学中随机选出2位同学 恰有1位同学成绩在区间 68 75 中 则a中的基本事件有 1 2 2 3 2 4 2 5 共4种 则p a 高考预测 1 2012 肇庆市二模 给