高考数学总复习 第二章 第十二节变化率与导数的概念、导数的运算课件 理.ppt

第十二节变化率与导数的概念 导数的运算 第二章函数 导数及其应用 考纲要求 1 导数概念及其几何意义 1 了解导数概念的实际背景 2 理解导数的几何意义 2 导数的运算 1 能根据导数定义 求函数y c y x y x2 y x3 y y x y 的导数 2 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 3 能求简单的复合函数 仅限于形如f ax b 的导数 课前自修 知识梳理 一 导数的概念1 平均变化率 已知函数y f x 如果自变量x在x0处有改变量 x 那么函数y相应地有改变量 y 比值就叫做函数y f x 在x0到x0 x之间的平均变化率 f x0 x f x0 2 函数在x x0处导数的定义 一般地 设函数y f x 在x0附近有定义 当自变量在x x0的附近改变量为 x时 函数值的改变量为 如果 x趋近于0时 平均变化率 趋近于 即 m 这个常数m叫做函数f x 在点x0处的 函数f x 在点x0处的瞬时变化率又称为函数y f x 在x x0处的导数 记作 或 即 y f x0 x f x0 一个常数m 瞬时变化率 f x0 y x 如果函数y f x 在x0处有导数 即导数存在 则说函数f x 在x0处可导 如果函数y f x 在开区间 a b 内每一点x都是可导的 则说函数f x 在区间 a b 内可导 3 导函数的定义 表示函数的平均改变量 它是 x的函数 而f x0 表示一个确定的数值 即f x0 当x在区间 a b 内变化时 f x 便是x的 我们称它为 简称导数 y f x 导函数有时记作y 即f x y 一个函数 f x 在 a b 的导函数 二 导数的几何意义及物理意义导数的几何意义 函数f x 在点x0处导数的几何意义就是 相应的切线方程为y y0 f x0 x x0 导数的物理意义 位移函数s s t 在t0处的导数s t0 是 即v s t0 速度函数v v t 在t0处的导数v t0 是 即a v t0 曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 函数s s t 在时刻t0时的瞬时速度 函数v v t 在时刻t0时的瞬时加速度 三 导数的运算1 几种常见函数 基本初等函数 的导数 c c为常数 xm m n sinx cosx logax lnx ax ex 2 导数四则运算法则 1 和 差的导数 u x v x 口诀 和与差的导数等于导数的和与差 0 mxm 1 cosx sinx axlna ex u x v x 2 积的导数 u x v x u x v x u x v x 口诀 前导后不导 后导前不导 中间是正号 若c为常数 则 cu x cu x 3 商的导数 v 0 口诀 分母平方要记牢 上导下不导 下导上不导 中间是负号 3 复合函数及其求导 1 复合函数的定义 对于两个函数y f u 和u g x 如果通过变量u y可以表示为x的函数 那么称这个函数为函数y f u 和u g x 的复合函数 记作y f g x 其中y f u 叫做外层函数 u g x 叫做内层函数 2 理解复合函数的结构规律 判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向内分析 最外层的函数结构是基本函数的形式 各层的中间变量结构也都是基本函数关系 这样一层一层分析 例如 函数是复合函数 它是由函数y eu u v2 v sinx复合而成的 3 复合函数的求导法则 复合函数y f g x 对自变量x的导数y x 等于外函数y f u 对中间变量u的导数y u乘以中间变量u对自变量x 即内函数 的导数u x 即 复合函数求导步骤 分解 求导 回代 法则的推广 若函数y f u 在点u处可导 u g v 在点v处可导 v h x 在点x处可导 则复合函数y f g h x 在点x处可导 并且 y x y u u x y f u g v h x y u u v v x 基础自测 1 曲线y x3 11在点p 1 12 处的切线与y轴交点的纵坐标是 a 9b 3c 9d 15 解析 因为y 3x2 所以k y x 1 3 所以过点p 1 12 的切线方程为y 12 3 x 1 即y 3x 9 所以与y轴交点的纵坐标为9 故选c 答案 c 2 2012 合肥市模拟 若曲线y 2x2的一条切线l与直线x 4y 8 0垂直 则切线l的方程为 a 4x y 2 0b x 4y 9 0c 4x y 3 0d x 4y 3 0 a 3 2012 上海市闸北区模拟 如图所示 函数f x 的图象是折线段abc 其中a b c的坐标分别为 0 4 2 0 6 4 则f f 0 用数字作答 解析 f 0 4 f 4 2 由导数的几何意义知 2 答案 2 2 4 2012东北师大附中 辽宁省实验中学 哈师大附中二模 曲线y 2x2在点 1 2 处的切线斜率为 解析 y 4x 切线斜率为k y x 1 4 答案 4 考点探究 考点一 对导数定义的理解运用 变式探究 1 已知f x 在x a处可导 且f a b 则 a 1b 0c bd b2 考点二 导数运算 自主解答 点评 1 求导之前 应利用代数 三角恒等式等变形对函数进行化简 然后求导 这样可以减少运算量 提高运算速度 减少差错 2 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式 但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简 然后进行求导 有时可以避免使用商的求导法则 减少运算量 变式探究 2 求下列函数的导数 1 y 3x3 4x 2x 1 2 y x2cosx 3 y 3xex 2x e 4 y 考点三 导数几何意义的运用 例3 已知曲线y x3 1 求曲线在点p 2 4 处的切线方程 2 求曲线过点p 2 4 的切线方程 3 求满足斜率为1的曲线的切线方程 点评 1 解决此类问题一定要分清是 在某点处的切线 还是 过某点的切线 2 对未知切点坐标的问题 一般是首先设出切点的坐标 再利用 切点处的导数等于切线的斜率 切点在曲线上 切点在切线上 建立方程组求解 3 切点的横坐标与该切点处的切线的斜率这两个量之间可以相互转化 变式探究 3 1 设曲线y eax在点 0 1 处的切线与直线x 2y 1 0垂直 则a 2 2012 宝鸡市检测 已知曲线y 2x x3上一点m 1 1 求 点m处的切线方程 点m处的切线与x轴 y轴所围成的平面图形的面积 考点四 复合函数的导数 点评 复合函数求导步骤 分解 求导 回代 分析结构特征 挖掘隐含条件 复合函数基本化是正确解题的关键 防止求导过程中的符号判断不清 复合函数分解成基本函数时出错 变式探究 课时升华 1 深刻理解 函数在一点处的导数 导函数 导数 的区别与联系 1 函数f x 在一点x0处的导数f x0 是一个常数 2 函数y f x 的导函数 是针对某一区间内任意点x而言的 如果函数y f x 在区间 a b 内每一点x都可导 是指对于区间 a b 内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f x0 这样就在开区间 a b 内构成了一个新函数 就是函数f x 的导函数f x 在不产生混淆的情况下 导函数也简称导数 3 函数y f x 在x0处的导数f x0 就是导函数f x 在点x x0处的函数值 即f x0 f x 3 运用复合函数的求导法则y x y u u x 应注意以下几个问题 1 分清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成 适当选定中间变量 2 分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导 而其中特别要注意的是中间变量的系数 如 sin5x cos5x 而实际上应是 sin5x 5cos5x 3 根据基本函数的导数公式及导数运算法则 求出各函数的导数 并把中间变量转换成自变量的函数 当然 复合函数的求导熟练后 中间步骤可以省略不写 不必再写出函数的复合过程 对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数 可以直接应用公式和法则 从最外层开始 由外及里逐层求导 即 层层求导 感悟高考 品味高考 2 2012 广东卷 曲线y x3 x 3在点 1 3 处的切线方程为 解析 y 3x2 1 y x 1 3 12 1 2 所以切线方程为y 3 2 x 1 即2x y 1 0 答案 2