高考数学总复习 第二章 第十节函数与方程课件 文.ppt

第十节函数与方程 第二章函数 导数及其应用 考纲要求 1 结合二次函数的图象 了解函数的零点与方程根的联系 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2 根据具体函数的图象 能够用二分法求相应方程的近似解 课前自修 知识梳理 一 函数的零点1 函数的零点定义 一般地 如果函数y f x 在 即f a 0 则 叫做这个函数的零点 2 函数的零点存在性定理 也称勘根定理 若函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是 并且在 即 则函数y f x 在 即相应的方程f x 0在区间 a b 内至少有一个实数根 3 函数的零点具有下列性质 当它 不是偶次零点 时函数值 相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 实数a处的值等于零 a 连续不间断的 区间端点的 函数值符号相反 f a f b 0 区间 a b 内至少有一个零点 通过零点 变号 二 二分法1 定义 对于区间 a b 上图象连续不断的 且f a f b 0的函数y f x 通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 从而得到零点近似值的方法 叫做二分法 2 用二分法求函数零点的近似值的步骤 第一步 第二步 第三步 确定区间 a b 验证f a f b 0 给定精确度 求区间 a b 的中点x1 计算f x1 f x1 0 f a f x1 0 f x1 f b 0 第四步 判断是否达到精确度 即若 则得到零点近似值a 或b 否则 重复第二 三 四步 注意 1 在二分法求方程解的步骤中 初始区间可以选的不同 不影响最终计算结果 所选的初始区间的长度尽可能短 但也要便于计算 2 二分法的条件f a f b 0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点 a b 三 一元二次方程根的分布问题关键是抓住方程ax2 bx c 0 a 0 的根所在区间端点的函数值的符号 判别式及对称轴的位置这三点来考虑 二次方程f x ax2 bx c 0的实根分布及条件 1 方程f x 0的两根中一根比r大 另一根比r小 a f r 0 4 二次方程f x 0在区间 p q 内只有一根 f p f q 0或f p 0或f q 0 检验另一根在 p q 内成立 基础自测 1 2012 梅州中学月考 函数f x log2x 的零点所在区间为 a b c 1 2 d 2 3 解析 f 1 1 0 f 2 0 又f x log2x 是 0 上的连续函数 零点所在的区间为 1 2 故选c 答案 c 2 若函数f x ax b b 0 有一个零点3 那么函数g x bx2 3ax的零点是 a 0b 1c 0 1d 0 1 解析 因为f x ax b b 0 有一个零点为3 所以3a b 0 3a b 令g x 0得bx2 3ax 0 即bx2 bx 0 bx x 1 0 所以x 0或x 1 所以g x 的零点为0或 1 故选d 答案 d 3 如果函数f x x2 mx m 2的一个零点是0 则另一个零点是 解析 依题意知 m 2 f x x2 2x 方程x2 2x 0的另一个根为2 即另一个零点是2 答案 2 4 方程x2 2ax 4 0的两根均大于1 则实数a的取值范围是 考点探究 考点一 判断函数在给定的区间是否存在零点 例1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点 1 f x x2 3x 18 x 1 8 2 f x x3 x 1 x 1 2 3 f x log2 x 2 x x 1 3 4 f x x x 0 1 思路点拨 利用函数零点的存在性定理或图象进行判断 解析 1 法一 因为f 1 200 所以f 1 f 8 0 所以f 1 f 2 0 故f x x3 x 1在 1 2 上存在零点 3 f 1 log2 1 2 1 log23 1 log22 1 0 f 3 log2 3 2 3 log25 3 log28 3 0 所以f 1 f 3 0 故f x log2 x 2 x在区间 1 3 上存在零点 4 画出函数f x x的图象如右图所示 由图象可知函数f x x在 0 1 内的图象与x轴无交点 故函数f x x在区间 0 1 上不存在零点 点评 1 研究函数的零点存在性问题常用的办法有三种 一是用勘根定理 零点存在性定理 二是解方程 三是用图象 2 三次函数问题是近几年的高考热点问题 解决这类问题主要抓住图象的零点 特殊点 函数值 图象的变化趋势等方面综合考虑 变式探究 1 2011 陕西卷 函数f x cosx在 0 内 a 没有零点b 有且仅有一个零点c 有且仅有两个零点d 有无穷多个零点 解析 在同一个坐标系中作出y 与y cosx的图象如图所示 由图象可得函数f x cosx在 0 上只有一个零点 答案 b 考点二 求函数的零点 例2 求下列函数的零点 1 f x 2x2 5x 3 2 f x x3 1 自主解答 解析 1 由2x2 5x 3 0 解得x 3或x 所以函数f x 2x2 5x 3的零点是 和3 2 f x x3 1 x 1 x2 x 1 令f x 0 得 x 1 x2 x 1 0 解得x 1 所以函数f x x3 1的零点是 1 变式探究 2 2012 天津卷 函数f x 2x x3 2在区间 0 1 内的零点个数是 a 0b 1c 2d 3 解析 因为函数f x 2x x3 2的导数为f x 2xln2 3x2 0 所以函数f x 2x x3 2单调递增 又f 0 1 2 1 0 f 1 2 1 2 1 0 所以根据根的存在定理可知在区间 0 1 内函数的零点个数为1 故选b 答案 b 考点三 用二分法求方程的近似解 例3 求函数f x x3 x 1在区间 1 1 5 内的一个零点 精确到0 01 思路点拨 根据用二分法求函数f x 零点近似值的步骤求之 解析 由于f 1 0 所以f x 在区间 1 1 5 存在零点 取区间 1 1 5 作为计算的初始区间 用二分法逐次计算列表如下 1 3203125 1 31640625 0 00390625 0 01 至此可以看出 函数的零点落在区间长度小于0 01的区间 1 31640625 1 3203125 内 因为该区间的所有值精确到0 01都是1 32 因此1 32是函数f x x3 x 1精确到0 01的一个近似零点 点评 用二分法求函数零点近似值的步骤 借助于计算器一步一步求解即可 我们可以借助于表格和数轴 清楚地描述逐步缩小零点所在区间的过程 而运算终止的时候就在区间长度小于精确度 的时候 变式探究 3 2012 福州市模拟 若函数f x x3 x2 2x 2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算 其参考数据如下 那么方程x3 x2 2x 2 0的一个近似根 精确到0 1 为 a 1 2b 1 3c 1 4d 1 5 解析 f 1 40625 0 0540 且都接近0 由二分法可知其根近似于1 4 答案 c 考点四 求与函数零点有关的参数问题 例4 2012 合肥市模拟 已知a是实数 函数f x 2ax2 2x 3 a 如果函数y f x 在区间 1 1 上有零点 求a的取值范围 解析 若a 0 f x 2x 3 显然在 1 1 上没有零点 所以a 0 令 4 8a 3 a 8a2 24a 4 0 当f 1 f 1 a 1 a 5 0 即1 a 5时 y f x 在 1 1 上也恰有一个零点 当y f x 在 1 1 上有两个零点时 则 变式探究 解析 如图 作出函数f x 的图象 再作直线y k 观察可知 当1 k 2时 方程有3个不同的实根 故选d 答案 d 考点五 方程根的分布问题 例5 已知关于x的二次方程x2 2mx 2m 1 0 1 若方程有两根 其中一根在区间 1 0 内 另一根在区间 1 2 内 求m的取值范围 2 若方程两根均在区间 0 1 内 求m的范围 思路点拨 设出二次方程对应的函数 可画出相应的示意图 然后用函数性质加以限制 解析 1 已知条件说明抛物线f x x2 2mx 2m 1与x轴的交点分别在区间 1 0 和 1 2 内 画出示意图 得 2 据抛物线与x轴交点落在区间 0 1 内 列不等式组 点评 本题重点考查方程的根的分布问题 熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义是正确解此题的关键 用二次函数的性质对方程的根进行限制时 条件不严谨是解答本题的易错点 变式探究 5 关于x的二次方程x2 m 1 x 1 0在区间 0 2 上有解 求实数m的取值范围 解析 1 设f x x2 m 1 x 1 x 0 2 若f x 0在区间 0 2 上有一解 f 0 1 0 则应有f 2 0 即f 2 22 m 1 2 1 0 易错警示 案例 分类讨论不周致误 已知函数f x x2 ax 3 a 若x 2 2 时 f x 0恒成立 求a的取值范围 错解 法一 f x 0恒成立 a2 4 3 a 0恒成立 解得a的取值范围为 6 a 2 法二 f x x2 ax 3 a 若x 2 2 时 f x 0恒成立 课时升华 1 函数零点的意义 若函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是连续不间断的 并且在区间端点的函数值符号相反 即f a f b 0 则函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使f c 0 这个c就是方程f x 0的根 我们把方程f x 0的实数根x叫做函数y f x x d 的零点 函数的零点就是使得函数值为0的自变量的值 2 函数y f x 的零点就是方程f x 0的实数根 也就是函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 即方程f x 0有实数根 函数y f x 有零点 函数y f x 的图象与x轴有交点 若方程f x 0没有实数根 则函数y f x 没有零点 函数y f x 的图象与x轴没有交点 3 函数f x f x g x 的零点就是使方程f x g x 的实数根 也就是函数y f x 的图象与函数y g x 的图象交点的横坐标 4 二分法求方程近似解的过程中解法的程序框图蕴涵着算法思想和符号化 模型化的思想 这些思想是现代数学的重要思想 是信息技术与数学内容有机的整合 在学习中注意体会并加以运用 有利于我们数学能力的培养 综合素质的提高 5 二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的分布问题 既可以运用公式法先求出方程的根 再列出等价条件组 也可以引入二次函数 由函数的图象特征列出等价的条件组 应因题而异 优化解题的思路 6 函数与方程这一节内容渗透了丰富的数学思想方法 解题时需具有敏锐的观察力和转化问题的手段 把复杂的问题化归为二次方程或二次函数问题 再运用等价转化思想 函数与方程思想 分离参数方法 分类讨论思想等解决问题 感悟高考 品味高考 1 2012 湖北卷 函数f x xcosx2在区间 0 4 上的零点个数为 a 4b 5c 6d 7 解析 由f x 0 得x 0或cosx2 0 即x2 k k z 又 x 0 4 k 0 1 2 3 4 共有6个解 故选c 答案 c 2 2012 北京卷 函数f x x x的零点个数为 a 0b 1c 2d 3 高考预测 1 2012 东北三省四市教研协作体调研 若a 2 则函数f x x3 ax2 1在 0 2 内零点的个数为 a 3b 2c 1d 0 解析 f x x2 2ax 由a 2可知 f x