高考数学总复习 第五章 第五节数列的求和课件 文.ppt

第五节数列的求和 第五章数列 考纲要求 掌握等差数列 等比数列的前n项和公式 能把某些不是等差和等比数列的求和问题转化为等差 等比数列来解决 掌握裂项求和的思想方法 掌握错位相减法求和的思想方法 并能灵活地运用这些方法解决相应问题 课前自修 知识梳理 二 错位相减法求和例如是等差数列 是等比数列 求a1b1 a2b2 anbn的和就适用此法 做法是先将和的形式写出 再给式子两边同乘或同除以公比q 然后将两式相减 相减后以 qn 为同类项进行合并得到一个可求和的数列 注意合并后有两项不能构成等比数列中的项 不要遗漏掉 三 分组求和把数列的每一项分成若干项 使其转化为等差或等比数列 再求和 四 并项求和例如求1002 992 982 972 22 12的和可用此法 七 倒序相加法求和如果一个数列 an 首末两端等 距离 的两项的和相等或等于同一个常数 那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法 如等差数列的前n项和就是用此法推导的 八 其他方法求和如归纳猜想法 奇偶分拆法等 基础自测 1 2012 南阳一中考试 设等差数列 an 的前n项和为sn 若s3 9 s6 36 则a7 a8 a9 a 63b 45c 36d 27 解析 由等差数列的性质知 s3 s6 s3 s9 s6成等差数列 9 36 9 s9 36成等差数 即54 9 s9 36 s9 81 a7 a8 a9 81 36 45 故选b 答案 b 2 2012 福州市模拟 在数列 an 中 如果存在非零的常数t 使得an t an对于任意正整数n均成立 那么就称数列 an 为周期数列 其中t叫做数列 an 的周期 已知数列 xn 满足xn 2 xn 1 xn x n 若x1 1 x2 a a 1 a 0 当数列 xn 的周期为3时 则数列 xn 的前2012项的和s2012为 a 670b 1338c 1339d 1342 答案 d 3 2012 山西四校联考 等差数列 an 中 a3 8 a7 20 若数列的前n项和为 则n的值为 4 2011 巢湖市模拟 如图所示 一条螺旋线是用以下方法画成 abc是边长为1的正三角形 曲线ca1 a1a2 a2a3分别以a b c为圆心 ac ba1 ca2为半径画的弧 曲线ca1a2a3称为螺旋线 旋转一圈 然后又以a为圆心aa3为半径画弧 这样画到第n圈 则所得螺旋线的长度ln 用 表示即可 考点探究 考点一 分组后 可用公式求和 n个1 思路点拨 通过分组 直接用公式求和 k个1 点评 运用等比数列前n项和公式时 要注意按公比q 1或q 1进行讨论 变式探究 1 2012 北京市朝阳区期中 在递增数列 an 中 sn表示数列 an 的前n项和 a1 1 an 1 an c c为常数 n n 且a1 a2 s3成等比数列 1 求c的值 2 若bn an n n 求b2 b4 b2n 解析 1 an 1 an c a1 1 c为常数 an 1 n 1 c 则a2 1 c s3 1 1 c 1 2c 3 3c 又a1 a2 s3成等比数列 所以 1 c 2 3 3c 解得c 1或c 2 由于 an 是递增数列 舍去c 1 故c 2 考点二 错位相减法求和 例2 已知数列1 3a 5a2 2n 1 an 1 a 0 求其前n项和 思路点拨 已知数列各项是等差数列1 3 5 2n 1与等比数列a0 a a2 an 1对应项的积 可用错位相减法求和 解析 设sn 1 3a 5a2 2n 1 an 1 a 得asn a 3a2 5a3 2n 1 an 1 a sn 1 2a 2a2 2a3 2an 1 2n 1 an 当a 1时 点评 若数列 an bn 分别是等差 等比数列 则求数列 anbn 的前n项和的方法就用错位相减法 变式探究 2 2012 武汉市武昌区调研改编 已知数列 an 满足a1 2 an 1 3an 3n 1 2n n n 1 设bn 证明 数列 bn 为等差数列 并求数列 an 的通项公式 2 求数列 an 的前n项和sn 考点三 裂项相消法求和 变式探究 3 2012 安徽江南十校联考 在等比数列 an 中 a1 0 n n 且a3 a2 8 又a1 a5的等比中项为16 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn log4an 数列 bn 的前项和为sn 是否存在正整数k 使得 k对任意n n 恒成立 若存在 求出正整数k的最小值 若不存在 请说明理由 考点四 倒序相加法求和 点评 等差数列求和公式的推导方法叫做倒序求和法 如果一个数列 an 满足a1 an a2 an 1 其前n项和sn就可以用倒序求和法求解 变式探究 4 求值 sin21 sin22 sin23 sin288 sin289 解析 设s sin21 sin22 sin23 sin288 sin289 倒序得s sin289 sin288 sin287 sin22 sin21 即s cos21 cos22 cos23 cos288 cos289 得2s sin21 cos21 sin22 cos22 sin289 cos289 89 s 44 5 1 求数列的前n项和 关键是抽取出其通项来加以分析 根据数列的通项的结构特点去选择适当的方法 2 等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法 它可将复杂的数列转化为等差 等比数列问题来解决 3 数列求和是数列的一个重要内容 其实质是将多项式的和化简 等差 等比数列及可以转化为等差 等比数列的求和问题应掌握 还应掌握一些特殊数列的求和 4 解决非等差 等比数列的求和 主要有两种思路 1 转化的思想 即将一般数列设法转化为等差或等比数列 这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成 2 不能转化为等差或等比数列的数列 往往通过裂项相消法 错位相减法 倒序相加法等来求和 5 错位相减 裂项相消 等是数列求和最重要的方法 是高考重点考查的内容 应熟练掌握 感悟高考 品味高考 2 2012 天津卷 已知 an 是等差数列 其前n项和为sn bn 是等比数列 且a1 b1 2 a4 b4 27 s4 b4 10 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 记tn anb1 an 1b2 an 2b3 a1bn n n 证明tn 12 2an 10bn n n 法二 由 1 得tn 2an 22an 1 23an 2 2na1 2tn 22an 23an 1 23an 2 2na2 2n 1a1 由 得tn 2 3n 1 3 22 3 23 3 2n 2n 2 2n 2 6n 2 10 2n 6n 10 而 2a