高考数学总复习 第七章 第一节直线的斜率与直线方程课件 理.ppt

第一节直线的斜率与直线方程 第七章平面解析几何 考纲要求 1 平面向量的实际背景及基本概念 1 了解向量的实际背景 2 理解平面向量的概念 理解两个向量相等的含义 3 理解向量的几何表示 2 向量的线性运算 1 掌握向量加法 减法的运算 并理解其几何意义 2 掌握向量数乘的运算及其意义 理解两个向量共线的含义 3 了解向量线性运算的性质及其几何意义 课前自修 知识梳理 一 直线的倾斜角1 定义 在平面直角坐标系中 对于一条与x轴相交的直线l 如果把x轴绕着交点按 到和 时所转的 记为 那么 就叫做直线的倾斜角 当直线l与x轴重合或平行时 规定倾斜角为0 2 倾斜角的范围 逆时针方向转 直线l重合 最小正角 二 直线的斜率1 定义 倾斜角不是90 的直线 它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率k 即k tan 90 倾斜角为 的直线没有斜率 2 斜率公式 经过p1 x1 y1 p2 x2 y2 两点的直线的斜率为 三 直线的方向向量 a 1 k 90 四 求直线斜率的方法1 定义法 已知直线的倾斜角为 且 90 则斜率k tan 2 公式法 已知直线过p1 x1 y1 p2 x2 y2 两点 且x1 x2 则斜率k 3 方向向量法 若a m n 为直线的方向向量 则直线的斜率k 五 斜率的应用 证明三点共线 kab kbc 六 直线方程的几种形式 注意 除了一般式以外 每一种方程的形式都有其局限性 基础自测 1 2012 泰安市期末 直线l ax y 2 a 0在x轴和y轴上的截距相等 则a的值是 a 1b 1c 2或 1d 2或1 解析 可用代值检验法求解 当a 2或a 1时 符合题意 故选d 答案 d 解析 斜率k 故k 1 0 由正切函数图象知 倾斜角 故选b 答案 b 3 2011 上海市青浦区模拟 直线x y 1 0的倾斜角为 4 已知两点a 1 5 b 3 2 若直线l过点 1 2 且直线l的倾斜角是直线ab倾斜角的一半 则直线l的方程是 x 3y 5 0 考点探究 考点一 直线的倾斜角与斜率 例1 1 直线3y x 2 0的倾斜角是 a 30 b 60 c 120 d 150 2 设直线的斜率k 2 p1 3 5 p2 x2 7 p 1 y3 是直线上的三点 则x2 y3依次是 a 3 4b 2 3c 4 3d 4 3 3 直线l1与直线l2关于x轴对称 l1的斜率是 则l2的斜率是 a b c d 4 从直线l上的一点a到另一点b的纵坐标增量是3 横坐标增量是 2 则该直线的斜率是 5 直线xcos y 2 0的倾斜角的取值范围是 变式探究 1 1 已知直线l过点 a 1 a 1 tan 1 则 a 一定是直线l的倾斜角b 一定不是直线l的倾斜角c 不一定是直线l的倾斜角d 180 一定是直线l的倾斜角 2 2012 冀州中学一模 如果f x 是二次函数 且f x 的图象开口向上 顶点坐标为 1 那么曲线y f x 上任一点的切线的倾斜角 的取值范围是 3 若三点a 2 2 b a 0 c 0 4 共线 则a的值等于 解析 2 二次函数f x 的最小值为 即y f x 曲线上任一点的切线的斜率的最小值为 所以k tan 所以 故选b 答案 1 c 2 b 3 4 考点二 直线的斜率公式的应用 例2 1 2011 宜昌市调研 若实数x y满足等式 x 2 2 y2 3 那么的最大值为 a b c d 2 2012 淮南市模拟 直线ax y 1 0与连接a 2 3 b 3 2 的线段相交 则a的取值范围是 a 1 2 b 2 1 c 2 1 d 2 1 解析 1 实数x y满足等式 x 2 2 y2 3 而方程 x 2 2 y2 3表示以点 2 0 为圆心 以为半径的圆 所以点m x y 是圆 x 2 2 y2 3上的点 而即表示圆 x 2 2 y2 3上的点m x y 与原点o 0 0 连线的斜率 如图所示 当直线mo与圆相切 切点在第一象限 时 斜率最大为 故选d 2 因为直线ax y 1 0过定点c 0 1 当直线处在ac与bc之间时 必与线段ab相交 应满足 a 或 a 即a 2或a 1 故选d 答案 1 d 2 d 变式探究 2 过点m 2 a 和n a 4 的直线的斜率为1 则实数a的值为 a 1b 2c 1或4d 1或2 3 实数x y满足3x 2y 5 0 1 x 3 则的最大值为 最小值为 考点三 求直线的方程 例3 已知 abc的三个顶点是a 3 4 b 0 3 c 6 0 求它的三条边所在的直线方程 思路点拨 一条直线的方程可写成点斜式 斜截式 两点式 截距式和一般式等多种形式 使用时 应根据题目所给的条件恰当选择某种形式 使得解法简便 由顶点b与c的坐标可知点b在y轴上 点c在x轴上 于是bc边所在的直线方程用截距式表示 ab所在的直线方程用斜截式的形式表示 ac所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可 最后为统一形式 均化为直线方程的一般式 解析 如图所示 因 abc的顶点b与c的坐标分别为 0 3 和 6 0 故点b在y轴上 点c在x轴上 即直线bc在x轴上的截距为 6 在y轴上的截距为3 利用截距式 直线bc的方程为 1 化为一般式为x 2y 6 0 由于点b的坐标为 0 3 故直线ab在y轴上的截距为3 利用斜截式 得直线ab的方程为y kx 3 又由顶点a 3 4 在其上 所以 4 3k 3 故k 于是直线ab的方程为y x 3 化为一般式为7x 3y 9 0 由a 3 4 c 6 0 得直线ac的斜率kac 利用点斜式得直线ac的方程为y 0 x 6 化为一般式为4x 9y 24 0 也可用两点式 得直线ac的方程为 再化简即可 点评 本题考查了求直线方程的基本方法 正确选用直线方程的几种形式可使计算简化 过程简洁 有利于提高解题的速度 变式探究 3 1 直线l过点a 2 4 分别交x轴 y轴于b c两点 且满足 则直线l的方程为 a 4x y 12 0b 4x y 12 0c x 4y 12 0d x 4y 12 0 2 已知直线l过点p 1 1 且与直线l1 2x y 3 0及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形 给出下列结论 直线l与直线l1的斜率互为倒数 直线l与直线l1的倾斜角互补 直线l在x轴上的截距为 直线l在y轴上的截距为 1 这样的直线l有两条 其中正确结论的序号是 2 依题意直线l与直线l1的倾斜角互补 故其斜率为 2 过点p 1 1 故直线l的方程为2x y 1 0 故正确结论只有 答案 1 a 2 考点四 求满足特定条件的直线方程 例4 1 一条直线经过点p 3 2 且倾斜角是直线x 4y 3 0的倾斜角的两倍 求该直线的方程 2 一条直线经过点m 2 1 且在两坐标轴上的截距和是6 求该直线的方程 3 直线l经过点p 3 2 且与x轴 y轴的正半轴交于a b两点 且 aob的面积最小 o为坐标原点 求直线l的方程 思路点拨 1 由已知直线方程求得已知直线的斜率 再由二倍角正切公式求得所求直线的斜率 2 直线在x 或y 轴上的截距是该直线与该轴交点的横 或纵 坐标 可以是正 负数或者0 3 将面积看作截距a b的函数 求函数的最小值即可 解析 1 设所求直线倾斜角为q 已知直线的倾斜角为a 则q 2a tana tanq tan2a 从而所求直线方程为y 2 x 3 即8x 15y 6 0 2 法一 设直线在x轴 y轴上的截距分别为a b 此时直线方程为x y 3 0或x 2y 4 0 当a b中有一个不存在时 直线方程分别为x 2或y 1 它们均不满足题设的另一条件 在两坐标轴的截距和是6 因而舍去 故所求的直线方程为x y 3 0或x 2y 4 0 法二 若所求直线的斜率存在且不为0 设直线斜率为k 在y轴上的截距为b 直线方程为y kx b 由题知 1 2k b b 6 解之得 k 1时b 3 或k 时b 2 此时直线方程为x y 3 0或x 2y 4 0 当k 0或k不存在时 不合题意 故所求的直线方程为x y 3 0或x 2y 4 0 法三 当斜率存在时 设所求直线的斜率为k 则直线方程为y 1 k x 2 化为一般式得kx y 2k 1 0 分别令x 0 y 0得截距 2k 1 于是由题意得 2k 1 6 解得k 1或k 分别得直线x y 3 0与x 2y 4 0 当斜率不存在时 直线方程为x 2 不合题意 舍去 综合上面的讨论知 直线方程为x y 3 0或x 2y 4 0 法四 由题知直线经过点m 2 1 且在两坐标轴上的截距和是6 显然斜率存在 设直线方程为ax y c 0 不难求得该直线在x y轴上的截距分别为 和 c 以下求解基本同法二 3 法一 设直线方程为 1 a 0 b 0 点p 3 2 代入得 1 2 得ab 24 从而s aob ab 12 当且仅当 时等号成立 这时k 从而所求直线方程为2x 3y 12 0 点评 利用点斜式求直线方程时 要验证斜率k不存在的情况 变式探究 4 1 已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3 分别求满足下列条件的直线l的方程 过定点a 3 4 斜率为 2 过点p 1 4 作直线与两坐标轴的正半轴相交 当直线在两坐标轴上的截距之和最小时 求此直线方程 1 直线的倾斜角 斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的基本量 应正确理解 2 注意斜率和倾斜角的区别 在确定直线的斜率 倾斜角时 首先要注意斜率存在的条件 其次是倾斜角的范围 每一条直线都有唯一的倾斜角 但并不是每一条直线都存在斜率 所以在研究直线的有关问题时 应考虑到斜率存在与不存在的情况 避免出现漏解的情形 平面直角坐标系内 每一条直线都有倾斜角 但不是每一条直线都有斜率 倾斜角的取值范围是 倾斜角是90 的直线没有斜率 倾斜角不是90 的直线都有斜率 斜率k的取值范围是 可通过斜率的图象 如右图 去加深理解 3 注意倾斜角的变化与斜率的变化的联系 4 直线方程有五种形式 直线方程的点斜式 两点式 斜截式 截距式等都是直线方程的特殊形式 其中点斜式是最基本的 要熟练掌握 其他形式的方程皆可由它推导 直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义 但又都有一些特定的限制条件 如点斜式方程的使用要求直线存在斜率 截距式方程的使用要求横纵截距都存在且均不为零 两点式方程的使用要求直线不与坐标轴垂直 因此应用时要注意它们各自适用的范围 以避免漏解 含参数的直线方程问题用数形结合法常常简捷些 具体地说 1 在利用直线的截距式解题时 要注意防止由于漏 零截距 而造成丢解的情况 在有关 截距 的问题中 要注意 截距 和 距离 是两个不同的概念 直线在x轴上的截距是指直线与x轴交点的横坐标 直线在y轴上的截距是指直线与y轴交点的纵坐标 截距可能是正数 也可能是负数或零 2 在利用直线的点斜式 斜截式解题时 要注意检验斜率不存在的情况 防止丢解 3 在求直线方程时 要注意需两个独立的条件才能确定 常用的方法是待定系数法 设方程 求待定系数 代入方程 要充分认识到直线方程几种形式的适用性和局限性 直线方程中的各个参数都具有明显的几何意义 它对直线的位置 点与直线 直线与直线 直线与圆的各种关系的研究十分重要 高考中重点考查运用上述知识解题的变通能力 5 设直线方程的一些常用技巧 1 知直线纵截距b 常设其方程为y kx b 2 知直线横截距x0 常设其方程为x my x0 它不适用于斜率为0的直线 3 知直线过点 x0 y0 当斜率k存在时 常设其方程为y k x x0 y0 当斜率k不存在时 则其方程为x x0 4 与直线l ax by c 0平行的直线可表示为ax by c1 0 5 与直线l ax by c 0垂直的直线可表示为bx ay c1 0 总而言之 求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式 利用待定系数法求解 6 直线系 属知识拓展 对于直线的斜截式方程y kx b 当k b均为确定的数值时 它表示一条确定的直线 如果k b变化时 对应的直线也会变化 1 当b为定值 k变化时 它们表示过定点 0 b 的直线束 2 当k为定值 b变化时 它们表示一组平行直线 感悟高考 品味高考 1 曲线y x3 2x 1在点 1 0 处的切线方程为 a y x 1b y x 1c y 2x 2d y 2x 2 解析 切线的斜率k f 1 3x2 2 x 1 1 根据点斜式得切线方