高考数学总复习 第二章 第十五节用导数解决生活中的优化问题课件 理.ppt

第十五节用导数解决生活中的优化问题 第二章函数 导数及其应用 考纲要求 会利用导数解决某些实际问题 课前自修 知识梳理 优化问题 社会经济生活 生产实践与科学研究等实际问题中有关求利润 用料 效率 等问题通常称为 问题 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各个量之间的关系 建立实际问题的 写出实际问题中 根据实际问题确定定义域 最大 最省 最高 优化 数学模型 变量间的函数关系式y f x 2 求函数y f x 的 解方程 得出定义域内的实根 确定 3 比较函数在 和 的函数值的大小 获得所求函数的最大 小 值 4 还原到实际问题中作答 导数f x f x 0 极值点 区间端点 极值点 基础自测 1 以长为10的线段ab为直径作半圆 则它的内接矩形面积的最大值为 a 10b 15c 25d 502 圆柱形金属饮料罐容积一定时 要使材料最省 则它的高与半径的比应为 a b 2c d 3 c 3 一个物体的运动方程为s 1 t t2 其中s的单位是米 t的单位是秒 那么物体在3秒末的瞬时速度是 a 7米 秒b 6米 秒c 5米 秒d 8米 秒 解析 由导数的物理意义知 位移的导数是瞬时速度 由s 1 t t2求导得v s 1 2t 当t 3时 v 5 故选c 答案 c 4 用总长14 8m的钢条制作一个长方体容器的框架 如果制作容器的一边比另一边长0 5m 那么高为 时 容器容积最大 考点探究 考点一 利润最大问题 例1 某工厂生产某种产品 已知该产品的月生产量x 单位 吨 与每吨产品的价格p 单位 元 吨 之间的关系式为p 24200 x2 且生产x吨的成本为r 50000 200 x 单位 元 问 该厂每月生产多少吨产品才能使利润f x 达到最大 最大利润是多少 利润 收入 成本 思路点拨 根据题意 列出利润的函数关系式 进而可用导数求最值的方法进行求解 点评 利用导数求实际问题中的最大值或最小值时 如果函数在区间内只有一个极值点 那么依据实际意义 该极值点也就是最值点 变式探究 1 2012 泉州市检测 某公司生产一种产品 每生产1千件需投入成本81万元 每千件的销售收入r x 单位 万元 与年产量x 单位 千件 满足关系 r x x2 324 0 x 10 该公司为了在生产中获得最大利润 年利润 年销售收入 年总成本 则年产量应为 a 5千件b 6千件c 9千件d 10千件 解析 依题意 年利润y x x2 324 81x x3 243x 00 x 9时 y 0 所以当x 9时 y有最大值 故选c 答案 c 考点二 与分段函数有关的优化问题 例2 2012 上海市闸北区模拟 某公司是一家专做产品a的国内外销售的企业 每一批产品a上市销售40天内全部售完 该公司对第一批产品a上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查 调查结果如图 图 图 所示 其中图 中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系 图 中的抛物线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系 图 中的折线表示的是每件产品a的日销售利润与上市时间的关系 国内 外市场相同 1 分别写出国内市场的日销售量f t 国外市场的日销售量g t 与第一批产品a的上市时间t的关系式 2 第一批产品a上市后的哪几天 这家公司的日销售利润超过6300万元 思路点拨 本题给出的是随着时间t的不同 对应的日销售量y的函数图象也不相同的问题 因此需要建立的函数解析式应为一个分段函数的形式 应针对自变量x的取值不同分别求出其最大值 然后再进行比较 点评 对于分段函数的问题 应该对自变量分段进行考虑 对每一段考虑其最值的情况 然后再将这几段的最值情况综合起来进行比较 变式探究 2 某公司生产某种产品 固定成本为20000元 每生产一件产品 成本增加100元 已知总收益r与年产量x的关系是r r x 则总利润最大时 每年生产的产品是 件 考点三 社会热点有关的优化问题 例3 某电视生产企业有a b两种型号的电视机参加家电下乡活动 若企业投放a b两种型号电视机的价值分别为a b万元 则农民购买电视机获得的补贴分别为a mln b 1 万元 m 0且为常数 已知该企业投放总价值为10万元的a b两种型号的电视机 且a b两种型号的投放金额都不低于1万元 1 请你选择自变量 将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数 并求其定义域 2 当投放b型电视机的金额为多少万元时 农民得到的总补贴最大 变式探究 3 某集团为了获得更大的收益 每年要投入一不定期的资金用于广告促销 经调查 每年投入广告费t百万元 可增加销售额约为 t2 5t 百万元 0 t 5 1 若公司将当年的广告费控制在3百万元之内 则应投入多少广告费 才能使该公司由此获