高考数学总复习 第十章 第一节分类计数与分步计数原理课件 理.ppt

第一节分类计数与分步计数原理 第十章计数原理 概率 随机变量及其分布 考纲要求 1 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题 课前自修 知识梳理 1 分类加法计数原理 做一件事 完成它可以有两类办法 在第一类办法中有m1种不同的方法 在第二类办法中有m2种不同的方法 那么完成这件事共有n m1 m2种不同的办法 定义拓展 做一件事 完成它可以有n类办法 在第一类办法中有m1种不同的方法 在第二类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n m1 m2 mn种不同的办法 2 分步乘法计数原理 做一件事 完成它需要分成两个步骤 做第一步有m1种不同的方法 做第二步有m2种不同的方法 那么完成这件事共有n m1 m2种不同的方法 定义拓展 做一件事 完成它需要分成n个步骤 做第一步有m1种不同的方法 做第二步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同方法 那么完成这件事共有n m1 m2 mn种不同的方法 基础自测 1 2012 深圳高级中学期末 设集合a 1 0 1 集合b 0 1 2 3 定义a b x y x a b y a b 则a b中元素个数是 a 7b 10c 25d 52 解析 a b 0 1 a b 1 0 1 2 3 x有2种取法 y有5种取法 由分步乘法原理得2 5 10 故选b 答案 b 2 2012 泉州模拟 从10名大学毕业生中选3人担任村长助理 则甲 乙至少有1人入选 而丙没有入选的不同选法的种数为 a 85b 56c 49d 28 解析 甲 乙至少有1个入选而丙没有入选的不同选法为 49 种 答案 c 3 在某种信息传输过程中 用4个数字的一个排列 数字允许重复 表示一个信息 不同排列表示不同信息 若所用数字只有0和1 则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为a 10b 11c 12d 15 解析 与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类 第一类 与信息0110有两个对应位置上的数字相同的有 6 个 第二类 与信息0110有一个对应位置上的数字相同的有 4 个 第三类 与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的有 1 个 所以与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6 4 1 11 个 故选b 答案 b 4 椭圆 1的焦点在y轴上 且m 1 2 3 4 5 n 1 2 3 4 5 6 7 则这样的椭圆有 个 解析 由题知m n 根据m的取值分为5类 m 1时 有6个椭圆 m 2时 有5个椭圆 m 3时 有4个椭圆 m 4时 有3个椭圆 m 5时 有2个椭圆 共有6 5 4 3 2 20个 答案 20 考点探究 考点一 分类加法计数原理的运用 例1 三边长均为整数 且最大边长为11的三角形的个数是 思路点拨 根据题目中的条件 列出另两边满足的关系式 然后用列举法逐一求出来 再用分类加法计数原理求解 解析 设较小的两边长为x y 不妨设x y 则当x 1时 y 11 当x 2时 y 10 11 当x 3时 y 9 10 11 当x 4时 y 8 9 10 11 当x 5时 y 7 8 9 10 11 当x 6时 y 6 7 8 9 10 11 当x 7时 y 7 8 9 10 11 当x 11时 y 11 所以不同三角形的个数为1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36 个 答案 36 点评 应用分类加法计数原理时 首先要根据问题的特点 确定好分类的标准 分类时应满足 完成一件事的任何一种方法 必属于某一类且仅属于某一类 变式探究 1 如图 小圆圈表示网络的结点 结点之间的线段表示它们有网线相连 连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量 现从结点a向结点b传递信息 信息可以从分开不同的路线同时传递 则单位时间内传递的最大信息量为 a 26b 24c 20d 19 解析 因信息可以分开沿不同的路线同时传递 由分类计数原理 完成从结点a向结点b传递有四种办法 12 5 3 12 6 4 12 6 7 12 8 6 故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息的和 3 4 6 6 19 故选d 答案 d 考点二 分步乘法计数原理的运用 例2 把一个圆分成3块扇形 现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色 要求相邻扇形的颜色互不相同 问有多少种不同的涂法 解析 依题意 可分三步来完成 第一步涂a区域 有5种不同涂法 第二步涂b区域 有4种不同涂法 第三步涂c区域 有3种不同涂法 根据分步乘法计数原理 得不同涂色方法数是5 4 3 60 种 点评 本题需要分步去完成 分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步 不能独立完成这件事 各个步骤都是不可缺少的 需要依次完成所有的步骤 才能完成这件事 变式探究 2 将4个不同的小球放入3个不同的盒子 其中每个盒子都不空的放法共有 a 34种b 43种c 18种d 36种 解析 4个不同的小球放入3个不同的盒子 其中每个盒子都不空 则必有一个盒子放入2个球 设4个球的编号分别为1 2 3 4 则其中2个球放在一个盒子里的情况有 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 计6种情况 把2个球放在一个盒子里的情况当作1个球和另外2个球分别放入3个盒子里 共有3 2 1种放法 于是所求放法为6 3 2 1 36种 故选d 答案 d 考点三 两个计数原理的综合应用 例3 现有高三4个班学生34人 其中一 二 三 四班各7人 8人 9人 10人 他们自愿组成数学课外小组 1 选其中1人为负责人 有多少种不同的选法 2 每班选1名组长 有多少种不同的选法 3 推选2人作中心发言 这2人需来自不同的班级 有多少种不同的选法 思路点拨 本题主要考查两个计数原理的综合应用 先考虑分类再考虑分步 解析 1 分四类 第一类 从一班学生中选1人 有7种选法 第二类 从二班学生中选1人 有8种选法 第三类 从三班学生中选1人 有9种选法 第四类 从四班学生中选1人 有10种选法 所以 共有不同的选法n 7 8 9 10 34种 2 分四步 第1 2 3 4步分别从一 二 三 四班学生中选一人任组长 所以共有不同的选法n 7 8 9 10 5040种 3 分六类 每类又分两步 从一 二班学生中各选1人 有7 8种不同的选法 从一 三班学生中各选1人 有7 9种不同的选法 从一 四班学生中各选1人 有7 10种不同的选法 从二 三班学生中各选1人 有8 9种不同的选法 从二 四班学生中各选1人 有8 10种不同的选法 从三 四班学生中各选1人 有9 10种不同的选法 所以共有不同的选法n 7 8 7 9 7 10 8 9 8 10 9 10 431种 点评 解决这类题首先要明确 完成一件事 指什么 如何完成这件事 即分步还是分类 进而确定应用分类计数原理还是分步计数原理 分步计数原理中的 分步 程序要正确 步 与 步 之间是连续的 不间断的 缺一不可 分类计数原理中的 分类 要全面 不能遗漏 类 与 类 之间是并列的 互斥的 独立的 也就是说 完成一件事情 每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法 变式探究 3 1 2012 临沂市模拟 2010年广州亚运会的篮球比赛中场休息时 为活跃现场气氛 组委会想从拉拉队的5名男队员和5名女队员中选出3名队员表演一个临时性的节目 则其中至少有1名女队员入选的方案数为 a 180b 120c 110d 100 2 2012 上海市模拟 上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会 其中甲企业有2人到会 其余4家企业各有1人到会 会上推选3人发言 则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为 1 解析 法一 分类加法计数法 当有1名女队员和2名男队员时 不同的方案数为 5 10 50 种 当有2名女队员和1名男队员时 不同的方案数为 5 10 50 种 当有3名女队员时 不同的方案数为 10 种 根据分类加法计数原理可得 不同的方案数共有50 50 10 110 种 法二 排除法 从10名队员中任选3名队员的方案数为 120 种 只从5名男队员中选取3名队员的方案数为 10 种 所以至少有1名女队员入选的方案数为120 10 110 种 故选c 2 若3人中有1人来自甲企业 则共有种情况 若3人中没有甲企业的 则共有种情况 由分类加法原理可得 这3人来自3家不同企业的可能情况共有 16种 答案 1 c 2 16 例4 电视台在 欢乐今宵 节目中拿出两个信箱 其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信 甲信箱中有30封 乙信箱中有20封 现由主持人抽奖确定幸运观众 若先确定一名幸运之星 再从两信箱中各确定一名幸运伙伴 有多少种不同的结果 解析 分两类 1 幸运之星在甲箱中抽 再在两箱中各定一名幸运伙伴 有30 29 20 17400种结果 2 幸运之星在乙箱中抽 同理有20 19 30 11400种结果 由分类计数原理 共有17400 11400 28800种不同结果 点评 在综合运用两个原理时 一般先分类再分步 变式探究 4 由1 2 3 4 5组成没有重复数字且1 2都不与5相邻的五位数的个数是 a 36b 32c 28d 24 解析 分类讨论 如果5在两端 则1 2有三个位置可选 排法为2 24种 如果5不在两端 则1 2只有两个位置可选 排法为3 12种 由分类加法计数原理 共计12 24 36种 故选a 答案 a 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是计数问题的基本原理 它贯穿于全章学习的始终 体现了解决问题时将其分解的两种常用方法 即把问题分类解决和分步解决 是本章学习的重点 2 两个原理的联系与区别 共同点 都是计算完成一件事的所有不同的方法种数 不同点 一个与分类有关 一个与分步有关 如果完成一件事情共有n类办法 这n类办法彼此之间是相互独立的 无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情 求完成这件事情的方法种数 就用分类加法计数原理 如果完成一件事情需要分成n个步骤 各个步骤都是不可缺少的 需要依次完成所有的步骤 才能完成这件事 而完成每一个步骤各有若干种不同的方法 求完成这件事情的方法种数就用分步乘法计数原理 简而言之 两个原理都是指完成一件事的方法种数而言的 区别在于 1 分类计数原理是 分类 分步计数原理是 分步 2 分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事 分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步 不能独立完成这件事 3 对两个原理的浅释 分类加法计数原理中 完成一件事 有n类办法 是说每种办法 互斥 即每种方法都可以独立地完成这件事 同时他们之间没有重复也没有遗漏 进行分类时 要求各类办法彼此之间是相互排斥的 不论那一类办法中的哪一种方法 都能独立完成这件事 只有满足这个条件 才能直接用分类加法计数原理 否则不可以 分步乘法计数原理中 完成一件事 需要分成n个步骤 是说每个步骤都不足以完成这件事 这些步骤 彼此间也不能有重复和遗漏 如果完成一件事需要分成几个步骤 各步骤都不可缺少 需要依次完成所有步骤才能完成这件事 而各步要求相互独立 即相对于前一步的每一种方法 下一步都有mi种不同的方法 那么完成这件事的方法数就可以直接用分步乘法计数原理 可以看出 分 是它们共同的特征 但是 分法却大不相同 这种变形还提醒人们 分类和分步 常是在一定的限制之下人为的 因此 在这里我们大有用武之地 可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步 感悟高考 品味高考 1 某同学有同样的画册2本 同样的集邮册3本 从中取出4本赠送给4位朋友 每位朋友1本 则不同的赠送方法共有 a 4种b 10种c 18种d 20种 解析 若取出1本画册 3本集邮册 有种赠送方法 若取出2本画册 2本集邮册 有种赠送方法 则不同的赠送方法有 10种 故选b 答案 b 2 2012 浙江卷 若从1 2 3 9这9个整数中同时取4个不同的数 其和为偶数 则不同的取法共有 a 60种b 63种c 65种d 66种 解析 要使所取出的4个数的和为偶数 则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求 所以按照取出的数字奇偶数的个数分类 1 2 3 9这9个整数中有5个奇数 4个偶数 要想同时取4个不同的数其和为偶数 则取法有三类 4个都是偶数 1种 2个偶数 2个奇数 60种 4个都是奇数 5种 不同的取