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第10章效用理论决策方法 10 1期望收益值存在的一些问题10 2行为假设与偏好关系10 3效用函数及其确定 10 4主观期望效用值思考与练习 1 10 1期望收益值准则存在的一些问题 1 后果的多样性 后果可能反映直接经济效益 间接经济效益 也可能是生态效益 社会效益 当后果值是盈利 支出等可量化的指标时 采用期望收益值的方法是可行的 但当评价指标是一些不容易量化的软指标时 如何确定期望收益值将是一个难以解决的问题 或者说期望收益值将变得没有意义 2 2 采用期望后果值的不合理性 从概率论中我们知道 概率是频率的极限 也就是说 事件发生的概率是大量重复多次试验体现出的统计学意义上的规律 这有两层含义 其一 试验必须是可在完全相同的情况下重复进行的 其二 试验必须多次进行 而决策问题 特别是战略性的决策问题 往往不满足这样的要求 比如我们说 航天飞机的发射 其可靠性是99 7 是指通过理论上的计算得出的 多次发射中成功发射出现的次数占99 7 而对于一次发射而言 结果只能是要么失败 要么成功 3 3 负效应 以货币为单位的期望收益值作为决策准则还有负效应引起的弊端 如掷硬币 方案A 若为正面 则赢5元 反面则输5元 方案B 若为正面赢5万元 反面则输5万元 E A E B 但此时人们心目中已不采用期望收益值准则行事 依人们的价值观 损失5万元要比赢得5万元的效用值大 称为 负效用 这样的例子有很多 如一个人的工资涨了100元 他可能觉得没什么 但如减薪100元 那他肯定要问个明白 且感觉不舒服 4 4 决策者的主观因素 价值观 经济学中的边际效用递减规律是指随着某种物品消费量的增加 心理满足程度会以越来越缓慢的速度增加 在这里 这个规律在决策者的决策中当然会体现 即期望收益值的增加程度 并不一定等价于决策者心理上满足感的增加程度 从另一个方面讲 对于不同的决策者 同样的收益 不一定带来同样的心理上的满足 比如买衬衣 某甲原来的衬衣都已破旧 买了一件新的 某乙原有十几件新衬衣 再买一件 同样一件衬衣 在甲看来这件新衬衣比乙心目中的价值要高得多 5 而且 不同决策者 对同样数额收益或损失的心理上的反应 会随着其个人经历 知识背景 性格特点及其它主观因素的不同而不同 经历过新中国成立初期困难时期的人 与改革开放后在较好的经济条件下成长的新一代 他们对同样物质生活水平的满足感是显然不同的 前者更能感受经济发展带来的生活水平的提高 而后者会认为这样的生活水平是理所应当的 并不觉得有什么太好 综合以上五点 我们得出以下两点结论 1 需要一种能表述人们主观价值的衡量指标 而且它能综合衡量各种定量和定性的结果 2 这样的指标没有统一的客观评定尺度 因人而异 视各人的经济 社会和心理条件而定 6 因此 需要探求一种较期望收益值更为完善的决策准则 使其能体现实际决策中决策者对方案的衡量指标 更适合于为决策者提供更加合理 有效 也更加体现决策者意图 更加人性化的决策分析中对方案的评价指标 这既是理论上的完善 也是决策理论向实际应用迈进的重要一步 本章的目的 就是介绍这样一种合理的评价准则 即将后果值转换为效用值 以期望效用值作为方案选择的判别准则 为此 我们在下一节中先讨论行为假设与偏好关系 7 10 2行为假设与偏好关系 对于一个决策问题来说 每一种方案下对应于不同的自然状态都有一个后果值 于是每一方案的后果值可用一个向量来表示 但要评价各方案的优劣 我们必须将每一方案下的这个向量合并成一个数来反映方案的优劣 在此基础上 我们才能对各方案进行优劣评价 因此 决策分析的首要问题在于建立一种有效的方法或模型来评价备选方案 而这种方法或模型必须要有可靠的理论基础 这就是下面将要介绍的关于决策的合理行为的假设以及由此引出的结论 考虑风险型决策问题 即各自然状态的出现概率已知的情形 首先我们引入一些新的概念 以用来描述一个方案的结果 以及方案之间的关系和运算 8 9 在单目标 多目标风险型决策问题中 每一个备选方案均可用一事态体表示 如果各自然状态的顺序已定 则pi就是第i种自然状态出现的概率 i表示该方案在第i种自然状态出现时的结果 后果值 10 我们通过下面三个步骤建立一种合理的公理化的评价准则 第一步一个概念 偏好关系 对于后果值 1 2 n中任意两个可能的结果x和y 总可以按照既定目标的需要 前后一致地判定其中一个不比另一个差 表示为 x不比y差 11 12 下面我们基于偏好关系提出三条假设 将偏好关系推广到一般事态体的比较 由此得出一般事态体间的比较 运算法则 第二步三个假设 把后果集中结果的比较推广到标准事态体间的比较 13 这条假设将后果值间的偏好关系推广到了简单事态体 例10 4两组有奖储蓄 均发行储蓄券10000张 两组中奖者均获得同样数目奖金 400元 所不同的是 第一组拥有可中奖彩券150张 而第二组中只拥有可中奖彩券100张 试问你愿参加哪一个组 14 15 16 这三条假设将后果值间的偏好关系推广到了事态体间的偏好关系 第三步两个定理 决策分析的理论基础 17 18 例10 6 掷硬币事件 掷一枚硬币 假设掷出正面H 正 和掷出方面T 反 的概率均为0 5 A1 500 0 0 5 A2 200 200 0 5 A1为风险型事件 A2为确定型事件 二者何为优先 此时 A2 200元 若A2 500元 肯定不接受A1 若A2 0元 什么机会也没有 接受A1 是否参与A1取决于另一个收益为确定值的方案 此确定值在0 500之间 可以推断 从肯定不参与到参与之间 此确定值相应有一个转折点 这个转折点就是和事态体方案A1等价的确定值 即称为等价确定值 19 定理10 1的重要性是显然的 它在必然事件与简单事态体这样两种表面性质完全不同的事物之间建立了无差别类比的运算关系 体现了人对于不确定事件的 把握 与 判断 前者是确定的结局 后者则具有多种可能的结果 这种将随机性的情形化成等价的确定性情形的过程 实际上构成了基于效用函数理论的决策分析方法的理论基础 下面的定理进一步说明任一有n种可能结果的事态体可化为一个无差别的简单事态体 从而也可无差别于一个必然事件 20 21 这个定理告诉我们 任意一个标准事态体都可以转化成一个简单事态体 从而任意两个有多种可能结果的标准事态体之间的比较可以转化成与之无差的两个简单事态体的比较 且这两个事态体具有相同的结果 即可由假设10 1得出比较结果 基于无差关系和偏好关系的传递性 对于多个事态体的排序 也可由此方法完成 上述三个假设和两个定理作为决策分析的理论基础具有十分重要的意义 在求解含有不确定因素的决策问题中 每个方案因不确定的自然状态都有若干种可能的结果 因此可被看成一个个的事态体 当它们满足前面三个假设时 由上面的两个定理可知 这些事态体都是可以进行比较的 因而这类决策问题的备选方案都可以排出优劣顺序 22 23 24 10 3效用函数及其确定 10 3 1效用函数的定义 25 26 10 3 2效用函数的确定 我们知道 效用函数的定义没有限制其惟一性 效用函数没有正误之分 只体现决策者的主观偏好 但是 在具体的环境下 方案后果的效用值是可以确定的 而且效用值的大小最终取决于决策者的估算 但若对每一个结果的效用值都由决策者估算 显然是繁琐甚至是不可能的 根据经验我们发现 决策者对效用值的估计 主要决定于其对风险的态度 并且有一定的模式和类型 27 28 29 30 图10 3鲜花的效用曲线 31 6 3 3L A模拟法 1 风险中性型 曲线斜率为常数 表明决策者在每增加1单位产出时所得到的满足感都是相同的 而每减少1单位产出时的失望也是相同的 如图10 4中C2所示 2 风险规避型 曲线的斜率在差的产出水平比好的产出水平大 说明摆脱差的产出带给决策者的欢乐程度比放弃好的产出带给决策者的痛苦程度大 如图10 4中C1所示 3 风险偏好型 曲线的斜率在好的产出水平比差的产出水平大 说明决策者更关心方案的结果较好时其结果的变化 如图10 4中C3所示 还有一些由基本类型组合而成的类型 如S形效用曲线 如图10 5所示 32 图10 4三种类型的效用曲线 33 图10 5 S形效用曲线 34 10 4主观期望效用值 10 4 1主观概率与客观概率 概率的定义可分为两类 主观概率和客观概率 客观概率是指建立在等可能性基础上的古典概率和建立在大量重复试验基础上的统计概率 古典概率建立在 等可能性 这个比较原始概念的基础之上 如果一个事件A可以划分为M个后果而这些都属于N个两两互不相容且等可能的事件所构成的完备事件组 则事件A的概率等于p A M N 35 概率的统计定义是从大数实验中事件出现的频率出发的 在不变的条件下重复进行实验 观察事件A的发生或不发生 这样可看出事件A的发生是服从某种稳定规律的 如n表示在N次独立重复实验中事件A的发生次数 频率值n N在N充分大时几乎保持固定的数值 实验次数越多 观察到的偏差越小 事件A出现的频率即可视为概率 即 36 客观概率在自然科学和工程技术领域应用非常广泛 但也有它的一些缺陷 1 古典定义在考虑复杂问题时会遇到困难 许多场合能否符合等可能性就成问题 2 对于统计定义 概率是频率的 极限 很难估计一个精确值 所采用的样本常不清楚 如开车出现车祸的概率 指哪一时间段 哪一地域 哪种类型的车 精确重复的概念有问题 如掷硬币真正是完全重复 那么它应产生同样的结果 这就引出了不确定源的问题 到底是来自内部世界还是外部世界 答案和每个人的世界观密切相关 有人认为存在不可避免的不确定性 有人则排斥真正的随机性 37 拉姆斯 菲拉迪 萨维奇等人提出了和客观概率相对应的主观概率的概念 认为概率所反映的是主观心理对事件发生所抱有的 信念程度 degreeofbeliefs 它既适应于重复事件 也适应于像台海战争是否爆发这样一类单一事件 大量的研究成果说明 概率主观估算不仅有效 而且比没有这种估算更可取 因此 主观概率应同客观概率一样被应用 尤其在经济决策 项目决策等问题上 主观概率有其用武之地 38 主观概率和人们对此不确定事件的认识 知识 有关 概率的确定相当于其知识状态的反映 如甲乙两人做游戏 拿一长一短两根火柴 甲每次出一根 乙猜这根火柴是长还是短 如已进行过6次 第1次为短 其余均为长 第7次出短的概率为多少 尽管第7次出长出短理应独立于前6次的结果 但乙会根据对甲性格的了解以及前5次甲出长的结果估计下一次出短的概率应大于0 5 在这种场合 人们对事件实际发生的概率作出符合它们对事件发生可能性认识的直觉判断 称为主观概率 39 人们常常根据长期积累的经验以及对预测与决策事件的了解 从而对事件发生的可能性大小作主观估计 不同的人员对同一事件发生的可能性有不同的相信程度 因此 主观概率出现的答案可能会多种多样 主观概率与客观概率一样 必须满足概率的三条基本公理 设p Ai 为事件Ai发生的主观概率 则它们满足 1 0 p Ai 1 2 p 1 为样本空间 3 若Ai Aj i j i j 1 2 即Ai Aj为互斥事件 则 40 主观概率与客观概率的主要区别是 主观概率无法用试验或统计的方法来检验它的正确性 例如 在某项投标中 一个投标者认为他提出的报价中标的可能性是 90 失标的可能性为10 而另一个投标者 在完全相同的情况下 则认为中标的可能性为70 失标的可能性为30 对于这两种主观概率估计是无法断言哪个是正确的 即使中标了也如此 尽管二者的含义不同 但在实用中两者仍有密切联系 按古典概率和统计概率定义求得的客观概率可以作为判定主观概率的基础 如根据统计数据 4000次火警中有1000次错报 则消防人员判断火警错报的主观概率可能就据此定为0 25 即使上述猜火柴长短的情况 判断第7次出长的可能性较大 但仍然考虑到客观概率为0 5这个 等可能性 的情况 41 如果有两根长火柴 一根短火柴 则可能作出另一种判断 可以说 客观概率是判断主观概率所依据的重要知识 主观概率虽不具有客观概率那样的可检验性 但在许多经济项目的预测和决策中 主观概率法又是不可缺少的一种常用方法 特别是在历史资料既不齐全又不适用的条件下 常常采用主观概率法进行预测和决策 10 4 2主观概率的判断 为了使主观概率的概念能够实用 萨维奇提出了参考事态体的概念以判断事件的主观概率 以例说明 问题 产品A下季度销售量大于3000台的概率是多少 42 设计两个事态体 L1 产品 A 下季度销量 3000台 盈利1万元 销量 3000台 盈利2000元 L2 一个袋子里有100只球 设其中有红球50只 白球50只 摸出红球 得1万元 摸出白球 得2000元 此即参考事态体 判断者在这两种事态体之间进行辨优 并作出抉择 如果此人根据已掌握的销售情况 相信有50 以上的可能性销售量会大于3000台 那他将会选择事态体L1 此时 我们下一步变动红白球的组成 如80只红球 20只白球 形成新的参考事态体 这时 判断者可能会选择L2 意味着他认为销售量大于3000台的概率不会超过80 43 然后减少红球的数目 直到出现一种参考事态体 判断者认为和事态体L1等价 设此时红球数为r 表明在r 1个红球时判断者将选择L2 在r 1个红球时将选择L1 在两事态体等价时红球出现的概率为r 100 即反映了判断者对于现实生活中出现该事件的相信程度 此即主观概率 在本例中 如选定的参考事态体由70只红球 30只白球组成 则表示判断者认为下季度产品A 的销量大于3000台的概率为0 7 这个过程可以继续下去 以判断销售量超出其它数量的概率 如按同样步骤得出销量超过1000台 2000台 4000台 5000台的主观概率分别为0 9 0 85 0 45 0 25 则可给出图10 9的概率分布曲线 44 图10 9主观概率分布曲线 45 求估主观概率 除上述方法外 还有一种方法 称为专家咨询法 这种方法类似于 Delphi 法 即把要估计的概率和相关资料 聘请有经验的专家进行评估 填写有关表格 待专家评估后 再作适当的数据处理 即可得到主观概率的估计值 此时 主观期望效用值表达式为式中 f pi 为主观概率 这样 我们把决策准则从期望收益值推广到期望效用值 再推广到了主观期望效用值 46 思考与练习 1 期望收益值作为决策的准则有什么不足 试举例说明 2 什么是效用函数 如何确定效用函数 3 效用函数的构造有哪些方法 各有什么特点 4 试以有奖储蓄为例对本章假设2 连续性 作以说明 47 5 某零售商准备外出组织货源 有关资料经预测列于下表 通过对该零售商的提问 已知 u 3250 1 u 2050 0 u 2200 0 5 并基本确定其效用函数为 u x ln x 1 用期望收益值准则求行动方案 2 求解该零售商对此决策问题的效用函数 3 用期望效用值准则求行动方案 4 对应用两种准则的决策结果进行对比分析 48 49 6 设某甲面临一种事态体 先付60元进行一次掷硬币的博弈 若出现正面则赢160元 若出现反面则一无所获 即有事态体 100 60 0 5 设甲依期望效用值准则行事 且其效用函数为乙也依期望效用值准则行事 其效用函数为 x 20 x 20 50 其中x为收益 1 试分析两人参加此项博弈的可能性 2 假设甲愿意承担此项博弈费用的 40 乙愿承担余下的60 若赢 甲得64元 乙得96元 此时双方是否会联合参加此项博弈 7 某