高三数学一轮复习 数列的综合应用热点专题突破课件.ppt

热点专题突破系列 三 数列的综合应用 考点1等差数列与等比数列的综合问题 典例1 2014 湖州模拟 已知 an 是单调递增的等差数列 首项a1 3 前n项和为sn 数列 bn 是等比数列 首项b1 1 且a2b2 12 s3 b2 20 1 求 an 和 bn 的通项公式 2 令cn sncos an n n 求 cn 的前n项和tn 解题视点 1 利用 基本量法 用首项和公差 比 表示已知等式 解得公差 比 再用通项公式求解 2 用 1 的结论表示出cn 再分n是偶数与n是奇数两种情况讨论求和 规范解答 1 设数列 an 的公差为d 数列 bn 的公比为q 则a2b2 3 d q 12 s3 b2 3a2 b2 3 3 d q 9 3d q 20 3d q 11 q 11 3d 则 3 d 11 3d 33 2d 3d2 12 即3d2 2d 21 0 3d 7 d 3 0 因为 an 是单调递增的等差数列 所以d 0 所以d 3 q 2 an 3 n 1 3 3n bn 2n 1 2 由 1 知cn sncos3n 当n是偶数时 tn c1 c2 c3 cn s1 s2 s3 s4 sn 1 sn a2 a4 a6 an 6 12 18 3n 当n是奇数时 tn tn 1 sn n 1 2 综上可得 tn 规律方法 等差数列 等比数列综合问题的解题策略 1 分析已知条件和求解目标 确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题 如为求和需要先求出通项 为求出通项需要先求出首项和公差 公比 等 确定解题的顺序 2 注意细节 在等差数列与等比数列综合问题中 如果等比数列的公比不能确定 则要看其是否有等于1的可能 在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等 这些细节对解题的影响也是巨大的 提醒 在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论 分类解决问题后还要注意结论的整合 变式训练 2014 金华模拟 在等比数列 an 中 已知a1 3 公比q 1 等差数列 bn 满足b1 a1 b4 a2 b13 a3 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 记cn 1 nbn an 求数列 cn 的前n项和sn 解析 1 设等差数列 bn 的公差为d 由已知得 a2 3q a3 3q2 b1 3 b4 3 3d b13 3 12d 所以此时d 2 所以an 3n bn 2n 1 2 由题意得 cn 1 nbn an 1 n 2n 1 3n sn c1 c2 cn 3 5 7 9 1 n 1 2n 1 1 n 2n 1 3 32 3n 当n为偶数时 sn 当n为奇数时 sn n 1 2n 1 所以sn 加固训练 在公差为d d 0 的等差数列 an 和公比为q的等比数列 bn 中 a2 b1 3 a5 b2 a14 b3 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 令cn an bn 求数列 cn 的前n项和tn 解析 1 因为a2 b1 3 a5 b2 a14 b3 所以解之得所以an 2n 1 bn 3n 2 因为cn an bn 2n 1 3n 所以tn 1 3 3 32 5 33 2n 1 3n 所以3tn 1 32 3 33 2n 3 3n 2n 1 3n 1 所以 2tn 3 2 32 2 33 2 3n 2n 1 3n 1 所以 2tn 3 2 32 33 3n 2n 1 3n 1 3 2 2n 1 3n 1 所以tn 3 n 1 3n 1 考点2数列与函数的综合问题 典例2 12分 2013 安徽高考 设数列 an 满足a1 2 a2 a4 8 且对任意n n 函数f x an an 1 an 2 x an 1cosx an 2sinx 满足f 0 1 求数列 an 的通项公式 2 若bn 求数列 bn 的前n项和sn 解题视点 1 由f 0证得 an 是等差数列 2 求出 bn 的通项公式 利用等差 等比数列的求和公式计算 规范解答 1 由题设可得 f x an an 1 an 2 an 1sinx an 2cosx 对任意n n f an an 1 an 2 an 1 0 即an 1 an an 2 an 1 故 an 为等差数列 由a1 2 a2 a4 8解得 an 的公差d 1 所以an 2 1 n 1 n 1 规律方法 数列与函数的综合问题的常见类型及解题策略 1 已知函数条件 解决数列问题 此类问题一般利用函数的性质 图象研究数列问题 2 已知数列条件 解决函数问题 解决此类问题一般要充分利用数列的范围 公式 求和方法对式子化简变形 另外 解题时要注意数列与函数的内在联系 灵活运用函数的思想方法求解 在问题的求解过程中往往会遇到递推数列 因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决 解决数列与函数综合问题的注意点 1 数列是一类特殊的函数 其定义域是正整数集 而不是某个区间上的连续实数 所以它的图象是一群孤立的点 2 转化以函数为背景的条件时 应注意题中的限制条件 如函数的定义域 这往往是非常容易忽视的问题 3 利用函数的方法研究数列中相关问题时 应准确构造函数 注意数列中相关限制条件的转化 变式训练 2014 温州模拟 已知函数f x x 1 x r 数列 an 满足a1 a a 1 a r an 1 f an n n 1 若数列 an 是常数列 求a的值 2 当a1 4时 记bn n n 证明数列 bn 是等比数列 并求出通项公式an 解析 1 因为f x a1 a an 1 f an n n 数列 an 是常数列 所以an 1 an a 即a 解得a 2或a 1 所以所求实数a的值是1或2 2 因为a1 4 bn n n 所以即bn 1 bn n n 所以数列 bn 是以b1 为首项 q 为公比的等比数列 于是 由所以所求的通项公式 加固训练 已知数列 an 的前n项和为sn 对一切正整数n 点pn n sn 都在函数f x x2 2x的图象上 且过点pn n sn 的切线的斜率为kn 1 求数列 an 的通项公式 2 若bn an 求数列 bn 的前n项和tn 3 设q x x kn n n r x x 2an n n 等差数列 cn 的任一项cn q r 其中c1是q r中的最小数 110 c10 115 求 cn 的通项公式 解析 1 因为点pn n sn 都在函数f x x2 2x的图象上 所以sn n2 2n n n 当n 2时 an sn sn 1 2n 1 当n 1时 a1 s1 3满足上式 所以数列 an 的通项公式为an 2n 1 2 由f x x2 2x求导可得f x 2x 2 因为过点pn n sn 的切线的斜率为kn 所以kn 2n 2 所以bn an 4 2n 1 4n 所以tn 4 3 41 4 5 42 4 7 43 4 2n 1 4n 由 4 得4tn 4 3 42 4 5 43 4 7 44 4 2n 1 4n 1 得 3tn 4 3 4 2 42 43 4n 2n 1 4n 1 4 3 4 2 2n 1 4n 1 所以 3 因为q x x 2n 2 n n r x x 4n 2 n n 所以q r r 又因为cn q r 其中c1是q r中的最小数 所以c1 6 因为 cn 的公差是4的倍数 所以c10 4m 6 m n 又因为110 c10 115 所以解得m 27 所以c10 114 设等差数列 cn 的公差为d 则所以cn 6 n 1 12 12n 6 所以 cn 的通项公式为cn 12n 6 考点3数列与不等式的综合问题 典例3 2013 广东高考 设各项均为正数的数列 an 的前n项和为sn 满足4sn an 12 4n 1 n n 且a2 a5 a14构成等比数列 1 证明 2 求数列 an 的通项公式 3 证明 对一切正整数n 有 解题视点 1 把n 1代入已知等式 注意到an 0即可得证 2 把已知等式中的n换为n 1 n 2 然后两式相减消去sn sn 1 根据结构向等差或等比数列转化 再求通项公式 3 根据 2 的结论 先运用裂项求和 再证明不等式 规范解答 1 当n 1时 4a1 a22 5 a22 4a1 5 因为an 0 所以 2 当n 2时 4sn 1 an2 4 n 1 1 4an 4sn 4sn 1 an 12 an2 4 an 12 an2 4an 4 an 2 2 因为an 0 所以an 1 an 2 当n 2时 an 是公差d 2的等差数列 因为a2 a5 a14构成等比数列 a52 a2 a14 a2 6 2 a2 a2 24 解得a2 3 由 1 可知 4a1 a22 5 4 a1 1 又因为a2 a1 3 1 2 则an是首项a1 1 公差d 2的等差数列 数列 an 的通项公式为an 2n 1 规律方法 数列中不等式的处理方法 1 函数方法 即构造函数 通过函数的单调性 极值等得出关于正实数的不等式 通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式 2 放缩方法 数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到 3 比较方法 作差或者作商比较 变式训练 已知各项均不相等的等差数列 an 的前四项和s4 14 且a1 a3 a7成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 设tn为数列的前n项和 若tn an 1对一切n n 恒成立 求实数 的最小值 解析 1 设公差为d 由已知得解得d 1或d 0 舍去 所以a1 2 故an n 1 加固训练 2014 太原模拟 已知等差数列 an 的公差不为零 且a3 5 a1 a2 a5成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足b1 2b2 4b3 2n 1bn an且数列 bn 的前n项和为tn 试比较tn与的大小 解析 1 在等差数列 an 中 设公差为d d 0 所以an a1 n 1 d 1 2 n 1 2n 1 2 b1 2b2 4b3 2n 1bn an b1 2b2 4b3 2n 1bn 2nbn 1 an 1 得 2n bn 1 2 所以bn 1 21 n 当n 1时 b1 a1 1 所以bn 即 当n 1时 t1 b1 1 1 所以当n 2时 又2n 1 1 n n 1 n 2 所以所以当n 1时 当n 2时 考点4数列的实际应用问题 典例4 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产 该企业第一年年初有资金2000万元 将其投入生产 到当年年底资金增长了50 预计以后每年资金年增长率与第一年的相同 公司要求企业从第一年开始 每年年底上缴资金d万元 并将剩余资金全部投入下一年生产 设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元 1 用d表示a1 a2 并写出an 1与an的关系式 2 若公司希望经过m m 3 年使企业的剩余资金为4000万元 试确定企业每年上缴资金d的值 用m表示 解题视点 1 只要根据增长率求出当年年底的资金总额 再减去上缴的资金 就是剩余资金 即可求出a1 a2 以及建立an 1与an间的递推关系式 2 使用逐次迭代的方法或者构造等比数列的方法均可求出数列 an 的通项公式an 令am 4000即可求出d 规范解答 1 由题意得a1 2000 1 50 d 3000 d a2 a1 1 50 d a1 d 4500 d 所以an 1 an 1 50 d an d 2 方法一 由 1 得 当n 2时 整理得由题意 am 4000 所以 3000 3d 2d 4000 解得故该企业每年上缴资金d的值为时 经过m m 3 年企业的剩余资金为4000万元 方法二 由于an 1 an d 设an 1 an 化为an 1 an 与an 1 an d比较可得 2d 故an 1 2d an 2d 这说明数列 an 2d 是以a1 2d 3000 3d为首项 为公比的等比数列 所以an 2d 3000 3d 即an 3000 3d 2d 下同方法一 规律方法 解答数列实际应用问题的步骤 1 确定模型类型 理解题意 看是哪类数列模型 一般有等差数列模型 等比数列模型 简单的递推数列模型 基本特征见下表 2 准确解决模型 解模就是根据数列的知识 求数列的通项 数列的和 解方程 组 或者不等式 组 等 在解模时要注意运算准确 3 给出问题的回答 实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案 在解题中不要忽视了这点 提醒 一般地 涉及递增率或递减率要用等比数列 涉及依次增加或减少要用等差数列 有的问题是可以通过转化得到等差或等比数列的 注意之间的联系 变式训练 2014 广州模拟 某学校餐厅为了保证每天供应1000名学生用餐 每星期一都提供有a b两种菜可供学生选择 每个学生都将从二种中选一种 经调查 凡是在本周星期一选a菜的 下周星期一会有20 改选b 而选b菜的 下周星期一则有30 改选a 用an bn分别表示在第n个星期一选a b菜的人数 a1 b1表示本周星期一选a b菜人数 若a1 200 1 试以an表示an 1 2 证明 an 的通项公式是an 400 600 3 试问从第几个星期一开始 选a的人数超过选b的人数 解析 1 由题可知 因为在本周星期一选a菜的 下周星期一会有20 改选b 而选b菜的 下周星期一则有30 改选a 所以an 1 an 1 0 2 0 3 bn 又an bn 1000 所以整理得 an 1 an 300 2 因为a1 200 且an 1 an 300 所以an 1 600 an 600 即 an 600 可以看成是首项为 400 公比为的等比数列 所以an 400 600 3 由an bn 1000 an bn得an 500 又an 400 600 所以3 答 从第4个星期一开始 选a的人数超过选b的人数 加固训练 流行性感冒 简称流感 是由流感病毒引起