凸函数在初等代数中的应用.doc

. . . .凸函数在初等代数中的应用摘 要 本文通过对凸函数定义及性质定理的介绍,归纳了判定凸函数的几种方法,并用于讨论初等代数中关于函数凸性的问题,进一步提高了运用这些方法解决相关数学问题的能力.关键词 凸函数;判别;不等式;应用中图分类号 O174.131 引言函数的凹凸性主要用于高等数学中,例如凸函数在泛函分析、最优化理论以及数学规划和控制论等领域有着广泛的应用,而在初等代数中并没有相关的概念以及系统的定义、性质,但它在初等代数解题中频频出现.例如有些对数函数,指数函数以及一些不等式的计算或证明,往往看起来很复杂,甚至无从下手,若用常规方法去解决会相当困难,再加上计算量大且繁锁,使许多人产生厌学数学的情绪,但如果利用凸函数的相关性质给予计算或证明,则会起到简捷明了、事半功倍的效果.为了培养与提高学生学习数学的兴趣,让学生初步掌握凸函数相关性质是很必要的.因此本文通过凸函数的基本知识及相关性质的介绍,归纳了判定其凸性的几种方法,并用于讨论初等代数中关于函数凸性的问题.2 预备知识定义 设为定义在区间上的函数,若对上的任意两点,和任意实数,总有 , 则称为区间上的凸函数.反之,如果总有 . 则称为区间上的凹函数.定义 若在区间上有定义,当且仅当曲线的切线恒保持在曲线以下,则称为上的凸函数.性质 若在区间上为凸函数,则当时,在上也为凸函数.性质 若,在区间都为凸函数,则在区间上也为凸函数.性质 若在区间上为凸函数,则当时,在区间上也为凸函数.性质 (Jensen不等式)若为区间上的凸函数,则对任意的,且,有.推论 若是凸函数,则其对应定义域中的任意个点,恒有,当且仅当时等号成立.定理 为上的凸函数的充要条件是:对于上的任意三点,总有 .推论 若在上满足 (,且),则称为上的凸函数.定理 设为区间上的二阶可导函数,则为上的凸函数的充要条件是,.由于凹函数与凸函数是对偶的概念,后一个有什么结论,前一个亦有相应的结论,所以本文只需讨论函数的凸性.3 判别函数凸性的方法在解题中常会遇到一些与凸函数相关的问题.要想运用凸函数的有关性质去解决,首先就要判断该函数的凸性.因此掌握判别凸函数的一些基本方法,有利于提高解题速度.下面将探讨判别凸函数的几种基本方法.3.1 定义法一些基本的初等函数可以直接用定义去判别它的凸性.例如.由定义1,对,有 ,即 ,所以为上的凸函数.3.2 定理法例1 判别函数的凸性.解 令且,则,由定理1有,所以为上的凸函数.例2 判别的凸性.解 由于,则由定理2知,当,即时,有.故在上为凸函数,在上为凹函数.3.3 几何意义法在定义中,令,分别表示轴上点到点的线段,点到点,的线段(如图1）.则定义1表示凸函数图形上任意一段弧的所有点都在该弧所对应的弦下面.图1这样利用函数的几何意义,做出该函数某定义区间内的图象,根据图像特点就可判断函数的凸性.这样对一些基本的初等函数的凸性便可快速判别.如,在上为凸函数.,在上为凸函数.(且),在上为凸函数.,当或时,在上为凸函数.,当时,在上为凹函数;当,在上为凸函数.在以上判别函数凸性的方法中,用定义法判定函数的凸性过程中计算量大不易于快速解决问题,而定理2形式简单,应用方便,成为判别函数凸性的首选方法.但在解题过程中应灵活选用适当的方法,以便高效解题.4 函数的凸性在初等代数中的应用函数凹凸性虽然是高等数学的一个内容,但在初等代数中却有着广泛应用.4.1 在证明不等式中的应用证明不等式是初等代数的一个重点内容,也是难点内容,有时若用凸函数的性质去证明不等式,往往会有奇妙的效果.例 若,求证.证明作上的凸函数,而,所以有.注 若用数学归纳法证明很难而且不易找到其解题思路,但巧妙运用函数的凸性,可以快速解决问题,并且使证明过程变得简单易懂.例 已知函数,若且,证明.证明 因为 ,且,故,则在区间是下凸函数.又,所以有.注 若该题采用常规方法,对三角函数式变形要求较高,而利用函数凸性则可避免复杂的变形和计算.例 若,则(). A. B. C. D. 解 由,得均为正数,由均值不等式得,又由对数函数,则有,所以函数在其定义域内是上凸函数,故有,选B. 4.2 在有关函数图像问题中的应用利用函数的凸性,不仅可以用来证明不等式,求取值范围,而且还可以深刻地研究函数的有关性质和绘制函数图像,并结合图像来解决问题.例 已知为正整数,且,证明.分析 如图2,作出函数的简图,图象过点.图2设直线交曲线于点B,交线段AC于点F,则,由函数的凹凸性可知函数为凸函数,则有时,有,即,可化为 . 证明 设数列的通项为,则式可化为为,所以数列为递减数列.由于,则有,即,变形得,所以成立.例 如图所示,单位圆中弧的长为,表示弧与弦所围成的弓形面积的2倍,则函数的图象是( ).解法1 设,则,又 当时,则,其图像位于下方;当时,其图像位于上方.故选D.解法2 易知弓形的面积为,而,故的函数图像,在上为凹的,在上为凸的,故选D.注 从简单的对图形认识上升到对理论的掌握,进而应用函数凸性并结合图像得到解决问题的有效途径,使得结论形象直观.4.3 在求最值问题的中应用例8 若,求的最小值.解 令由于,故,令,易知为凸函数,则上式可化为 ,所以原式最大值为.注 分式不等式的证明一直是不等式证明的疑难问题,本例从凸函数的视角解答,化繁为简,让人耳目一新.例9 在中,求:的最大值.的最小值.解 构造凸函数 ,则有 ,所以的最大值是.令在上是凸函数,则是上的凸函数,取,由Jensen不等式得,即 .注 运用三角函数的和差化积、积化和差公式,对此类问题的解决极其繁琐,而函数凸性恰给类似问题的解决提供了新的思路.5 结束语在阅读文献的基础上对凸函数的定义及其相关性质定理进行了探究,总结出了判定凸函数的三种方法以及在几类初等代数问题中的应用,发现利用凸函数解决一些较复杂的初等代数问题时,可以使其变得简单,收到事半功倍的效果.若能掌握初等代数中与凸函数相关问题的解题规律和解题策略,对解决类似的问题能有所启发和帮助.其实,初等数学和高等数学的知识及一些常用方法是相互联系,相辅相成的.高等数学在初等代数中的应用也是相当广泛的,例如极限思想、线性方程组理论、概率论以及微积分知识等等在初等代数中也有广泛的应用.用高等数学的方法可以使我们居高临下地去观察初等数学问题,帮助我们确定解题思路,寻求便捷的解法,所以作为将要从事数学教学工作的我们只有学好高等数学知识,才能在今后的工作中得心应手,游刃有余,并且也有必要教学生应用一些简单的高等数学知识去处理一些初等代数问题,这样不仅简单明了还可以得出多种解法,进而激发学生学习的积极性,增强学生分析问题和解决问题的能力,也有利于学生形成良好的数学素养和数学品质,为以后的学习打下良好的基础.参 考 文 献1华东师范大学数学系.数学分析(上册)第三版M.北京:高等教育出版社,2001.2刘玉莲.数学分析M.北京:高等教育出版社,1991.3易红然.凸函数在一些证明题中的应用J.教育教学论坛,2014(4):117-118.4徐娜.凸函数的性质与应用J.专题研究,2013(13):117.5彭耿峰.高考凸函数问题研究J.中学数学研究,2013(9):41-44.6杜广环,周永芳,刘莹.凸函数在不等式证明中的应用J.高师理科学刊,2013,33(5):11-13.7陈亚丽.有关凸函数的定义和性质J.无锡商业职业技术学院学报,2013(3):111-112.8魏远金.函数凹凸性在高考中的应用J.高考研究,2006(11):25-28.1. 若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。2. 若不是心宽似海，哪有人生风平浪静。在纷杂的尘世里，为自己留下一片纯静的心灵空间，不管是潮起潮落，也不管是阴晴圆缺，你都可以免去浮躁，义无反顾，勇往直前，轻松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些时间，总会看清一些事。用一些事情，总会看清一些人。有时候觉得自己像个神经病。既