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VaR计算方法研究08教育经济与管理 惠祥凤 学号：2008210268摘要：本文主要介绍了VAR 方法产生的背景、计算VAR的基本原理及主要方法：历史模拟法、参数法、Monte Carlo 模拟方法。在参数法中详细介绍了得尔塔正态分布法、资产组合的线性VAR模型、delta 类方法和gamma 类方法。说明了各种方法的优缺点和适应范围及VaR与实际应用之间的距离。关键词: VaR 历史模拟法 参数法 Monte Carlo模拟法 引言 这次爆发的金融危机，不仅席卷了美国更波及全球。这次金融危机范围之广、影响之深、冲击之大，为20世纪30年代大萧条以来所罕见。在危机的冲击下，发达经济体身陷衰退，世界经济举步维艰，全球经济增长速度大幅放慢。金融危机使各个国家、各个行业都不同程度的受到了影响。当然这场波及全球的金融危机的产生有其深刻复杂的原因，但从另一方面也暴露了我们长期以来对风险控制的极端漠视，这不得不引起人们的反思。我们应当从这场金融危机中吸取教训，强化风险管理系统，提高抵御风险的能力，将风险降为最低。在风险管理的演进过程中，VaR是一个非常重要的概念。一 VAR 方法产生的背景风险被定义为未来净收益的不确定性。最早度量不确定性的方法是名义值法，后来引入了敏感性和波动性衡量。但是，进入20世纪70年代以来，金融市场的波动变的越来越频繁。无论是金融监管机构还是一般投资者，在监管和投资过程中面临的风险越来越大，这使得风险管理越来越重要。自70 年代初布雷顿森林体系崩溃以来, 浮动汇率制下汇率、利率等金融产品价格的变动日益趋向频繁和无序。80 年代以来金融创新及信息技术日新月异的发展, 以及世界各国金融自由化的潮流使金融市场的波动更加剧烈。由于分散金融风险的需要, 金融衍生工具便应运而生并且得到了迅猛发展。特别是针对金融衍生的财务和披露规则无法跟上金融创新的步伐使得对金融产品的估价和风险承担的变量变得非常困难。所有这些加上几个比较著名的交易损失事件，如orang Conty Case,促使人们开始试图用比较客观的方法计算和量化各种风险。最初的风险衡量方法（名义值法、敏感性和波动性衡量）已经无法满足日趋复杂且瞬息万变的金融市场的要求，在这个大背景下, VAR 方法就应运而生了。二 VAR计算的基本原理所谓Value At Risk , 按字面意思解释, 就是“处于风险中的价值” ，一般称为“风险价值”或“在险值”。VAR 值就是在一定的持有期及一定的置信度内, 某金融投资工具或投资组合所面临的潜在的最大损失金额。用公式表示则为： Pro(-VAR)(100-)式中，为投资组合未来价值的变动，VAR为在置信水平下处于风险中的价值，其中，据此定义，VAR 实际上是要估测“正常”情况下资产组合的预期收益与在一定置信区间下的最低价值之差。即：VAR=E(W)W其中, E(W)为资产组合的预期价值，W为持有期期末的资产组合的价值。由W=W0(1+r) ，W0为持有期初资产预期价值，r为收益率；W=W0(1+r), r为一定置信区间下最低的收益率，故有：VAR= W0 (E(r)r)，如：某投资组合的期限为1天、置信水平为98%的VAR值为10万美元，这意味着该投资组合未来一天内的损失只有2%的可能会超过10万美元。很显然VAR方法的最大优点是提供了一个统一的方法来测量风险，把风险管理中所涉及的主要方面投资组合价值的潜在损失用货币单位来表达，简单直观的描述了投资者在未来某一给定时期内所面临的市场风险。即使不懂金融的人也会一看就明白“最糟糕的情况会如何”。它可以测量不同市场因子、不同市场工具构成的复杂证券组合和不同业务部门的总体市场风险暴露，因此它使不同市场之间具有可比性，逐渐成为联系整个企业或机构的各个层次的风险分析、度量方法。1993年7月发表的30国集团的“衍生证券的实践与原则”报告中监管组织第一次明确地赞同采用VaR 度量与控制市场风险。另外，VAR方法可以用于多种不同的金融产品，并能够对不同的金融产品和不同的资产类型的进行度量和累积，因此，它能够用来对整个企业和跨行业的各种风险进行全面的量化。三 VAR的主要计算方法及优点VAR的计算包括5个基本要素：持有期、置信水平、数据的频度、资产组合的价值函数和分布函数。这5个要素中，前三个要素是主观确定的参数，是VAR模型的外生变量。其中，持有期的长短可依据金融产品的不同特点加以选择；时间长度和置信水平是VAR 的两个最重要的因素,都必须事先定好.巴塞尔协议规定置信水平取为99%，时间长度是10 天.不同的风险管理者可以根据自己的需要选取合适的置信水平和时间长度。对于监管者来说， 时间长度体现了频繁监督的成本与及早发现潜在问题的获益之间的替代关系。而从公司的角度来看， 这一时间间隔的选择应由投资组合本身的特性决定。 国外的商业银行现在以每日间隔分布其交易，是由于其投资组合变动频繁。相比之下，诸如养老金之类的投资组合因为调整缓慢，所以选取一个月的时间间隔；对于置信水平的选择几乎没有什么可遵循的原则，巴塞尔委员会选取99%的置信水平。因为这一水平体现了确保金融系统的安全有效和对银行风险资本要求过高的不利影响的替代关系。置信水平越高。意味着VAR 值越大，也就需要更多的资本应付可能的损失。置信水平反映了不同决策主体对风险承担的不同程度，可在95%99%之间选择；VAR 的计算往往需要大规模历史样本数据，数据频度越长，所需的历史时间跨度越大；资产组合的价值函数是证券组合的估值模型，需要根据证券组合价值与市场因子的关系确定；而分布函数则取决于市场因子未来的分布，即市场因子的波动性模型。后两个要素是计算VAR模型的核心和难点。到目前为止，计算VAR 的方法有很多种。其中主要的有三种：历史模拟法、参数法和Monte Carlo 模拟法。这三种方法基本思想不同,各有优缺点和适用范围,并在实践中分别得到进一步的修正和发展。这些方法应用都比较广泛，各个金融机构可以根据自己的需求选择合适的方法。本文对VaR 的计算方法可分为三类: （一）、历史模拟法历史模拟法是一种相当简单和直观的VAR计算方法，是用给定历史时期上所观测到的市场因子变化来表示市场因子的未来变化,采用全值估计方法即根据市场因子的未来价格水平对头寸进行重新估计, 计算出头寸的价值变化,最后将损益从小到大排列得到损益分布,通过置信度 分位数求VaR。历史模拟法使用真实的价格。不需要对市场的随机结构做任何假设。其隐含的假定是历史变化在未来可以重现。具体计算步骤如下: 第一步: 确定目标投资组合价值的市场风险因子。第二步: 获得最近N个时期市场风险因素的历史数据, 计算这些数据的每日变化率(r) , 并利用下式构造市场因素的假想价值:Pit = Pi0(1+ r)其中, Pit表示第i( i= 1, 、,M )种市场因素第t个假设价值, Pi0 表示第i种市场因素目前的实际价值,r表示第i种市场因素价值前N期内第t个实际变化率。 第三步: 利用上述构造的市场因素价值计算该投资组合的价值变化。并且把这种价值变化从小到大排序，得到的频度分布，然后通过置信水平下的分位数求出VAR的值。如下例：历史模拟法估计VAR假设某基金经理打算用历史模拟法估计某投资组合一天的VAR值，置信水平为95%，具体过程如下： VAR历史模拟法(a)历史数据收集天数因子1因子2因子n011112.2%2.4%-0.70%23.2%0.26%0.17%3-2.2%1.9%-0.18% 4990.12%0.84%-0.37%5000.39%1.5%o.18% (b)情景模拟情景因子1因子2因子n组合价值（百万美元）组合价值(百万美元)初始值26.420.137562.923.8127.000.140861.2323.910.11227.270.137961.7623.45-0.46325.840.140161.5522.90-0.5549926.450.13861.4324.000.5250026.520.139661.7722.85-0.35从表中可以看出，该基金经理首先将改投资组合分解成n个因子的组合（具体分解方法视投资组合而定），并运用历史500天的信息得到500个因子日变动率场景。之后，以当天的因子值为基础，针对每个场景计算出一天内可能达到的因子值，据此计算投资组合一天内可能的价值与价值变话。将500个组合价值变化从小到大排列，就得到了一个基于历史数据的投资组合将来可能价值的变动的分布。由于置信水平设置为95%，该基金经理只要找到分布中最小的第二十五个值，就是500个场景中5%的分位数，也就是95%置信水平下的VAR值。历史模拟法的优点有: (1) 概念直观、计算简单、实施容易,容易被监管当局和风险管理者接受，巴赛尔协议1993 年条款采用它作为市场风险的基本度量方法。 (2) 是全值估计方法,可以较好地处理市场大幅波动、非线性等情况,捕捉各种风险; (3) 是一种非参数方法,不需要假定市场因子变化的统计分布,可有效处理分布的厚尾和非对称问题。二 、 参数法参数方法假设收益率服从一定的分布。 因为在计算过程中往往需要估计参数的值， 所以被称为参数方法。下面主要介绍得尔塔正态分布法、资产组合的线性VAR模型、delta 类方法和gamma 类方法。1得尔塔正态分布法假设组合回报服从正太分布，利用正太分布的良好特性正太分布与分位数的对应性计算组合的VAR等于组合收益率的标准差与相应置信度下分位数的成绩： 式中Z标准正太分布下正太分布对应的分位数（如对应于95%的置信水平，Z=1.65；对应于99%的置信水平Z=2.33），组合收益率的标准差；t持有期。得尔塔正态法的计算简单易行。2 资产组合的线性VAR模型当资产组合中包含多个资产时，是假设将分解为多个成分（通常称之为风险因子头寸）的线性组合，并假设风险因子服从联合正态分布。只要知道所有风险因子的标准差和两两因子间的协方差，就能估计出的标准差，从而为整个投资组合计算VAR的值。基本计算公式如下： =i xi其中就是投资组合初始值分解后各风险因子对应的头寸，它可以解释为投资组合初价值对各风险因子的敏感性，则为各个风险因子价值的变化率。和分别为第i个风险因子和整个投资组合价值的的日波动率，为相关系数矩阵。当投资组合可以直接分解为几个服从联合正太分布的资产时，风险因子因子就是各个资产，此时的风险因子头寸 就是各资产的初始值；但大多数情况下，投资组合由大量资产组成，这时在按照资产逐个分解过于繁琐，因此，通常使用如历史模拟法中介绍的利率、汇率和股票价格等共同市场要素作为市场因子，估计VAR的值。在这种情况下，需要根据因子分解方法将投资组合初始值 映射为几个风险因子头寸。如果资产组合中出现期权等具有非线性性质的金融产品，上述线性模型就无法使用，需要转向非线性模型。3资产组合的非线性VAR模型根据资产价值函数展开阶数不同，可以将资产组合的非线性VAR模型分为delta 类方法和gamma 类方法。 第一 delta 类方法， 考虑一个投资组合，其中 表示第i种资产的投资权重。t 时刻所有资产的价值向量 ，组合X 的价值为，在下一个时段t 内，组合价值变动为,其中表示t内资产i 的价值变动。假定每种资产价值都由K 个市场因子确定，且这K 个市场因子服从联合正态分布，则组合价值变动的一阶近似为： 其 由时间变化引起的组合价值变动量 表示n 种资产的 系数对于第j 个市场因子的累积值：的方差为 其中,表示市场因子的协方差矩阵：,其中又可以表示成下面的形式其中R 表示市场因子的相关系数矩阵，D 是由市场因子的标准差构成的对角阵。由上面的计算知投资组合P 的VaR 为或 其中Za是对应于置信度的标准正态分布分位点； 是时间水平；K 个市场因子的风险价值向量为这里这就是所谓的delta 类方法，在这类方法中，方差和协方差估计方法的不同对应不同的具体方法，如方差用GARCH 模型来估计，就对应着delta-GARCH 方法。对于线性资产，如股票、远期利率协议及远期汇率协议等，delta 类方法是比较准确的。但是对于包含期权头寸的资产来说，delta 类方法的误差太大，因此，需要将组合价值变动函数展开成二阶近似，这样就可以得到gamma 类方法。第二 gamma 类方法 将投资组合的价值变动函数展开为二阶近似，有其中 含义同前， 表示K 个市场因子的变动向量，这里 表示市场因子的灵敏度向量。由此可以得到组合价值变动的方差： 根据Stein 引理， 因此,上式可简化为从而，投资组合的VaR 为这就是所谓的gamma 类方法，如果考虑到方差的估计方法不同，就可以得到各种gamma 方法，如方差用GARCH 模型估计，就有gamma-GARCH 模型。参数法的优点在于:数据易于收集、计算方法简单、计算速度快,也比较容易为监管当局接受。三、Monte Carlo 模拟方法参数方法利用灵敏度和统计特性简化了VaR ,但对于分布形式的特殊假定和灵敏度的局部特征, 参数方法很难有效处理金融市场的厚尾性和大幅波动的非线性问题,这样往往会产生各种误差和模型风险。蒙特卡罗模拟法综合了得尔塔正态法和历史模拟法的优点, 它也事先假定资产收益率服从一定的分布形式(既可以是正态分布, 也可以是任何其它的分布形式) , 通过伪随机数发生器(p seudo random number generator) 产生N 个模拟市场因素值, 然后采用与历史模拟法类似的办法求出资产组合未来损益的可能分布, 测定投资组合的风险价值。可以较好的处理非线性、非正态问题.蒙特卡罗法假定了收益率的分布，再从这个分布抽样。所以采用蒙特卡罗法可以产生那些我们认为将要发生，但历史观测值中没有出现的事件。例如1997年亚洲金融危机。其具体计算过程也可分为5个步骤：首先, 同前述两种方法一样分辨出投资组合所面临的基本市场风险因素, 并确定由市场因素表示的投资组合盯市价值的表达式。其次, 选定市场风险因素所服从的特征分布, 估计分布参数。这一步是蒙特卡罗模拟法区别于前两个方法的主要特征。描述市场因素可能变化的统计分布既可以是正、对数正态的, 也可以是带跳的扩散分布、t 分布等, 而方差、相关系数等参数的估计可以从历史数据或期权数据中获得。再次, 根据已选定的分布, 利用伪随机数发生器生成市场风险因素的N种未来的可能值, 然后根据每一组市场风险值对组合进行估价, 确定组合的相应价值。最后两步与历史模拟法相同, 即对盯市组合价值进行排序、分组, 得到投资组合收益率的概率分布, 测定组合的V aR。蒙特卡罗法是计算VAR 最有效的一种方法。它可以根据已确定的分布和参数, 随机生成风险因素的各种各样的未来假想情景, 可在模型中融合管理层对未来风险水平的理解与预测, 考察更多的假设情况。因此,对于许多其他方法无法处理的风险和问题, 如非线性价格风险、波动性风险、事件风险、厚尾分布等, 它都能够有效地处理。 计算VAR 的方法很多，除了以上介绍的几种之外，还有为了解决残差的异方差问题的ARCH类模型； 基于Risk Metrics 的混合正态模型，该方法为了解决金融时间序列的尖峰后尾现象；解决Monte Carlo 模拟方法的高维性、静态性缺陷的MCMC 方法，优点就是它可以同时对潜在变量进行估计,在估计出利率模型参数的同时,也给出了短期利率以及模型隐含的利率期限结构的估计；应力测试法；指数加权滑动平均EWMA模型等等；四 各种计算方法的缺点与现实之间的距离这次金融危机，实务界和理论界一直在探讨VaR的利弊得失。虽然VaR并不是导致金融危机的罪魁祸首，但显然，VaR自身存在的缺陷和金融机构对之不恰当的应用对于金融危机的纵深发展有着不可推卸的责任。下面分析各种方法存在的缺点：历史模拟法的缺点：第一，它假定市场因子的历史能反映不久的将来，但是实际金融市场不是这样，当短期内市场因子有着较大的变化时，历史模拟法就估计不准了。第二，它的结果的准确性依赖于区间的长度，如果没有大量的历史数据，也会估计不准。当置信水平很大时，样本容量必须足够大才能算出VAR, 这样的效率就比较低了。特别是涉及到结构很复杂的投资组合时，计算量就更大了，该方法的执行会比较困难。在实践中, 使用者可以对该方法进行简化, 如将收益率进行归类就能显著地提高计算速度。但是, 如果简化太多, 该方法“全部估值”( full valuation)的优点就会受到影响。第三，它赋予所有的观测值以相同的权重，也与现实不相符合。一般而言，较现在远的观测值的权重应该相应较小。离现在越近的观测值对未来的影响越大，通常当去掉一个旧的观测值后，用该方法算出的VAR 值变化很大。第四, 历史数据的时间跨度长短难以确定。如果时间跨度太短, 历史数据的样本容量就会太小, 从而估计误差比较显著。 反之, 如果时间跨度很长, 样本容量大, 这样构造的分布图会比较细致, 但经过这么长时间那些影响收益率分布的潜在因素可能已经发生了很大变化, 很难相信样本中的数据还是来自同一个分布。参数方法使用比较简单，当假设分布比较准确时，会得到比较好的结果。但是如果金融序列不符合所假定的分布将会有较大的误差，产生模型风险。同时选择的历史数据可能不具有代表性。如，得尔塔正态分布法的几个缺点：首先, 当存在“厚尾”现象时, 以正态分布假设为基础的模型会低估VaR 值。其次, 该方法不能充分测量非线性金融工具的风险,如期权和按揭。对期权产品, 得尔塔正态法采取的是一阶近似, 即一份期权等同于份基础资产,但大量研究表明期权价值是现货价格的非线性函。最后, 它对事件风险无能为力。所谓事件风险是指发生非正常或极端情况的可能性, 如股市或汇率市场的崩溃。由于事件风险不经常发生, 近期的历史数据无法充分表达有关事件风险的信息。这也是所有使用历史数据的方法都存在的一个缺点。蒙特卡罗