（基础数学专业论文）一类reinhardt域上完全准凸映射的分解定理.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 本文的研究对象是如。f = 的r e i n h a r d t 域： 令m = ( m 1 ，) ：【0 ，1 】一( 0 ，1 】n 是一个c 2 一函数，且 m j ( o ) = 0 ，m j ( 1 ) = 1 ，蟛 0 ，c l j r p j - 1 叫( 7 ) 2 ，1 j n ，0 c 1 j c 巧都是常数项定义 r 礼 、 d m = z = ( 锄，) r c n ：坞( 0 ，5 1 j r p j 一1 叫( r ) 2 ，1 j 仡，0 c l j c 2 ja r ec o n s t a n t s d e f i n e 。m = z = c 幻，z 2 ，钿，t c 竹：骞坞c l 句i ， ：i i p 2 l 一5 = 1 j 1 河南大学硕士学位论文 证明了f j ( z ) = 乃+ a i 2 z 多+ + 七苟+ o ( i z l 知+ 1 ) ，七 0 ，c u r p j _ 1 叫( r ) 2 ，1 j n ，0 c l j c 2 j 都是常数项定义 。m = 卜渤，丁田：骞酬钏 0 ，d ( z o ，7 ) = z c ：i z z o l 7 ) 表示以z o 为中心，以7 为半径的开圆盘；单位圆盘记为d = ( z c ：| z i 2 河南大学硕士学位论文 1 舻表示复数域上的线性空间：c n = ( z 1 ，z 2 ，) ：乃c ，j = 1 ，2 ，n ) 设力为域，h ( j 2 ) 表示将伫映到c 礼的全纯映射的全体设，日( 卵) ， 在c 竹中，的j a c o b i 矩阵用乃( z ) 或d f ( z ) 表示，其中 。，( z ) = ( 否o z f j 七( z ) ) ，工血n 若j s ( z ) , - i n ，其逆用丐1 ( z ) 或【d 厂( z ) 】_ 1 表示 若l 厂的j a c o b i 方阵，对每一点z 伫非奇异，则称厂为力上的局部双 全纯映射若，的逆厂1 存在，且在f ( a ) 上全纯，则称，为力_ k n o w n 映射 设，：力一c 住为双全纯映射，若y ( o ) = 0 ，d i ( 0 ) = i ，则称，为正规 化的，其中，表示单位方阵 定义1 设d 为c n 中的域，r 表示实数域若对v z 乃，0 r ，均有 e i 0 2 仃，就称力为圆型域如果对任意( 名1 ，z n ) 力及0 l ，0 钆er 必有( e 溉z l ，e i o n z n ) 力，则称力为r e i n h a r d t 域 定义2 设q 是c r 中包含原点的域，：口_ c 住是双全纯映射，如果 1 ( 0 ) = 0 ，( 力) 是c 孔中的星形域，就称，是力上的星形映射；如果，( 仃) 是中的凸域，就称厂是力上的凸映射 定义3 设口cc 礼为有界凸的r e i n h a r d t 域，其m i n k o w s k i 泛函为 p ( z ) ，正是满足l i l l 1 ，( z ) = p ( z ) 的连续线性泛函，是口_ k 的i v 规 化局部双全纯映射如果 9 t e 疋( 2 ，占) 】) 0 ，y z 力，0 r 挖 其中w ( z ，0 ) = 【d 厂( z ) 】一1 【厂( z ) 一f ( e i o ，z 1 ，e 娩z 2 ，e ) 】，则称，是p 上 的正规化局部双全纯完全准凸映射 3 我们引入如下几个记号： ( a j ) 1 9 曼竹表向量( a l ，a 2 ，a n ) 乃表投影映射z = z 1 ，勺，) _ ( z 1 ，乃一1 ，乃+ 1 ，锄) 乃表嵌入映射( z 1 ，勺一1 ，勺+ 1 ，) 一( z l ，乃一1 ，0 ，z j + i ，z n ) 对c n 中的向量z = ( z 1 ，z 2 ，孙) ，记芝= ( z l ，z 2 ，z n 一1 ) = 7 f 礼z 虿r n d m ，其中 丌礼。m = 三= c z ，勿，一，c 竹一1 ：薹坞c l 乃l ， 。 设以z ) = ( e x p ( a p ( z ) ) 一1 ) 入，则对充分大的入，我们有 喜喜魏啊 。 6 河南大学硕士学位论文 其中镏= ( w 1 ，例2 ， w n ) c n ，留0 ，即矩阵 妾警一耋 被算子a a 磊作用，则有 一。0 9 勺2 。p a l 瓦( z ) 叻( z ) = j 2 。 姿害( z ) ：o 和a 乃r j 、7 一。 0 ，k = 1 ，2 ，3 ，钆 正定然而 但是矩阵( 硒a 2 p a ) 是非奇异的，因此，( z ) = 。 对v z c n ，z 是域p ( z ) d m 的边界点，且p ( z ) d m 在z 是强拟凸的， 则( z ) = 0 而妒是全纯的，因此妒( z ) 三0 引理3 设，= ( ，厶，a ) ? ：d m c n 是正规化双全纯完全准凸 映射，则对v a = ( a 1 ，a 2 ，a n ) r 几，z d m ，有 其中 则有 缎e 跏2 ) 1 t _ i _ 0 弘o p ) = ( 瓦o p ，老， 髻( 纠。= 却，、 瓦( z ) ( 2 5 ) o 舻z k a z z ( z ) a k a z z k z z1 ) 一 亿6 ) 证明：对v a = ( 4 1 ，a 2 ，a n ) 舯，令 1 歹s b d p m ( t ) = 【d ，( z ) - 。1 【，( 名) 一y ( e a ，2 2 1 ，e i a 2 t z 2 ，e i a n t ) 】，t 毫 以( t ) =一t d ，( z ) 一 d ，( e t a ，t z ，e t a ：t z 2 ，e t a 。t ) l 赴，a 。2 z f e 谢1 。伪 e i a a n z n 坠 旦 n 啪 7 河南大学硕士学位论文 二ct，：t。，cz，一，等ceia，tz。，eta：tz2，etantzn，l：eiallta三二lz三lj 2 + t 。，c z ， 一1 c。，ceialt2，eta2t二2，eant，(兰!三圣兰) 从而 | a 1 i 咖：4 ( o ) ：一t 卜 邛他) - 1 等( z i ( a z ) 似；z + 卜z 2 ： 。厂。z ，一，g 箬。z ，。4 z ，2 + f 三 兰 定义r 上的c o o 非负实函数 则入( 0 ) = 0 ，且有 a 礼2 z n a ： 入( t ) = 贝e 鲁鲁( z ) a ( t ) ) 8 一 、。 2 = p庐； ) 仫a =： 吖， z 2 z ) a ( o ) = f r e = 贝 = 筑e 因此 即 珊o o z ( 州纠) 叫( 措) 羽5 1 比) ，蟛( 措) 吲 ， p ( z ) 蟛( 丽i z j l ) i p ( z ) 蟛( 崧) i a ”( 。) = 孵e 皇0 2 z ( z ) 西二( 。) ) 。 吼e 0 所以命题得证 9 a 1 2 1 a 礼锄 磊盟嬲矜哟 蝴谲瓣蚪 竹触 ? 产 n 芦 厂 口 0 口。 一 一 一 ，l，、【，、【，、ll 第三章 域d m 上的正规化双全纯完全准凸映射的 分解 为了给出d m 上正规化双全纯完全准凸映射的齐次展开式的刻画，我们 需要用数学归纳法 要证明定理1 和定理2 ，首先我们给出一下几个引理 设，= ( ，尼，厶) t ：d m _ 是正规化双全纯完全准凸映射，p 是满足p 0 其中= j j e 徊，护r 因此，由口的任意性得 。 ；n - 1 嘭( 崧) 鬲哺棚三。 这昙莲妻型竺量。竺墨2皇上的minkowsl【i泛函由引理2得(三，o)兰0，这与假设矛盾故结论成立 一7 一 与i 理5 若记 以= ( n ) r 2 ( z ) 一七矿= 罄( 2 ) 褰( z ) 一簧( z ) 差( z ) ( 3 3 ) 贝燮曼寰矍。乏( z ，2 2 ，一，) 7 r n d m ，：o 是以磊为自变量的映到 c 竹的全纯映射r ( 三，z n ) 的至少p 一1 阶零点 “ 。一“一一 证明：事实上，由引理4 中夕( 名) 的定义可知 落( z ) = p m ) 】9 ( z ) = 毋( z ) 磬( 名) 1 1 从而 7 ( 芝，z 竹) = 簧= 喜北，秘 罄篙簧瓦a f = 罄( z ) 喜缈( z ) 荔( z ) 一喜北) 筹( z ) 瑟( z ) = 羡c z ，n - - 1 北，瓦o fc 沪薹北，鸶c z ，瓦a f c z ， 乃( z ) ( 差( z ) 若( z ) 一篝( z ) 差( z ) ) 由引理4 中关于夕( z ) 的结果知，= 0 是7 ( 互，) 的至少p - 1 阶零点 引理6 若记 h ( z ) = 【。北) 瓦o _ c ，_ 2 f 钆( 2 ) ，1s 七n 一1 ( 3 4 ) 则对于固定的三= ( 名1 ，2 2 ，名佗一1 ) n n d m ，= 0 是以z 竹为自变量的到 c n 一1 的全纯映射元( 三，z n ) 的至少 p 2 阶零点其中危( 三，z n ) = h ( 三，z n ) = ( h 1 ( 三，) ，忍2 ( 三，) ，h n 一1 ( 三，) ) t 证明：假设z n = 0 是h ( e ，) 的m 阶零点，且0 m5 p 2 一1 ，则 可记元( 三，) = 舒日( 艺，) ，其中日( 三，) 全纯，且日( 三，0 ) 0 注意到 m + l 笔 笔sp 一 笔 p 一1 一( 笔 一1 ) p l 一仇 m i n p 1 ，p 2 ，p n ) 一( 1 + m ) 从而可取实数q 满足m + 1 口 m i n p 1 ，p 2 ，) 一( 1 + m ) ，因此有 a + m + 1 0 1 4 刁一爿竺蚓 磊丑籼 巫以 一 i寰 。芦 + 叱( 而i z n - 1 1 ) 训计+ 嘭( 黯) 蚓 帆 喜叫( 糟) 南北蹦叫 栅e l 1 1 , ；叫( 崧) 南咖小扩 栅 耋嘭( 糟) 和咖： 。 由于 磁一，( 而i z n - 1 1 ) k ，i i z 1 2 a 栅 喜喇( 搭) 南蚺昧，计 刊舻， 磁( 黯1 z 竹i = o ( 扩) 贝e 刊计1 ， 贝e 薹嘭( 黯) 南怖一l + o ( b 1 2 a ) - 4 - o ( i z n l p “) + o ( i z n l 七十1 ) 0 ，z d m 则将上不等式两端同除以i z i 口+ m “，再令锄一0 ，得到 辨e 蓦叫( 耥) 南z n - i h j ( # , o ) e i ( m + 1 ) a 卜睢r 其中z n = l z 1 e 印，由0 的任意性可知 蓦叫( 耥) 南铂删净。 注意到p ( 乏，0 ) 恰是7 r n d m 上的m i n k o w s k i 泛函则有 曼掣h i ( 硼) 三。 鲁8 z j r 由引理2 ，得日( 三，0 ) 兰0 ，这与假设矛盾，故结论成立 引理7 若记 出) - ( s 永憋n = 凳 0 2 f ( 沪袅差 ( 3 5 ) 其中1 k 仡一1 ，则对于固定的三= ( z 1 ，z 2 ，z n - 1 ) 矿d m ，锄= 0 是以z n 为自变量的到c 竹的全纯映射s ( 三，) 的至少函2 】阶零点 证明：由引理6 中h ( z ) 的定义知 从而 s ( 三，) 最邛他m = 骞驰) 跏 酝a a 魂v 吖= 壹) 誓 j = l o 差苏一酝瓦o f = 跏喜吣) 瓦o f 一 j = l) 警差 = 差c z ，薹b c z ，瓦o fc z ，一薹bc 刁a a a 乃( 2 ，砺o f c z ， = 萎n - 1b c z ，( 差c z ，苗c z 卜誓c z ，差c z ，) 根据引理6 中h ( z ) 的结果知，z n 是s ( 三，) 的至少眵2 阶零点 引理8 设，= ( ，止，厶) 7 ：d m _ c n 是正规化双全纯完全准凸 映射，p 为整数，且满足p 。 静小( 舡咖，聒o q p 慨矾老，) 注意前面对域d m 的几何性质的讨论，有老( 毛o ) = o ，而且卢( 三) = p ( s ，0 ) 恰是d m 上的m i n k o w s k i 泛函故有 缎e 。 。，)j 是7 r n d m 上的正规化双全纯完全准凸映 一 一1 是在乃d m 上的正规化双全纯完 1 9 一 0 圳 。参毗 河南大学硕士学位论文 定理2 的证明： 对维数m 应用数学归纳法 当m = 1 时，厂：d m c ，d m = z c ：m ( i z l ) 1 是( c ，p ) 上的单 位圆盘，完全准凸函数就是凸函数，结论显然成立 假设m = n 一1 时结论成立若，= ( ，2 ，厶) t ：d m 一是正 规化双全纯完全准凸映射，p 为整数，且满足p m i n p 1 ，p 2 ，孙) p + 1 ， 由引理8 和定理1 ，并应用归纳假设，对每个j = 1 ，2 ，礼，有 f l ( z ) 办一，( z ) 0 力+ 1 ( z ) 厶( z ) g j l ( z 1 ) ： 毋，j 一1 ( 乃一1 ) 0 g j ，j + l ( z j + 1 ) 夕j n ( ) f l ( z l ，乃一1 ，0 ，乃+ 1 ， 力一1 ( z l ，乃一1 ，0 ，乃+ 1 ， 0 乃+ 1 ( z 1 ，乃一1 ，0 ，乃+ 1 ， 厶( 2 1 ，乃一1 ，0 ，z 3 + 1 ， 上 0 ： 勺一1 ，i ( z ) 0 ； c j + l ，1 ( z ) c n ，1 ( z ) z r l 咎； 矿1 蒜； 矿1 + ，) ，名他) ，锄) ，z n ) + 乃( z ) b ，j 一1 ( z ) 0 f j ，j + l ( z ) 乃n ( z ) c 1 ，j i ( z ) 0c 1 ，歹+ 1 ( z ) c 1 竹( z ) 00 c j 一1 ，j + l ( z ) c 一1 ，n ( z ) 000 c j + 1 ，j 一1 ( z ) 0 0 勺+ 1 ，n ( z ) c n ，j 一1 ( z ) 0c n ，j + 1 ( z ) 0 0 0 乃1 ( z ) 0 0 0 0f j ，j 一1 ( z ) o 00 0 0 弓，j + 1 ( z ) ! 。 ； 0 0 f j n ( z ) 0 0 0 o 0 0 0 0 矿1 ； 咎； 矿1 材 i z 驴1 其中只七( z ) ，c l k ( z ) ( 1 ，k = 1 ，2 ，n ) 均是d m 上的全纯函数，而且对k 河南大学硕士学位论文 j ，g j k ( z k ) 是单位圆盘d 上的正规化双全纯凸映射 在上式中，令z 。= 0 ，v s = 1 ，2 ，k 一1 ，k + 1 ，n ，则有g j k ( z k ) = a ( 0 ，0 ，魂，o ，0 ) ，k j ，且与j 无关由此可以统一记g k ( z k ) = a ( 0 ，0 ，0 ，0 ) ，对上式两端关于歹从1 到n 求和( 注意原式中 三0 ) 得到 即 c几一1，(三量)=c礼一 厂( z ) 定理即证 ，9 ，( z 。) 、 鼢 c ，n ( z ) 、，矿 c 。n ( z ) l i 矽 ； l l i 0 矿1 ( 3 8 ) 定理3 如果，= ( f l ，厶，厶) r ：d m c 竹是正规化双全纯完全准 凸映射，p 为整数，且满足p m i n p 1 ，p 2 ，) p + 1 ，则有 f ( z ) = ( 兰 + ( 篓兰) + + ( 三篓) + 其中i a j k i 1 ，1 j 矗，2 k p 证明：展开式部分只需将定理2 中的结果式中的矩阵乘开即可而对 于系数估计【1 2 】一【1 3 】部分，注意到对于单位圆盘上的凸函数的系数估计，就有 i a j k i 1 ，1 j 礼，2 k p 证毕 2 1 d 孑 z 乩0 ：“ 以0 ： 以 z z 0扎；“ c c ，。o。一 + 、li， d 0 0陋阮； 仇仍 鲰 ，ii、 参考文献 【1 【g o n 9 1 龚异，多复变数的凸映照和星形映照( 第二版) ，科学出版社， 【2 k r a l s g k r a n t z ，f u n c t i o nt h e o r yo fs e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s ，r e p r i n to f t h e1 9 9 2e d i t i o n ，a m sc h e l s e ap r o v i d e n c e ，r i ，2 0 0 1 【3 【l i u - l i u l 】刘太顺，刘浩，有界凸圆型域上的准凸映射，数学学报 4 4 ：2 ( 2 0 0 1 ) ，2 8 7 - 2 9 2 【4 】【l i u - z h a n g l 】刘太顺，张文俊，伊上正规化双全纯凸映射的齐次展式，中 国科学( a 辑) ，2 7 ：5 ( 1 9 9 7 ) ，3 8 5 3 9 2 【5 】【l i u - z h a n 9 2 】刘太顺，张文俊，r e i n h a r d t 域上正规化双全纯凸映射的分 解定理，中国科学( a 辑) ，3 2 ：9 ( 2 0 0 2 ) ，8 0 7 - 8 1 8 【6 f l i u - z h a n 9 3 刘太顺，张文俊，复b a n a c h 空间单位球上准凸映射的增长 定理与掩盖定理，中国科学( a 辑) ，3 2 ：1 1 ( 2 0 0 2 ) ，1 0 3 3 - 1 0 4 1 【7 】【l i u - z h a n 9 4 】刘太顺，张文俊，多圆柱上的完全准凸映射，数学年刊， 2 5 a ：1 ( 2 0 0 4 ) ，1 0 5 - 1 1 2 【8 】【z h a n g - d o n g - w a n g l 】张文俊，董道珍，汪远征，b a n a c h 空间中凸映照的 增长定理，数学季刊，7 ：2 ( 1 9 9 2 ) ，8 4 8 7 【9 】9 l i u - l u l 刘浩，卢克平，多圆柱上正规化双全纯星形映照的齐次展式， 数学年刊，2 2 a ：4 ( 2 0 0 1 ) ，4 6 4 7 2 i 0 】【l i u l u 2 刘浩，卢克平，多复变数完全拟凸映射的分解定理，数学年刊， 2 5 a ：1 ( 2 0 0 4 ) ，1 3 2 0 【1 1 】【l i u f e n g l 】刘浩，冯淑霞，r e i n h a r d t 域伊上正规化双全纯完全准凸映 射的齐次展式，数学学报( 中文版) ，5 0 ：4 ( 2 0 0 7 ) ，8 0 5 - 8 1 2 【1 2 】【l i u l i u 2 】刘小松，刘太顺，正规化双全纯映射精细的展开式系数估计， 中国科学( a 辑) ，3 5 ：4 ( 2 0 0 5 ) ，3 6 1 - 3 7 4 2 2 河南大学硕士学位论文 1 3 】【x u - l i u l 】徐庆华，刘太顺，一类全纯映射族的系数估计，中国科学( a 辑) ，3 8 ：1 1 ( 2 0 0 8 ) ，1 2 6 7 - 1 2 7 5 【1 4 】 s u f l 】t j s u f f r i d g e ，t h ep r i n c i p l eo fs u b o r d i n a t i o na p p l i e dt of u n c t i o n so f s e v e r a lv a r i a b l e s ，p a c 历cj o u r n a lo fm a t h e m a t i c s ，3 3 ( 1 9 7 0 ) ，2 4 1 2 4 8 【1 5 】【r o p - s u f l 】k a r o p e ra n dt j s u f f r i d g e ，c o n v e xm a p p i n go nt h eu n i tb a l l o fc 凡，a n a l m a t h ，6 5