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常考问题9数列的综合应用 真题感悟 考题分析 1 数列求和的方法归纳 1 转化法 将数列的项进行分组重组 使之转化为n个等差数列或等比数列 然后应用公式求和 2 错位相减法 适用于 an bn 的前n项和 其中 an 是等差数列 bn 是等比数列 3 裂项法 求 an 的前n项和时 若能将an拆分为an bn bn 1 则a1 a2 an b1 bn 1 4 倒序相加法 一个数列倒过来与原数列相加时 若有公因式可提 并且剩余的项的和容易求出 那么这样的数列求和可采用此法 其主要用于求组合数列的和 这里易忽视因式为零的情况 5 试值猜想法 通过对s1 s2 s3 的计算进行归纳分析 寻求规律 猜想出sn 然后用数学归纳法给出证明 易错点 对于sn不加证明 6 并项求和法 先将某些项放在一起先求和 然后再求sn 例如对于数列 an a1 1 a2 3 a3 2 an 2 an 1 an 可证其满足an 6 an 在求和时 依次6项求和 再求sn 2 数列的应用题 1 应用问题一般文字叙述较长 反映的事物背景陌生 知识涉及面广 因此要解好应用题 首先应当提高阅读理解能力 将普通语言转化为数学语言或数学符号 实际问题转化为数学问题 然后再用数学运算 数学推理予以解决 2 数列应用题一般是等比 等差数列问题 其中 等比数列涉及的范围比较广 如经济上涉及利润 成本 效益的增减 解决该类题的关键是建立一个数列模型 an 利用该数列的通项公式 递推公式或前n项和公式 热点与突破 热点一可转为等差数列 等比数列的数列问题 例1 已知数列 an 满足a1 1 a2 3 an 2 3an 1 2an n n 1 证明 数列 an 1 an 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 3 若数列 bn 满足4b1 1 4b2 1 4bn 1 an 1 bn n n 证明 bn 是等差数列 训练1 在数列 an 中 a1 1 a2 2 且an 1 1 q an qan 1 n 2 q 0 q 1 1 求证 数列 an 1 an 为等比数列 2 若a6 a3 a9成等差数列 问对任意的n n an 3 an an 6是否成等差数列 说明理由 规律方法 数列通项公式的还原方法比较多样 可以构造特殊数列 也可以立足于运算 归纳 最后补充证明 规律方法 不等式证明是数列问题中的常见题型 一般方法是利用不等式证明的常规方法 如综合法 分析法等直接证明方法 也可以应用反证法等间接证明方法 训练3 2013 苏中三市调研 已知 是方程x2 x 1 0的两个根 且 数列 an bn 满足a1 1 a2 an 2 an 1 an bn an 1 an n n 1 求b2 a2的值 2 证明 数列 bn 是
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