人教版高数必修四第9讲：两角和与差的正余弦及正切公式(学生版).doc

两角和与差的正余弦、正切公式_一、 两角和的余弦公式： 的推导：复习：两点间的距离公式： 设， 推导过程：设角、角为任意角如左图在平面直角坐标系中作,则作单位圆，设角、角的终边分别与单位圆交于点B，点C再作由三角函数定义知： ， , ， ，由已知：; 展开并整理得: 上述公式称为两角和的余弦公式记为 二、两角和与差的正弦公式： sin(+)=cos-(+)=_sin(-)=sin+(-)=_3、 两角和与差的正切公式：当cos(+)0时，tan(+)=_如果coscos0,即cos0且cos0时,分子、分母同除以coscos得tan(+)=，据角、的任意性，在上面的式子中，用-代之，则有tan(-)=cos(+)=coscos-sinsinsin(+)=sincos+cossin,sin(-)=sincos-cossin.tan(+)=tan(-)= 4、 公式汇编：1两角和与差的三角函数；。2二倍角公式；。3三角函数式的化简常用方法：直接应用公式进行降次、消项；三角公式的逆用；切割化弦，异名化同名，异角化同角等。（2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式； ； 。（2）辅助角公式， =公式的推导： 令，则，于是有： 其中由，和共同确定 类型一：正用公式例1.已知:，求的值.举一反三：【变式1】已知，则 .【变式2】已知，则 .【变式3】已知和是方程的两个根，求的值.【高清课堂：三角恒等变换397881 例1】【变式4】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)(2)(3)(4)(5) 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 根据()的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.例2已知，,，求的值.举一反三：【变式1】已知，是第二象限角，且，求的值.【变式2】函数的最大值为（ ）A B C D 【变式3】已知【变式4】已知，求的值。类型二：逆用公式例3.求值：（1）；（2）；（3）； （4）.举一反三：【变式1】化简.【变式2】已知，那么的值为（ ）A B C D 例4. 求值：（1）；（2）举一反三：【变式】求值：（1）；（2）.类型三：变用公式例5求值：（1） ；（2）（2）举一反三：【变式1】求值：= 【变式2】在中，,，试判断的形状.类型四：三角函数式的化简与求值例6. 化简：（1）；(2）【点评】三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系。因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察。三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：，.举一反三：【变式1】化简：（1）；（2）； （3）【变式2】若，且，则_.【答案】由，得，.例7已知，且，求的值.举一反三：【变式1】已知，为锐角，则的值是（ ）A. B. C. 或 D. 【变式2】已知，求。一、选择题1cos75cos15sin435sin15的值是()A0BCD2在ABC中，若sinAsinBcosAcosB，则ABC一定为()A等边三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形3化简sin(xy)sin(xy)cos(xy)cos(xy)的结果是()Asin2xBcos2yCcos2xDcos2y4sin15cos75cos15sin105等于()A0BCD15sincos的值是()A0BCD26ABC中，cosA，且cosB，则cosC等于()ABCD二、填空题7若cos，(0，)，则cos()_.8已知cosxcosy，sinxsiny，则cos(xy)_.三、解答题9已知sinsinsin，coscoscos.求证：cos()._基础巩固1若sin xcos x4m，则实数m的取值范围是()A2m6 B.6m6C2m6 D.2m42.的值是()A. B. C. D.3(2012齐齐哈尔高一检测)若cos()，cos 2，并且、均为锐角，且，则的值为()A. B. C. D.4cos 15sin 15_.5(2012成都高一检测)若cos ，则cos_.6已知，sin，sin，则cos_.7已知：sin ，cos()，0，求cos 的值8(2012蚌埠高一检测)若sin xcos xcos(x)，则的一个可能值为()A B. C. D.9已知cos ，则cos sin 的值为_10已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|ab|，求cos()能力提升一、选择题1. 已知，则（ ）. B. C. D. 2. 函数的最小正周期是（ ）. B. C. D. 3. 在BC中，则ABC为（ ）. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定4. 设，,则大小关系（ ）. B. C. D. 5. 函数是（ ）. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数6. 已知，则的值为（ ）. B. C. D. 二、填空题1. 求值：_. 2. 若则 .3. 已知那么的值为 ,的值为 .